精品解析：四川省遂宁市遂宁中学高新学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

遂宁中学高新学校高2024级10月月考 数学试题 总分：150 时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题：任意，，则为 （ ） A. 不存在， B. 存在， C. 任意的， D. 存在， 3. 下列各组函数中，表示相等函数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 5. 若，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列说法正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 设，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若，且恒成立，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 10. 若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 取值范围是 D. 的取值范围是 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 12. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最小值4 C. 有最小值2 D. 有最大值 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为______. 14. 不等式的解集为__________. 15. 设，若的最小值为，则的值为__________. 16. 定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时．已知，则______． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数的两个零点为和，且方程的两根相等. （1）求函数解析式； （2）求不等式解集. 20. 2022年9月22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） （2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 21. 已知二次函数. （1）若当时，函数取得最小值2，且，求方程的实数根； （2）若对任意，恒成立，求的最大值. 22. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， （1）求函数的“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遂宁中学高新学校高2024级10月月考 数学试题 总分：150 时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念求出，再根据并集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知，又，所以. 故选:A. 2. 设命题：任意的，，则为 （ ） A. 不存在， B. 存在， C. 任意的， D. 存在， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题：任意的，，则为“存在，”． 故选：D． 3. 下列各组函数中，表示相等函数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】逐一考查所给的函数： A.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数； B.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数； C.与的定义域都是全体实数，对应法则一致，是同一个函数； D.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数； 本题选择C选项. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解. 【详解】当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 且时，当且仅当时，， 由此可知C，D选项中图象错误； 当时，，此时在上单调递减， 故选项A中图象不合题意， 又，故B中图象符合题意. 故选：B. 5. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可. 【详解】令，则， ∴， ∴. 故选：B. 6. 已知，则下列说法正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果. 【详解】对于A，若，则不成立，故A错误； 对于B，若，则不成立，故B错误； 对于C，将两边同时除，可得，故C正确； 对于D，取，可得不成立，故D错误； 故选：C 7. 设，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 8. 若，且恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【详解】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解； 由，解得由； 由，方程组无解； 时，只须即可，解得； 时，，时单调递减，，满足题意； 综上所述，. 故选：B. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则 （ ） A. B. 的值域为 C. 的解集为 D. 若，则或1 【答案】BC 【解析】 【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，；当时，； 的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，C正确； 对于D，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，D错误. 故选：BC. 10. 若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】由，两式相加得，即，故A正确； 由，得，又，两式相加得，即，故B正确； 设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 12. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ） A. 有最小值2 B. 有最小值4 C. 有最小值2 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值. 详解】依题意，， 由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项A正确； ，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项B错误； 当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为2，选项C正确； ， 如上式取最大值，须，且取最小值， ， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，选项D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且； 的定义域为：． 故答案为：. 14. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，则，即，故， 所以，解得，故， 所以的解集为. 故答案为：. 15. 设，若的最小值为，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，分段求解最小值，从而结合二次函数性质列式求解，即得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去）， 故答案为：1 16. 定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时．已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】先赋值求出，再赋值求出.根据，赋值得到，进而得到，再得到.根据得解. 【详解】由已知，对于任意实数，恒有， 令，，可得，因为当时，， 所以，故. 令，设，则，. 由于，则，，则. 由于，，则. 故答案为：8. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 所以； 【小问2详解】 由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 18. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【小问1详解】 任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 19. 已知二次函数的两个零点为和，且方程的两根相等. （1）求函数解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，然后由条件列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，将不等式化简可得，然后分类讨论即可得到结果. 【小问1详解】 因为二次函数的两个零点为和，设，， 且方程的两根相等，即有两相等实根， 化简可得，，即，解得， 所以. 【小问2详解】 不等式，即， 化简可得，，即， 当时，解得； 当时，解得； 当时，无解； 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 20. 2022年9月22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） （2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况利用利润＝售价－成本可求出的解析式； （2）由（1）得到，根据分段函数的性质，分类讨论当和时的最大值，比较大小即可得答案. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时， ， 所以， 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 所以当时，取得最大值4250， 当时， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值4070， 因为， 所以当，即2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元. 21 已知二次函数. （1）若当时，函数取得最小值2，且，求方程的实数根； （2）若对任意，恒成立，求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，然后再由条件列出方程，即可得到函数的解析式，即可求解方程； （2）根据题意，令，可得，再由可得，即可求得的最大值，然后再由检验即可. 【小问1详解】 因为当时，函数取得最小值2，故可设，且， 又因为，即，解得，所以， 即，则方程，化简可得， 解得， 【小问2详解】 令，则，所以，因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以， 当时取等号， 此时， 成立，即成立， 故的最大值为. 22. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， （1）求函数的“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）“稳定点”为；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点” 若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足. 先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论. 【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为； （2）证明：若，则，显然成立； 若，设，有，则有， 所以，故 （3）因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式 所以，又， 所以方程要么无实根，要么根是方程的解， 当方程无实根时，或，即， 当方程有实根时，则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以. 综上：的取值范围是. 【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题. 需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$