八年级数学期中模拟试卷（3）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

八年级数学上册期中模拟试卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm 2．下列图形中，对称轴最多的是（　　） A．等边三角形 B．角 C．等腰三角形 D．线段 3．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b 4．下列命题的逆命题正确的是（　　） A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是等腰三角形 5．下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…① 移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…② 合并同类项，得﹣2x＜﹣2…③ 两边同时除以﹣2，得x＜1…④ 小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 6．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′ 7．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣② 9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB的中点．E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE为（　　） A．2 B．3 C． D． 10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB＝45°，当BE＝7，，点F为BC的中点，连结EF，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　． 12．如果代数式2a﹣8的值是非负数，那么a的取值范围是 　 　． 13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝　 　°． 14．对于实数对（a，b），定义偏左数为，偏右数为．对于实数对（2x﹣2，3﹣x），若Pl﹣Pr≤1，则x的最大整数值是 　 　． 15．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，则阴影部分的面积为 　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为8，点Q为AB上的动点，则PB+PQ的最小值为　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解不等式组：． 18．如图，点B，C，D在同一条直线上，BC＝DE，点A和点E在BD的同侧，∠ACE＝∠B＝∠D＝60°． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）若DE＝3，AB＝4，求BD的长． 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE． 20．为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 21．（1）已知在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°．请你设计两种不同的方法：用一条直线将△ABC分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．） （2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答． 22．如图，在△ACE中，AD平分∠EAC，DE⊥AE于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD． （1）求证：BE＝CF； （2）若BD∥AC，∠DAF＝15°，DF＝1，求AB的长． 23．定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式x＞2是不等式x＞﹣1的子集，不等式x＞2是不等式x＞2的子集，不等式组1＜x＜3是不等式组﹣2＜x＜4的子集． （1）若不等式：A：x＜4，B：x＜﹣2，则其中不等式 　 　是不等式x＜3的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式x＜a是不等式x＜2的“子集”，则a的取值范围是 　 　； （3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集“，求a﹣b+c﹣d的值． （4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，且m，n为正整数，求的最大值． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册期中模拟试卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm 【思路点拨】由三角形三边关系可得第三边a的范围为4＜a＜10，逐一判断即可． 【解析】解：设此三角形第三条边长为a，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知， 第三条边的范围应为4＜a＜10， 故A、C、D选项皆不在上述范围内， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的构成条件，角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记此条件是解题的关键． 2．下列图形中，对称轴最多的是（　　） A．等边三角形 B．角 C．等腰三角形 D．线段 【思路点拨】根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后选出对称轴最多的选项则可． 【解析】解：A选项有三条对称轴；B和C选项各有一条对称轴；D选项有两条对称轴．故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，比较简单． 3．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b 【思路点拨】根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【解析】解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误； C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 4．下列命题的逆命题正确的是（　　） A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是等腰三角形 【思路点拨】先写出每个命题的逆命题，再判断出是否正确即可得出答案． 【解析】A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确， B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误， C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误， D．等边三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形是等边三角形，错误， 故选：A． 【点睛】主要考查命题与定理，用到的知识点是逆命题、真命题、假命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…① 移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…② 合并同类项，得﹣2x＜﹣2…③ 两边同时除以﹣2，得x＜1…④ 小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【思路点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案． 【解析】解：小明计算步骤①中，常数﹣1没有乘以2，此步骤错误； 步骤④两边同时除以﹣2，不等号的方向没有改变，此步骤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 6．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，AB＝A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′ 【思路点拨】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可． 【解析】解： A、∠A＝∠A′，AB＝A′B′AC＝A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误； B、具备∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确； C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误； D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等． 7．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 【思路点拨】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解析】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣② 【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【解析】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F． ①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D． ②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程． 9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB的中点．E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE为（　　） A．2 B．3 C． D． 【思路点拨】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定△A′DF≌△EBF（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长． 【解析】解：如图所示，连接BE，过E作EG⊥AB于G， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4， ∴由勾股定理得， 由折叠可得，△ADE与△A′DE全等， ∵△DEF的面积是△ADE面积的一半，， ∴△DEF的面积是△A′DE面积的一半，， ∴F是A′E的中点， ∴A′F＝EF， 又∵D是AB的中点， ∴，即F是BD的中点， 又∵∠A′FD＝∠EFB， ∴△A′DF≌△EBF（SAS）， ∴， 又∵∠C＝90°， ∴Rt△BCE中，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB＝45°，当BE＝7，，点F为BC的中点，连结EF，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】过点A作AF⊥AE交BE于点F，证△AEF为等腰直角三角形，由勾股定理得EF＝6，则BF＝BE﹣EF＝1，再证△ABF和△ACE全等得BF＝CE＝1，然后在Rt△BCE中由勾股定理可求出BC＝，进而根据直角三角形的性质可得EF的长． 【解析】解：过点A作AF⊥AE交BE于点F，如图所示： ∵∠AEB＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AF＝AE＝， 由勾股定理得：EF＝＝6， ∵BF＝BE﹣EF＝7﹣6＝1， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠FAE＝90°， 即∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠CAE， ∴∠BAF＝∠CAE， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴BF＝CE＝1， ∵CE⊥BD交直线BD于点E， ∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝＝， ∵点F是Rt△BCE斜边BC的中点， ∴EF＝BC＝． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　三角形具有稳定性　． 【思路点拨】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解析】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 12．如果代数式2a﹣8的值是非负数，那么a的取值范围是 　a≥4　． 【思路点拨】先根据题意得出不等式，再求出不等式的解集即可． 【解析】解：根据题意，得2a﹣8≥0， 解得：a≥4， 故答案为：a≥4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据题意得出不等式2a﹣8≥0是解此题的关键． 13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝　30　°． 【思路点拨】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论． 【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°． ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E， ∴BC＝BE， ∴∠C＝∠BEC＝70°． ∵∠BEC＝∠A+∠ABE， ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键． 14．对于实数对（a，b），定义偏左数为，偏右数为．对于实数对（2x﹣2，3﹣x），若Pl﹣Pr≤1，则x的最大整数值是 　2　． 【思路点拨】根据题干信息先求出Pl和Pr，再求解不等式即可． 【解析】解：∵对于实数对（a，b），定义偏左数为，偏右数为， ∴对于实数对（2x﹣2，3﹣x），Pl＝＝，Pr＝＝， ∵Pl﹣Pr≤1， ∴﹣≤1， ∴3x﹣5≤3， ∴x≤， ∴x的最大整数值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 15．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．如果S1+S2﹣S3＝24，则阴影部分的面积为 　6　． 【思路点拨】根据题意得到，再由勾股定理得到AB2+AC2＝BC2，则由已知条件可推出AB2＝12，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解析】解：由题意得，， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2＝BC2， ∵S1+S2﹣S3＝24， ∴AB2+BC2﹣AC2＝24， ∴AB2+AB2+AC2﹣AC2＝24， ∴AB2＝12， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，解答本题的关键景熟练掌握勾股定理的应用． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为8，点Q为AB上的动点，则PB+PQ的最小值为　　． 【思路点拨】过点P作BC的垂线交BC，AB于点M，N，作点B关于MN的对称点E，连接AE，EC，EP，延长EP交AB于点F，过点E作EH⊥AB于点H，运用勾股定理求出AB＝10，由△ACP的面积为8即可求出MC，由对称得，PE＝PB，则PB+PQ＝PE+PQ≥EF≥EH，当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为EH，再对△AEC运用等面积法即可求出EH． 【解析】解：过点P作BC的垂线交BC，AB于点M，N，作点B关于MN的对称点E，连接AE，EC，EP，延长EP交AB于点F，过点E作EH⊥AB于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∵， ∴MC＝2， 则BM＝EM＝6﹣2＝4， ∴BE＝8， 由对称得，PE＝PB， ∴PB+PQ＝PE+PQ≥EF≥EH， 当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为EH， ∵， ∴8×8＝10×EH， ∴， ∴PB+PQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解不等式组：． 【思路点拨】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集． 【解析】解：， 解①，得x＜； 解②，得x≤1． ∴原不等式组的解集为x≤1． 【点睛】本题考查了不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键． 18．如图，点B，C，D在同一条直线上，BC＝DE，点A和点E在BD的同侧，∠ACE＝∠B＝∠D＝60°． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）若DE＝3，AB＝4，求BD的长． 【思路点拨】（1）证出∠A＝∠DCE，由AAS证明△ABC≌△CDE即可； （2）由题意得CD＝AB＝3，则BD＝BC+CD＝5； 【解析】（1）证明：∵B+∠A＝∠ACE+∠DCE，∠ACE＝∠B， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）； （2）解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD＝4， ∵BC＝DE＝3， ∴BD＝BC+CD＝3+4＝7． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE． 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠GDC＝∠EBC．再根据平行线的判定方法可得结论． 【解析】解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°． ∵AC⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°． （2）∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°． ∵DG平分∠ADC， ∴． ∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°， ∴∠EBC＝∠GDC． ∴DG∥BE． 【点睛】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 20．为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 【思路点拨】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，由购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．列出方程组，即可求解； （2）设学校购买m根跳绳，则购买（100﹣m）个毽子．由购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，即可求解． 【解析】解：（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元． 由题意可得：， ∴， 答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元； （2）设购买m根跳绳，则购买（100﹣m）个毽子． 由题意可得：25m+5（100﹣m）≤2100， 解得：m≤80， ∴m的最大值为80． 答：最多购买80根跳绳． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 21．（1）已知在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°．请你设计两种不同的方法：用一条直线将△ABC分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．） （2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的判定，先以20°作为等腰三角形的一个底角，或以40°作为等腰三角形的一个底角，然后结合三角形内角和为180°，进行作答即可； （2）言之有理即可（答案不唯一）． 【解析】解：（1）两种分法如图所示： 第一种分法：两个等腰三角形内角分别为100°，40°，40°；140°，20°，20°； 第二种分法：两个等腰三角形内角为100°，40°，40°；20°，80°，80°． （2）当△ABC的内角满足什么条件时，可以用一条直线将△ABC分割成两个等腰三角形？（答案不唯一） 【点睛】本题考查了学生的动手思考能力以及等腰三角形的判定，掌握一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 22．如图，在△ACE中，AD平分∠EAC，DE⊥AE于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD． （1）求证：BE＝CF； （2）若BD∥AC，∠DAF＝15°，DF＝1，求AB的长． 【思路点拨】（1）由AD平分∠EAC，DE⊥AE于点E，DF⊥AC于点F，得∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝DF，而BD＝CD，即可根据“HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC，则BE＝CF； （2）由∠DAE＝∠DAF＝15°，得∠EAF＝30°，由BD∥AC，得∠EBD＝∠EAF＝30°，而∠DEB＝90°，DE＝DF＝1，所以DB＝2DE＝2，再证明∠BAD＝∠BDA，则AB＝DB＝2， 【解析】（1）证明：∵AD平分∠EAC，DE⊥AE于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF． （2）解：∵AD平分∠EAC，∠DAF＝15°， ∴∠DAE＝∠DAF＝15°， ∴∠EAF＝2∠DAE＝30°， ∵BD∥AC， ∴∠EBD＝∠EAF＝30°， ∵∠DEB＝90°，DE＝DF＝1， ∴DB＝2DE＝2， ∵∠BAD＝∠FAD，∠BDA＝∠FAD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴AB＝DB＝2， ∴AB的长是2． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质等知识，证明Rt△DEB≌Rt△DFC是解题的关键． 23．定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式x＞2是不等式x＞﹣1的子集，不等式x＞2是不等式x＞2的子集，不等式组1＜x＜3是不等式组﹣2＜x＜4的子集． （1）若不等式：A：x＜4，B：x＜﹣2，则其中不等式 　B　是不等式x＜3的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式x＜a是不等式x＜2的“子集”，则a的取值范围是 　a≤2　； （3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集“，求a﹣b+c﹣d的值． （4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，且m，n为正整数，求的最大值． 【思路点拨】（1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义进行求解； （3）根据新定义及a，b，c，d为互不相等的整数进行求解； （4）根据不等式组的解集及除法的意义求解． 【解析】解：（1）不等式B是不等式x＜3的“子集”， 故答案为：B； （2）由题意得：a≤2， 故答案为：a≤2； （3）由题意得：a＝3，b＝4，c＝1，d＝5， ∴a﹣b+c﹣d＝3﹣4+1﹣5＝﹣5； （4）解M得：≤x＜， ∵N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”， ∴≤1且3＜， ∴m≤2且n＞9， ∴m，n为正整数， ∴的最大值为：＝0.2， ∴的最大值为0.2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键． 24．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解析】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$