八年级数学期中模拟试卷（2）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

八年级数学上册期中模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．5，5，10 C．3，4，6 D．4，5，11 3．下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是（　　） A．a＝2 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝﹣2 4．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C．D． 5．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　） A．x+3＞y+3 B．x﹣3＞y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D． 6．△ABC的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝1.5，b＝2，c＝3 C． D．a＝32，b＝42，c＝52 7．若不等式（a﹣1）x≤﹣3的解集为x≥，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a≤1 8．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列判断中，错误的是（　　） A．若添加条件AB＝DC，则△ABC≌△DCB B．若添加条件AC＝DB，则△ABC≌△DCB C．若添加条件∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB D．若添加条件∠ACB＝∠DBC，则△ABC≌△DCB 9．如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝α（0°＜a＜180°），∠ACB＝β，则下列关系正确的是（　　） A．a﹣β＝90° B．c＝3β C．α+β＝180° D．a+2β＝180° 10．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　） A．12 B．12.5 C．15 D．24 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　 　． 12．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为 　 　cm． 13．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝　 　． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　 　． 15．若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为 　 　． 16．如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠AEB＝90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 　 　（填所有正确结论的序号）． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解下列不等式（组）． （1）3（x﹣1）﹣5＜2x； （2）． 18．如图，已知△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝40°，求∠AEC的度数． 19．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数． 20．（1）如图，在正方形网格上有一个△ABC．作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）； （2）在直线MN找一点P，使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 21．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足． （1）求证：DC＝BE； （2）请探究∠AEC与∠BCE的关系． 22．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE，交直线CE于点F． （1）若AF＝CE，求证：∠CAB＝45°； （2）在（1）条件下，取线段AB的中点H，连接FH，用等式表示FA，FC，FH的数量关系，并证明． 23．每年的3月12日是我们国家的“植树节”，某学校计划组织七年级234名学生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司甲乙两种型号客车作为交通工具．为锻炼学生，决定把这个活动方案交于学校的“数学大本营”社团学生策划．学生们实地调查发现：每辆车都坐满时，用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人． （1）1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送多少名学生？ （2）社团老师还给学生们提出了要求：本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师；租一辆甲种客车400元，租一辆乙种客车280元，要求总费用在2300元以内．请你帮忙解决： ①共需租多少辆客车？ ②请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 24．在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD＝AE，BE与CD交于点O． （1）如图1，填空：∠BOD＝　 　度； （2）如图2，以CO为边作等边△OCF，连接AO、BF，那么BF与AO相等吗？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若点G是BC的中点，连接GO，判断BF与GO有什么数量关系？并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册期中模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．5，5，10 C．3，4，6 D．4，5，11 【思路点拨】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可． 【解析】解：A、2+3＝5，本选项不符合题意； B、5+5＝10，本选项不符合题意； C、3+4＝7＞6，能组成三角形，本选项符合题意； D、4+5＝9＜11，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3．下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是（　　） A．a＝2 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝﹣2 【思路点拨】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【解析】解：选项A的反例不满足命题的条件，不符合； 选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合； 选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键． 4．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C．D． 【思路点拨】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【解析】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键． 5．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　） A．x+3＞y+3 B．x﹣3＞y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D． 【思路点拨】根据不等式的性质解答． 【解析】解：A、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等号的方向不变，即x+3＞y+3，原变形正确，故此选项不符合题意． B、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意． C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，即﹣3x＜﹣3y，原变形错误，故此选项符合题意． D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等号的方向不变，即＞，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 6．△ABC的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝1.5，b＝2，c＝3 C． D．a＝32，b＝42，c＝52 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可． 【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠A+∠B＞∠C， ∴∠C不是直角， ∴△ABC不是直角三角形； B、∵1.52＝2.25，22＝4，32＝9， ∴a2+b2＝2.25+4＝6.25＜9， ∴a2+b2＜c2， ∴△ABC不是直角三角形； C、∵12＝1，22＝4，（）2＝3， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形； D、∵（32）2＝81，（42）2＝256，（52）2＝625， ∴a2+b2＝81+256＝337＜625， ∴a2+b2＜c2， ∴△ABC不是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7．若不等式（a﹣1）x≤﹣3的解集为x≥，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a≤1 【思路点拨】根据已知解集得到a﹣1为负数，即可确定出a的范围． 【解析】解：∵不等式（a﹣1）x≤﹣3的解集为x≥， ∴a﹣1＜0， 解得：a＜1． 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 8．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列判断中，错误的是（　　） A．若添加条件AB＝DC，则△ABC≌△DCB B．若添加条件AC＝DB，则△ABC≌△DCB C．若添加条件∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB D．若添加条件∠ACB＝∠DBC，则△ABC≌△DCB 【思路点拨】对于选项A，可依据“SAS”判定△ABC≌△DCB，由此可对该选项进行判断；对于选项B，若添加条件AC＝DB时不符合全等三角形的判定定理，由此可对该选项进行判断；对于选项C，可依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，由此可对该选项进行判断；对于选项D，可依据“ASA”判定△ABC≌△DCB，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：对于选项A，若添加条件AB＝DC，则可以判定△ABC≌△DCB，理由如下： 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）； ∴选项A不符合题意； 对于选项B，若添加条件AC＝DB，则不能判定△ABC≌△DCB，理由如下： 在△ABC和△DCB中， AC＝DB，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB， 此时的已知条件不符合全等三角形的判定定理， ∵选项B符合题意； 对于选项C，若添加条件∠A＝∠D，则可以判定△ABC≌△DCB，理由如下： 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， ∴选项C不符合题意； 对于选项D，若添加条件∠ACB＝∠DBC，则可以△ABC≌△DCB，理由如下： 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∴选项C不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 9．如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝α（0°＜a＜180°），∠ACB＝β，则下列关系正确的是（　　） A．a﹣β＝90° B．c＝3β C．α+β＝180° D．a+2β＝180° 【思路点拨】运用轴对称、等腰三角形、三角形的内角和与外角和等性质找相关角的关系即可求解． 【解析】解：∵点B、E关于AC对称， ∴AE＝AB，∠CAE＝∠CAB，∠ACE＝∠ACB＝β， ∵AB＝AD， ∴AD＝AE， ∴∠D＝∠AED， ∵∠AED是△AEC的外角， ∴∠CAE+∠ACE＝∠AED， 在△ADE中，∠D+∠DAE+∠AED＝180°，即∠DAE+2∠AED＝180°， ∴∠DAE+2∠CAE+2∠ACE＝180°， ∵∠DAE+∠CAE+∠CAB＝∠DAB＝α，即∠DAE+2∠CAE＝∠DAB＝α， ∴∠DAE+2∠CAE+2∠ACE＝α+2β＝180°， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形、三角形的内角和与外角和，根据图形分析角之间的关系是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　） A．12 B．12.5 C．15 D．24 【思路点拨】过M作ME⊥CD于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质求出CE＝3，根据勾股定理求出EM，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【解析】解： 过M作ME⊥CD于E， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点， ∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5， ∴CM＝DM， ∵ME⊥CD，CD＝6， ∴CE＝DE＝3， 由勾股定理得：EM＝＝＝4， ∴△MCD的面积为＝＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　30°　． 【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余求出∠C即可． 【解析】解：∵∠B＝90°，∠A＝2∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴3∠C＝90° ∴∠C＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 12．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为 　24　cm． 【思路点拨】分情况讨论：①等腰三角形的腰长为4cm，②等腰三角形的腰长为10cm，分别求解即可． 【解析】解：分情况讨论： ①等腰三角形的腰长为4cm， ∵4+4＝8＜10， 故等腰三角形腰长为4cm不符合题意； ②等腰三角形的腰长为10cm， ∵10+10＝20＞4， ∴等腰三角形腰长为10cm，底边为4cm， ∴该等腰三角形的周长为10+10+4＝24（cm）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键，注意分情况讨论． 13．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2＝　200　． 【思路点拨】根据勾股定理计算即可． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2＝100， ∴BC2+AB2+AC2＝2BC2＝200． 故答案为：200． 【点睛】本题考查勾股定理、解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　5　． 【思路点拨】先证明△ADC≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得FD＝CD＝3，AD＝BD＝8，即可算出AF的长． 【解析】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°， ∴∠DAC＝∠DBF， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8， ∵CD＝3，BD＝8， ∴AD＝8，DF＝3， ∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 15．若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为 　﹣1＜a≤1　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案． 【解析】解：由3x﹣a≥x+1得：x≥， 由＜1+x得：x＜4， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为3、2、1， 则0＜≤1， 解得﹣1＜a≤1， 故答案为：﹣1＜a≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠AEB＝90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 　①②④　（填所有正确结论的序号）． 【思路点拨】由SAS判定△ACE≌△DCB，推出∠CAM＝∠MDP，由对顶角的性质得到∠PMD＝∠CMA，由三角形内角和定理得到∠DPM＝∠ACM＝60°，由ASA判定△ACM≌△DCN，推出CM＝CN，而∠MCN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，得到△MNC是等边三角形，因此∠CMN＝60°，得到∠CMN＝∠ACD，推出MN∥AB，∠AEB在变化，∠AEB不一定是90°． 【解析】解：∵△DAC、△ECB都是等边三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴∠CAM＝∠MDP， ∵∠PMD＝∠CMA， ∴∠DPM＝∠ACM＝60°， 故②符合题意； ∵∠CAM＝∠CDN，AC＝CD，∠ACM＝∠DCN， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， 故④符合题意； ∵△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∵∠MCN＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△MNC是等边三角形， ∴∠CMN＝60°， ∴∠CMN＝∠ACD， ∴MN∥AB， 故①符合题意； ∵C在AB上的位置在变化， ∴∠AEB在变化，∠AEB不一定是90°， 故③不符合题意． ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），判定△MNC是等边三角形， 三．解答题（共8小题，共66分） 17．解下列不等式（组）． （1）3（x﹣1）﹣5＜2x； （2）． 【思路点拨】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，即可求得不等式的解集； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解析】解：（1）去括号得：3x﹣3﹣5＜2x， 移项得：3x﹣2x＜3+5， 合并得：x＜8； （2）， 由①得：x≤1， 由②得：x＞﹣2， ∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键． 18．如图，已知△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝40°，求∠AEC的度数． 【思路点拨】（1）依据线段垂直平分线的尺规作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠B和∠BAE的度数相等，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC的度数． 【解析】解：（1）如图所示，DE即为所求； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠B＝∠EAB＝40°， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质的运用，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 19．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数． 【思路点拨】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF； （2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FCD， ∵AF＝CE， ∴AE＝CF， 又∵AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°， ∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠CFD＝∠AEB＝100°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（1）如图，在正方形网格上有一个△ABC．作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）； （2）在直线MN找一点P，使△PAC的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接A'C，交直线MN于点P，则点P即为所求． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解析】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）如图，连接A'C，交直线MN于点P，连接AP， 此时AP+CP＝A'P+CP＝A'C，为最小值， ∴AP+CP+AC的值最小， 即△PAC的周长最小， 则点P即为所求． （3）△ABC的面积为＝＝． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足． （1）求证：DC＝BE； （2）请探究∠AEC与∠BCE的关系． 【思路点拨】（1）由直角三角形的性质得出AE＝EB＝DE，DC＝DE，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AD是高， ∴AD⊥BD， ∵CE是中线， ∴E为AB的中点， ∴AE＝EB＝DE， ∵G为CE的中点，DG⊥CE， ∴DC＝DE， ∴DC＝BE； （2）解：设∠BCE＝α， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝α， ∴∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2α， ∵BE＝DE， ∴∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2α， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝2α+α＝3α， ∴∠AEC＝3∠BCE． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 22．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE，交直线CE于点F． （1）若AF＝CE，求证：∠CAB＝45°； （2）在（1）条件下，取线段AB的中点H，连接FH，用等式表示FA，FC，FH的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）由余角的性质推出∠ACF＝∠CBE，又∠AFC＝∠BEC＝90°，AF＝CE，即可证明△ACF≌△CBE（AAS），得到AC＝BC，推出△ACB是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°； （2）连接CH，EH，由△ACB是等腰直角三角形，H是AB中点，推出CH⊥AB，∠ABC＝45°∠ACH＝∠ACB＝45°，得到∠ACH＝∠ABC，而∠ACF＝∠CBE，得到∠FCH＝∠EBH，又FC＝EB，CH＝BH，即可证明△FCH≌△EBH（SAS），推出FH＝EH，∠CHF＝∠EHB，得到∠AHF＝∠CHE，由∠CHE+∠AHE＝90°，得到∠AHF+∠AHE＝90°，因此△EFH是等腰直角三角形，得到EF＝FH，于是得到FC＝FE+CE＝FH+AF． 【解析】（1）证明：∵CE⊥BD， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCE＝90°， ∴∠ACF＝∠CBE， ∵∠AFC＝∠BEC＝90°，AF＝CE， ∴△ACF≌△CBE（AAS）， ∴AC＝BC， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∠CAB＝45°； （2）解：连接CH，EH， FC＝AF+FH，理由如下： ∵△ACB是等腰直角三角形，H是AB中点， ∴CH平分∠ACB，CH⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ACH＝∠ACB＝45°， ∴∠ACH＝∠ABC， ∵∠ACF＝∠CBE， ∴∠ACH﹣∠ACF＝∠ABC﹣∠CBE， ∴∠FCH＝∠EBH， 由（1）知：△ACF≌△CBE（AAS）， ∴FC＝EB， ∵∠CHB＝90°，∠ABC＝45°， ∴△CBH是等腰直角三角形， ∴CH＝BH， ∵∠FCH＝∠EBH，CF＝BE， ∴△FCH≌△EBH（SAS）， ∴FH＝EH，∠CHF＝∠EHB， ∴∠AHF＝∠CHE， ∵∠CHE+∠AHE＝90°， ∴∠AHF+∠AHE＝90°， ∴∠FHE＝90°， ∴△EFH是等腰直角三角形， ∴EF＝FH， ∵CE＝AF， ∴FC＝FE+CE＝FH+AF． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是证明△ACF≌△CBE（AAS），得到AC＝BC；证明△FCH≌△EBH（SAS），从而推出△EFH是等腰直角三角形． 23．每年的3月12日是我们国家的“植树节”，某学校计划组织七年级234名学生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司甲乙两种型号客车作为交通工具．为锻炼学生，决定把这个活动方案交于学校的“数学大本营”社团学生策划．学生们实地调查发现：每辆车都坐满时，用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人． （1）1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送多少名学生？ （2）社团老师还给学生们提出了要求：本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师；租一辆甲种客车400元，租一辆乙种客车280元，要求总费用在2300元以内．请你帮忙解决： ①共需租多少辆客车？ ②请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【思路点拨】（1）设1辆甲种客车坐满后一次可送x名学生，1辆乙种客车坐满后一次可送y名学生，根据“用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用租车数量＝师生总数÷45，可求出租用甲种客车的数量，结合“本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师”，即可得出共需租6辆客车； ②设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车（6﹣m）辆，根据租用的6辆客车至少可乘坐（234+6）人且租车总费用在2300元以内，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各租车方案，再求出各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设1辆甲种客车坐满后一次可送x名学生，1辆乙种客车坐满后一次可送y名学生， 依题意得：， 解得：． 答：1辆甲种客车坐满后一次可送45名学生，1辆乙种客车坐满后一次可送30名学生． （2）①（234+6）÷45＝5（辆）……15（人），5+1＝6（辆）， 又∵本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师， ∴共需租6辆客车． ②设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车（6﹣m）辆， 依题意得：， 解得：4≤m≤． 又∵m为整数， ∴m可以为4，5， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，所需总费用为400×4+280×2＝2160（元）； 方案2：租用5辆甲种客车，1辆乙种客车，所需总费用为400×5+280×1＝2280（元）． ∵2160＜2280， ∴最省钱的租车方案为：租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，最少租金为2160元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24．在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD＝AE，BE与CD交于点O． （1）如图1，填空：∠BOD＝　60　度； （2）如图2，以CO为边作等边△OCF，连接AO、BF，那么BF与AO相等吗？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若点G是BC的中点，连接GO，判断BF与GO有什么数量关系？并说明理由． 【思路点拨】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠BCD，则可得出结论； （2）证明△FCB≌△OCA（SAS），由全等三角形的性质得出BF＝AO． （3）延长OG交CF于点M，证明△CGM≌△BGO（ASA），由全等三角形的性质得出CM＝OB，证明△CMO≌△OBF（SAS），由全等三角形的性质得出OM＝BF＝2OG． 【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠CBD＝60°， 在△EAB和△DBC中， ， ∴△EAB≌△DBC（SAS）， ∴∠ABE＝∠BCD， ∴∠BOD＝∠BCD+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝60°， 故答案为：60． （2）结论：BF＝AO． 理由：如图2中， ∵△FCO，△ACB都是等边三角形， ∴CF＝CO，CA＝CB，∠FCO＝∠ACB＝60°， ∴∠FCB＝∠OCA， 在△FCB和△OCA中， ， ∴△FCB≌△OCA（SAS）， ∴BF＝AO． （3）BF＝2OG， 理由如下：延长OG交CF于点M， 由（1）知∠ABE＝∠BCD， ∵∠ABC＝∠OCF＝60°， ∴∠FCB＝∠EBC， ∴CF∥BE， ∴∠OBG＝∠MCG， ∵G为BC的中点， ∴CG＝BG， 又∵∠CGM＝∠BGO， ∴△CGM≌△BGO（ASA）， ∴CM＝OB， 由（2）知∠COE＝∠BOD＝60°， 又∵∠COF＝∠OCF＝60°， ∴∠BOF＝60°， ∴∠BOF＝∠OCM， 又∵OC＝OF， ∴△CMO≌△OBF（SAS）， ∴OM＝BF＝2OG． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$