九年级数学期中模拟试卷（2）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

九年级数学上册期中模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是华为手机图库标志，这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，这个旋转角至少为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　） A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1 3．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm 4．点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 5．下列事件中是随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540° 6．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3m，则⊙O半径的长是（　　） A．m B．m C．m D．m 7．已知二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0），关于此函数图象与性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（0，2）在函数图象上 B．图象开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 8．剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积为S1．图中阴影部分面积S2，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 10．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知⊙O的直径为10cm，OP＝8cm，则点P在⊙O 　 　（填“上”、“内”或“外”）． 12．抛物线y＝x2﹣4x﹣6对称轴是 　 　． 13．某校举行诗词大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学，则甲、乙两位同学获得前两名的概率是 　 　（假设三名同学取得每一名次的概率相同）． 14．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝　 　度． 15．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，则bc的值为 　 　． 16．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E（点E不与点B，D重合），设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点（1，2）是否在这个二次函数的图象上． 18．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为4． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦BC的长． 19．在直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（﹣2，0）、B（1，3）． （1）若点C在函数图象上，则点C的坐标可以是下列选项中的 　 　.（只填序号） ①（﹣2，2）：②（1，﹣1）；③（2，4）；④（3，﹣4）． （2）若函数图象对称轴为直线x＝1，点（m，n）在第一象限，求m，n的取值范围． 20．某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为m，n，p，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C． （1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共1200吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）： A B C m 500 150 150 n 30 240 30 p 20 20 60 请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率； （2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率． 21．如图，已知OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）若∠BOC＝46°，求∠AOB的度数． （2）若，求⊙O的半径． 22．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）若a＝1，当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围； （3）已知A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）为该抛物线上的点，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0，求a的取值范围． 24．【问题背景】 如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为优弧ABD的中点，连接AC，CD，OC． 【问题探究】 （1）如图1，求证：CO平分∠ACD； （2）如图2，延长AC，DB相交于点E，求证：BA＝BE； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若，BD＝6，求AD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期中模拟试卷（2） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是华为手机图库标志，这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，这个旋转角至少为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解． 【解析】解：∵360°÷6＝60°， ∴旋转角是60°的整数倍， ∴旋转角至少是60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 2．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　） A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1 【思路点拨】直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解析】解：将抛物线y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+1﹣2，即y＝（x﹣3）2﹣1． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 3．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm 【思路点拨】利用弧长公式直接求出扇形的半径r． 【解析】解：设扇形的半径为r cm， 由题意：6π＝， ∴r＝12． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式，属于中考常考题型． 4．点P1（1，y1）、P2（3，y2）、P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3 【思路点拨】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【解析】解：∵y＝﹣x2+2x+c， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x增大而减小， ∴y1＞y2＞y3， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 5．下列事件中是随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540° 【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解析】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意； C、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3m，则⊙O半径的长是（　　） A．m B．m C．m D．m 【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可． 【解析】解：∵CD是弦，CD＝2m，点F是CD的中点，EF过圆心O， ∴EF⊥CD，CF＝DF＝＝1（m）， 连接OC，设OC＝x m，则OF＝（3﹣x）m， 在Rt△COF中，由勾股定理得， OC2＝OF2+CF2， 即x2＝（3﹣x）2+12， 解得x＝， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握勾股定理、勾股定理是正确解答的前提． 7．已知二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0），关于此函数图象与性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（0，2）在函数图象上 B．图象开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 【思路点拨】根据a＝﹣2即可判断B，利用抛物线的对称性求得对称轴即可判断C，用待定系数法即可求得二次函数的解析式，再把x＝0代入求得函数值，即可判断A，利用根的判别式即可判断D． 【解析】解：∵二次函数y＝﹣3x2+bx+c中，a＝﹣3＜0， ∴抛物线开口向下，故B错误，不合题意； ∵图象过点（﹣1，0）、（2，0）， ∴对称轴为直线x＝＝，故C错误，不合题意； ∵二次函数y＝﹣3x+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0）， ∴y＝﹣3（x+1）（x﹣2）， ∴二次函数的解析式为y＝﹣3x2+3x+6， ∵x＝0时，y＝6， ∴点（0，6）在函数图象上，故A错误，不合题意； 令﹣3x2+3x+6＝3x，整理得﹣3x2+6＝0， ∴Δ＝02+4×（﹣3）×6＞0， ∴抛物线与直线y＝3x有两个交点，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 8．剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积为S1．图中阴影部分面积S2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设B1H1交A1C1于点I，交A1G1于点K，作A1L⊥IK于点L，则∠A1LI＝∠A1LK＝90°，可证明∠IA1K＝90°，∠A1IK＝∠A1KI＝45°，则A1I＝A1K＝H1K，设阴影部分的正八边形的边长为2a，则IK＝2a，A1L＝IL＝KL＝a，由勾股定理得H1K＝A1K＝＝a，所以H1L＝a+a，则A1＝A1L2+H1L2＝（4+2）a2，所以＝＝1+，则＝＝1+，于是得到问题的答案． 【解析】解：设B1H1交A1C1于点I，交A1G1于点K，作A1L⊥IK于点L，则∠A1LI＝∠A1LK＝90°， ∵A1B1＝C1B1＝A1H1＝G1H1，∠A1B1C1＝∠A1H1G1＝∠B1A1H1＝×（8﹣2）×180°＝135°， ∴∠A1H1B1＝∠A1B1H1＝∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝∠H1A1G1＝∠H1G1A1＝×（180°﹣135°）＝22.5°， ∴∠IA1K＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，∠A1IK＝∠A1KI＝22.5°+22.5°＝45°， ∴A1I＝A1K＝H1K， 设阴影部分的正八边形的边长为2a，则IK＝2a，A1L＝IL＝KL＝IK＝a， ∴H1K＝A1K＝＝a， ∴H1L＝a+a， ∴A1＝A1L2+H1L2＝a2+（a+a）2＝（4+2）a2， ∵IK2＝（2a）2＝4a2， ∴＝＝1+， ∵两个正八边形相似， ∴＝＝1+， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正多边形的性质、多边形的内角和、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求出两个正八边形的边长的平方的比是解题的关键． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【思路点拨】依据题意，由y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝﹣m+1，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，可得﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|，最后计算可以得解． 【解析】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝＝﹣m+1． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵﹣m﹣3＜﹣m+1， 又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q， ∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|． ∴|3m﹣1|＜4． ∴﹣4＜3m﹣1＜4． ∴﹣1＜m＜． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【思路点拨】利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D＝60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC＝6cm，则可对②进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对③进行判断；利用AB＝AC＝OA＝OC＝OB可对④进行判断． 【解析】解：∵点A是劣弧的中点， ∴OA⊥BC，所以①正确； ∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∴BC＝2×6×＝6，所以②错误； 同理可得△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴扇形OCAB的面积为＝12π，所以③正确； ∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB， ∴四边形ABOC是菱形，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知⊙O的直径为10cm，OP＝8cm，则点P在⊙O 　外　（填“上”、“内”或“外”）． 【思路点拨】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【解析】解：∵⊙O的直径为10cm， ∴⊙O的半径为10÷2＝5（cm）， ∵OP＝8cm，大于⊙O的半径5cm， ∴点P在⊙O外． 故答案为：外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 12．抛物线y＝x2﹣4x﹣6对称轴是 　直线x＝2　． 【思路点拨】将解析式配方成顶点式即可求解． 【解析】解：y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10， ∴对称轴为直线x＝2， 故答案为：直线x＝2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 13．某校举行诗词大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学，则甲、乙两位同学获得前两名的概率是 　　（假设三名同学取得每一名次的概率相同）． 【思路点拨】先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再求出概率即可． 【解析】解：画树状图如下， 由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中甲、乙两位同学获得前两名的有2种， ∴甲、乙两位同学获得前两名的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 14．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝　87　度． 【思路点拨】连接OO′，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO′，根据等边三角形的性质得到∠OBO′＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解析】解：连接OO′， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴AB⊥OB， 由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO′， ∵OB＝OO′， ∴OB＝O′B＝OO′， ∴△OBO′为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°， 故答案为：87． 【点睛】本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，则bc的值为 　2　． 【思路点拨】根据题意可得二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，从而得到当x＝0时，y＝c＝﹣1；时，函数值为﹣2，据此即可解题． 【解析】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，． ∴二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图． ∴，则b＜0， ∵当x≤0时，函数的最小值为﹣1， ∴当x＝0时，y＝c＝﹣1， ∵x＞0时，函数的最小值为﹣2， ∴时，函数值为﹣2， 即． 解得：b＝﹣2（因b＜0，故另一解b＝2不合题意，舍去）， ∴bc＝（﹣2）×（﹣1）＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 16．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E（点E不与点B，D重合），设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 　m＝n﹣1　． 【思路点拨】设∠DOE＝α，得到∠ABC＝mα，∠ACB＝nα，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣mα﹣nα，根据平角的定义即可得到结论． 【解析】解：设∠DOE＝α， ∴∠ABC＝mα，∠ACB＝nα， ∴∠BAC＝180°﹣mα﹣nα， ∵OD⊥BC， ∴∠COD＝∠BAC＝180°﹣mα﹣nα， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mα， ∴∠AOC+∠COD+∠DOE＝2mα+180°﹣mα﹣nα+α＝180°， ∴n﹣m＝1， ∴m＝n﹣1， 故答案为：m＝n﹣1． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点（1，2）是否在这个二次函数的图象上． 【思路点拨】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象的顶点为（1，4），即可得出结论； 【解析】解：（1）顶点坐标为（1，4）故设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 把（0，3）代入解析式，得：3＝a（0﹣1）2+4， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）当x＝1时，y＝﹣（x﹣1）2+4≠2， ∴（1，2）不在这个函数图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 18．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为4． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦BC的长． 【思路点拨】（1）根据基本作图方法即可用尺规作图作出∠BAC的平分线； （2）根据（1）中的点E到弦BC的距离为3，根据垂径定理和勾股定理即可求弦BC的长． 【解析】解：（1）如图所示，AE为所求平分线； （2）连接OE交BC于F，连接OC，如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴， ∴OE⊥BC， ∴EF＝3，BC＝2CF， ∴OF＝4﹣3＝1， 在Rt△OCF中，CF＝＝， ∴BC＝． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握垂径定理． 19．在直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（﹣2，0）、B（1，3）． （1）若点C在函数图象上，则点C的坐标可以是下列选项中的 　④　.（只填序号） ①（﹣2，2）：②（1，﹣1）；③（2，4）；④（3，﹣4）． （2）若函数图象对称轴为直线x＝1，点（m，n）在第一象限，求m，n的取值范围． 【思路点拨】（1）①②的横坐标和A、B的横坐标相同，①②；③这个点与A、B共线，可排除③；故选④； （2）根据抛物线的对称轴，A，B坐标可以判断抛物线开口向下，顶点坐标以及抛物线与x轴的另一交点坐标，再根据点（m，n）在第一象限求出m，n的取值范围． 【解析】解：（1）∵①②的横坐标和A、B的横坐标相同， ∴①②不可能在二次函数图象上； 设经过直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x+2， 把x＝2代入得，y＝4， ∴③这个点与A、B共线， ∴③不可能在二次函数图象上； 故点C的坐标可以是④， 故答案为：④； （2）函数图象对称轴为直线x＝1，点B坐标为（1，3），A（﹣2，0）是抛物线与x轴的交点， ∴抛物线开口向下，与x轴的另一交点为（4，0）， ∵点（m，n）在第一象限， ∴m的取值范围为0＜m＜4，n的取值范围为0＜n≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为m，n，p，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C． （1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共1200吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）： A B C m 500 150 150 n 30 240 30 p 20 20 60 请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率； （2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率． 【思路点拨】（1）直接利用概率公式列式求解即可； （2）首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解析】解：， 所以估计“厨房垃圾”投放正确的概率为； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3， 所以垃圾投放正确的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．如图，已知OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）若∠BOC＝46°，求∠AOB的度数． （2）若，求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可得到结论； （2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径． 【解析】解：（1）∵，，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC＝92° （2）过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB， ∴AE＝BE， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC． ∴BD＝BC． ∵AB＝4，， ∴BE＝2，， 在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°， OB2＝（OB﹣1）2+22， 解得， 即⊙O的半径是 ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键． 22．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【思路点拨】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可． 【解析】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O （0，0）代入函数表达式， 解得：a＝﹣， ∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4， 即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1， ∴将＝1代入y＝﹣x2+2x， 解得：y＝＝1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）若a＝1，当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围； （3）已知A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）为该抛物线上的点，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解； （2）根据﹣2＜x＜3，x＝﹣2比x＝3距离对称轴远，分别求得x＝1，﹣2时的函数值即可求解； （3）根据题意可知：B（a，y2）为抛物线的顶点，分两种情况讨论：a＞0时，函数有最小值y2，则y3﹣y2＞0，因为（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0，则y1﹣y3＞0，即y1＞y3，得出|2a﹣1﹣a|＞|a+2﹣a|，解得a＞3，当a＜0时，函数有最大值y2，则y3﹣y2＜0，由（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0，得出y1＜y3，即可得出|2a﹣1﹣a|＞|a+2﹣a|，解得a＜﹣1． 【解析】解：（1）∵y＝ax2﹣2a2x﹣3， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a； （2）当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3， 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， x＝﹣2比x＝3距离对称轴远， ∴x＝1时，y1＝1﹣2﹣3＝﹣4为函数最小值， 当x＝﹣2时，y1＝4+4﹣3＝5为函数最大值， ∴当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5； （3）∵对称轴为直线x＝a， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值y2， ∴y3﹣y2＞0， ∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0， ∴y1﹣y3＞0，即y1＞y3， ∴|2a﹣1﹣a|＞|a+2﹣a|， 解得a＞3， 当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值y2， ∴y3﹣y2＜0， ∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＞0， ∴y1﹣y3＜0，即y1＜y3， ∴|2a﹣1﹣a|＞|a+2﹣a|， 解得a＜﹣1， ∴a的取值范围是a＞3或a＜﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 24．【问题背景】 如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为优弧ABD的中点，连接AC，CD，OC． 【问题探究】 （1）如图1，求证：CO平分∠ACD； （2）如图2，延长AC，DB相交于点E，求证：BA＝BE； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若，BD＝6，求AD的长． 【思路点拨】（1）连接OD，根据点C为优弧ABD的中点，得到，求得∠AOC＝∠COD，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC），∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣∠COD），根据角平分线的定义得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA，根据等量代换得到∠BAE＝∠E，于是得到结论BA＝BE； （3）根据等腰三角形的判定定理得到CD＝CE，求得AC＝CE＝CD＝4，得到AE＝8，设AB＝BE＝x，根据勾股定理得到结论． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵点C为优弧ABD的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OC＝OD， ∴∠CAO＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC），∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣∠COD）， ∴∠ACO＝∠DCO， ∴CO平分∠ACD； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∠ADB＝90°， ∴∠EAD+∠E＝∠ADC+∠CDE＝90°， ∵点C为优弧ABD的中点， ∴， ∴AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠EAB＝∠CDE， ∴∠BAE＝∠E， ∴BA＝BE； （3）解：∵∠CDE＝∠E， ∴CD＝CE， ∴AC＝CE＝CD＝4， ∴AE＝8， 设AB＝BE＝x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝x2﹣62＝AE2﹣DE2＝（8）2﹣（6+x）2， 解得x＝10， ∴AB＝10， ∴AD＝＝8． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，圆心角、弧、弦，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$