三角函数的图象与性质导学案-2025届高三数学一轮专题复习

三角函数的图象与性质-- 2025高三一轮基础复习 学习目标： 1.能利用三角函数的图象解简单问题，掌握三角函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）（重点） 2.掌握三角函数的图象及主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）的简单应用（难点） 【知识梳理】 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） 性 质 定义域 值 域 最 值 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 既无最大值，也无最小值 单调性 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个开区间 上单调递增 周期性 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 正切函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 奇偶性 正弦函数是 余弦函数是 正切函数是 对称性 对称轴 对称轴: 对称中心 对称中心 对称中心 【常用结论】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点一：三角函数的图像 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） （一）教材例习题对点整合 类型一：函数（或）图象的画法 例题：（教材-例1）画出下列函数的简图： （1），；（2），. 练习： 1.（教材-例1） 画出函数的简图. 方法规律总结：函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的常用画法：（1）五点作图法 （2）图像变换 类型二：三角函数图象的应用 例题：（教材-1）观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x所在的区间: (1); (2); (3); (4). 练习： 1.（教材）根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合. （1） (R) （2）+2cosx(R) 2.（教材13）若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合： （1) 1+tanx （2）tanx-0 3.（多项选择题）（教材-4） 函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 E. 4个 （二）五年高考真题对点精选 1.（2024全国新Ⅰ卷）时,曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2.（2023全国甲卷高考真题）函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到, 则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2024全国新Ⅱ卷高考真题）设函数，，当时，曲线 与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点二：三角函数的定义域、值域与单调性 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 性质 定义域 值 域 最 值 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 既无最大值，也无最小值 单调性 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个开区间 上单 调递增 题型一：三角函数的定义域 例题：（教材）求函数的定义域. .练习：（教材7）求函数的定义域. 题型二：利用三角函数的单调性比较大小： （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例4）不通过求值，比较下列各组数大小： （1）与； （2）与. 练习： 1.（教材）不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)与; (2)与. 2.（教材）利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）与； （2）与. （3）与； （4）与. 3.（教材9）利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 题型三：求三角函数的单调区间 （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例5）求函数，的单调递增区间. 练习： 1.（教材）下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A. 在上单调递增,在上单调递 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在及上单调递减 2.（教材-6（习题5.4））求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 3.（教材） 求函数的单调递减区间． 4.（教材1）求函数的单调区间. （二）五年高考真题对点精选 1.（2021·新高考全国I卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 题型四：求三角函数的值域（或最值） （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例3）下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x的集合，并求出最大值､最小值. （1），； （2），； 练习： 1.（教材）求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值. （1）； （2）. （3）； （4）. 2.（教材2）求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值. (1),; (2),. 3.（教材10）求下列函数的值域： （1）； （2）. （二）五年高考真题对点精选 1.（2024全国甲卷高考真题）函数在上的最大值是 ． 2.（2021·全国·乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 3.（2024天津高考真题）7．（5分）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是　　 A． B． C．0 D． 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点三：三角函数的周期性、奇偶性与对称性 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） 性质 周期性 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 正切函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 奇偶性 正弦函数是 余弦函数是 正切函数是 对称性 对称轴 对称轴: 对称中心 对称中心 对称中心 题型一：三角函数的周期 （一）教材例习题对点整合 例题：1.（教材-例2）求下列函数的周期： （1），； （2），； （3），. 2.（教材8）求函数的周期. 练习： 1. （教材-2） 求下列函数的周期: (1),; (2),; (3),; (4),. 2.（教材）求下列函数的周期： （1）； （2） ，x 3（教材）已知周期函数的图象如图所示， （1）求函数的周期；（2）画出函数的图象；（3）写出函数的解析式. （二）五年高考真题对点精选 1.（2024上海高考真题）下列函数的最小正周期是的是　　 A． B． C． D． 2.（2020·全国·新课标I）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 题型二：三角函数的奇偶性 （一）教材例习题对点整合 例题：（教材）下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 练习：（教材-3） 下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数? (1); (2); (3); (4). （二）五年高考真题对点精选 1.（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的是　　 A． B． C． D． 2.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+) C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 3.（2022·全国·甲卷）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4.（2022·全国·甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：三角函数的对称性 1.（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 2.已知函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值是　　　　. 3．若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为 A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z) 4.（2022·新高考全国I卷）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【知识应用-------综合应用，巩固训练】 1.（教材）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 2.函数f(x)＝()的值域是(　　) A．[－1,1] B． C． D． 3.（2024北京高考真题）6. 已知，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知函数 （，， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 5.（2020·天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 6.（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 7.（2022·全国·甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 9．（多项选择题）（2024·全国·新课标II卷）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 10.（多项选择题）（2022·全国·新课标II）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 11.（2020·全国·新课标III）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 12.（2022·全国·乙卷）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 13．（2023全国新课标1卷）已知函数f(x)=cos ωx -1(ω>0)在区间[0, 2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  14.（教材）求函数的定义域､周期及单调区间. 15.（教材21） 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使0成立的x的取值集合. 16.（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值. 三角函数的图象与性质 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数的图象与性质-- 2025高三一轮基础复习 学习目标： 1.能利用三角函数的图象解简单问题，掌握三角函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）（重点） 2.掌握三角函数的图象及主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）的简单应用（难点） 【知识梳理】 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） 性 质 定义域 值 域 最 值 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 既无最大值，也无最小值 单调性 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个开区间 上单调递增 周期性 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 正切函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 奇偶性 正弦函数是 余弦函数是 正切函数是 对称性 对称轴 对称轴: 对称中心 对称中心 对称中心 【常用结论】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝. 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点一：三角函数的图像 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） （一）教材例习题对点整合 类型一：函数（或）图象的画法 例题：（教材-例1）画出下列函数的简图： （1），；（2），. 解：（1）列表 （2）描点 （3）连线 x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 （1）列表 （2）描点 （3）连线 x 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 练习： 1.（教材-例1） 画出函数的简图. 解：方法一：下面用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象. 令，则.列表（表5.6-1），描点画图（图5.6-8）. 表5.6-1 X 0 x y 0 2 0 -2 0 方法二：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图5.6-7所示. 方法规律总结：函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的常用画法： （1）五点作图法 （2）图像变换 类型二：三角函数图象的应用 例题：（教材-1）观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x所在的区间: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 练习： 1.（教材）根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合. （1） (R) （2）+2cosx(R) 【答案】 【解】（1）作一个周期的图象，由图可得原不等式的解集为： （2）由已知得(R)， 作一个周期的图象，由图可得原不等式的解集为： 2.（教材13）若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合： （1) 1+tanx （2）tanx-0 【答案】（1）；（2）. 【解】（1），即所求集合为； （2）），即所求集合为 3.（多项选择题）（教材-4） 函数y=1+cosx，的图象与直线y=t（t为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 E. 4个 【答案】ABC 【解】画出在的图象如右图： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2. 故选：ABC. （二）五年高考真题对点精选 1.（2024全国新Ⅰ卷高考真题）时,曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解】作出曲线与在上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C. 2.（2023全国甲卷高考真题）函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到, 则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解】把函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=x-如图所示.观察图象知,共有3个交点.故选C. 3.（2024全国新Ⅱ卷高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解】解法一：令，即，可得， 令，原题意等价于当时， 曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数， 可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意；综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得，若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点二：三角函数的定义域、值域与单调性 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 性质 定义域 值 域 最 值 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 当且仅当 时， 既无最大值，也无最小值 单调性 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个闭区间 上单调递增 在每一个闭区间 上单调递减 在每一个开区间 上单 调递增 题型一：三角函数的定义域 例题：（教材）求函数的定义域. 【答案】 【解】令，得， 所以函数的定义域为. 练习：（教材7）求函数的定义域. 【答案】 【解】解：由，得， ∴原函数的定义域为. 题型二：利用三角函数的单调性比较大小： （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例4）不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与. 解：（1）因为， 正弦函数在区间上单调递增，所以. （2），. 因为，且函数在区间上单调递减，所以， 即. 练习： 1.（教材）不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)与; (2)与. 【答案】(1) (2) 【解】解:(1),∵,且在内为减函数, ∴,即. (2)∵,且在内为减函数, ∴. 2.（教材）利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）与； （2）与. （3）与； （4）与. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解】（1），且在内为减函数，. （2）. ，且在内为减函数. ，即. （3）. ，且在内为减函数， ，即. （4），. ，且在内为减函数， ，即. 3.（教材9）利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解】解：（1）. ，且在上为增函数，. （2），. ，且在上为增函数， ，即. （3）. ，且在上为增函数， ，即. （4）. ，且在上为增函数， ，即. （二）求三角函数的单调区间 （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例5）求函数，的单调递增区间. 分析：令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增. 解：令，，则. 因为，的单调递增区间是，且由， 得. 所以，函数，的单调递增区间是. 练习： 1.（教材）下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A. 在上单调递增,在上单调递 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在及上单调递减 【答案】C 【解】因为,， 所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同， 所以函数在及上单调递增,在上单调递减. 故选：C 2.（教材-6（习题5.4））求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为.（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【解】（1）当时； 单调递增； 因为，所以单调递增区间为； 当时； 单调递减； 因为，所以单调递减区间为； （2）当时； 单调递增； 因为，所以单调递增区间为； 当时； 单调递减； 因为，所以单调递减区间为. 3.（教材） 求函数的单调递减区间． 【答案】和. 【解】∵上单调递减， ∴上单调递减， 当：；当：； ∴、为的单调递减区间 4.（教材1）求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间为；无单调递增区间. 【解】当时， 单调递减， 即 所以的单调递减区间为；无单调递增区间. （二）五年高考真题对点精选 1.（2021·新高考全国I卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由，解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. （三）求三角函数的值域（或最值） （一）教材例习题对点整合 例题：（教材-例3）下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x的集合，并求出最大值､最小值. （1），； （2），； 解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值 （1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合； 使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合. 函数，的最大值是；最小值是. （2）令，使函数，取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合. 由，得.所以，使函数，取得最大值的x的集合是. 同理，使函数，取得最小值的x的集合是. 函数，的最大值是3，最小值是-3. 练习： 1.（教材）求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值. （1）； （2）. （3）； （4）. 【答案】（1）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是. （2）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是. （3）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是. （4）使y取得最大值的x的集合是；使y取得最小值的x的集合是. 【解】 （1）由得使y取得最大值的x的集合是； 由使y取得最小值的x的集合是. （2）由得使y取得最大值的x的集合是； 由得使y取得最小值的x的集合是. （3）由得使y取得最大值的x的集合是； 由得使y取得最小值的x的集合是. （4）由得使y取得最大值的x的集合是； 由得使y取得最小值的x的集合是. 2.（教材2）求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值. (1),; (2),. 【答案】(1)当时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2. (2)当时,函数取得最大值3;当时,函数取得最小值1. 【解】 （1）当即时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2； (2)当即即时,函数取得最大值3; 当即即当时,函数取得最小值1. 3.（教材10）求下列函数的值域： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解】（1）当时单调递增，； 当时单调递减，； 因此的值域为； （2）当时，，单调递减，； 因此的值域为； （二）五年高考真题对点精选 1.（2024全国甲卷高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 2.（2021·全国·乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 3.（2024天津高考真题）7．（5分）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是　　 A． B． C．0 D． 【解】解：函数， ，， 可得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 故函数取最小值是． 故选：． 【知识应用----夯实基础，对点训练】 知识点三：三角函数的周期性、奇偶性与对称性 函数 y＝sinx y＝cosx y=tanx 图象 特征点 (0，0)，______，_____，_______，(2π，0) (0，1)，_______，______，______，(2π，1) （--，-1），(0,0)，（，1） 性质 周期性 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 正切函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 奇偶性 正弦函数是 余弦函数是 正切函数是 对称性 对称轴 对称轴: 对称中心 对称中心 对称中心 类型一：三角函数的周期 （一）教材例习题对点整合 例题：1.（教材-例2）求下列函数的周期： （1），； （2），； （3），. 解：（1）周期为. （2）周期为. （3）周期为. 2.（教材8）求函数的周期. 【答案】 【解】所求函数的周期. 练习： 1. （教材-2） 求下列函数的周期: (1),; (2),; (3),; (4),. 【答案】(1)周期为 (2)周期为 (3)周期为 (4)周期为 2.（教材）求下列函数的周期： （1）； （2） ，x 【答案】（1）3；（2）2 【解】（1）由题设知：，故最小正周期为 （2）由题设知：，故最小正周期为. 3（教材）已知周期函数的图象如图所示， （1）求函数的周期；（2）画出函数的图象；（3）写出函数的解析式. 【答案】（1）. （2）如右图 （3） 【解】解：（1）. （2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示 （3） 所以. （二）五年高考真题对点精选 1.（2024上海高考真题）下列函数的最小正周期是的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，，则，满足条件，所以正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 故选：． 2.（2020·全国·新课标I）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由图可得：函数图象过点， 将它代入函数可得： 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点， 所以，解得： 所以函数的最小正周期为 故选：C 类型二：三角函数的奇偶性 （一）教材例习题对点整合 例题：（教材）下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数. 【解】（1）定义域为R,且，所以是偶函数； （2）定义域为R,且，所以是偶函数； （3）定义域为R,且，所以是奇函数； （4）定义域为, 但，所以既不是奇函数，也不是偶函数. 练习：（教材-3） 下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数? (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)(3)(4)是奇函数; (2)是偶函数. （二）五年高考真题对点精选 1.（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，定义域为， （1），，则（1），不符合题意； ，，定义域为，，即为偶函数，符合题意； ，由题意得，，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意； ，函数定义域为， ，即为奇函数，不符合题意． 故选：． 2.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+) C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 【答案】A 3.（2022·全国·甲卷）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 4.（2022·全国·甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 类型三：三角函数的对称性 1.（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】 【解】 当时 故答案为： 2.已知函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值是　　　　. 【答案】- 【解】由函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,得sin(+φ)=±1,因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=,φ=-. 3．若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为 A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z) 【答案】B 【解】函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为y=2sin 2(x+),令2(x+)=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以所求对称轴的方程为x=+(k∈Z),故选B. 4.（2022·新高考全国I卷）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 【知识应用-------综合应用，巩固训练】 1.（教材）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解】最小正周期为，在区间上单调递减； 最小正周期为，在区间上单调递减； 最小正周期为，在区间上单调递增； 最小正周期为，在区间上单调递减； 故选：A 2.函数f(x)＝()的值域是(　　) A．[－1,1] B． C． D． 【答案】B 【解】　由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈ ．故选B． 3.（2024北京高考真题）6. 已知，，，，则（ ） A. 1 B. 2C. 3 D. 4 【答案】B 【解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选：B. 4.已知函数 （，， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解】由题意知函数 在区间 ，即 上单调递减，且 是它的对称轴． 将要比较大小的自变量调整到区间 上再比较：，，而 ，故 ，即 ． 5.（2020·天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解】因为，所以周期，故①正确； ，故②不正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象， 故③正确. 故选：B. 6.（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 7.（2022·全国·甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8.（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 9．（多项选择题）（2024·全国·新课标II卷）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 10.（多项选择题）（2022·全国·新课标II）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11.（2020·全国·新课标III）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 12.（2022·全国·乙卷）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 13．（2023全国新课标1卷）已知函数f(x)=cos ωx -1(ω>0)在区间[0, 2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  【答案】[2,3) 【解】　解法一　函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ],则由余弦函数的图象可知,4π≤2ωπ<6π,解得2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 解法二　函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,根据函数y=cos x在[0,2π]上的图象可知,cos x=1在区间[0,2π]有2个根,所以若cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,则函数y=cos ωx在[0,2π]内至少包含2个周期,但小于3个周期,即,又ω>0,所以2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3). 14.（教材）求函数的定义域､周期及单调区间. 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论. 解：自变量x的取值应满足，， 即，. 所以，函数的定义域. 设，又，所以， 即. 因为都有， 所以，函数的周期为2 由，解得，. 因此，函数在区间，上都单调递增. 15.（教材21） 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使0成立的x的取值集合. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解】（1）由题意：函数， 化简得： ， 的最大值为1， ，解得：． （2）由（1）可知． 根据三角函数的性质可得：，．解得：， 的单调递减区间为； （3）由题意：0，即1， 可得： ，(Z) 解得 ，(Z) 0成立的的取值范围是｛x|，Z｝． 16.（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 三角函数的图象与性质 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$