专题02与圆的性质有关的辅助线作法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题02 与圆的性质有关的辅助线的作法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 2 类型二、90°所对的弦为直径 4 类型三、构造圆内接四边形 5 类型四、与弧的中点有关的辅助线的作法 6 类型五 与垂径定理有关的辅助线的作法 7 类型六 与切线有关的辅助线的作法 9 压轴能力测评 10 1. 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 2. 90°所对的弦为直径 3. 构造圆内接四边形 4 与弧的中点有关的辅助线的作法 (1) 连等弧所对的弦（圆心角），运用等弧所对的弦（圆心角）相等； (2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题。 5 与垂径定理有关的辅助线的作法 6 与切线有关的辅助线的作法 （1） 有公共点：连半径； （2） 无公共点：作垂直，证半径； （3） 遇切线，连半径。 类型一、构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 例．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，是的内接三角形，，D是边上一点，连接并延长交于点E．若，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 类型二、90°所对的弦为直径 例。如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1】．如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 类型三、构造圆内接四边形 例．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 【变式训练3】．如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 类型四、与弧的中点有关的辅助线的作法 (2) 连等弧所对的弦（圆心角），运用等弧所对的弦（圆心角）相等； (2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题。 【例】西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A．4 B．5.5 C． D． 【变式训练2】．如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 类型五 与垂径定理有关的辅助线的作法 【例】如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（  ）    A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【变式训练2】．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【变式训练3】．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 类型六 与切线有关的辅助线的作法 （4） 有公共点：连半径； （5） 无公共点：作垂直，证半径； （6） 遇切线，连半径。 【例】．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 2．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽，水深，若水面上升（即），则此时水面宽为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，在矩形中，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点D是直径上不与A，B重合的一点，过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． (1)求证：是的切线； (2)当D是的中点时，，求的长． 6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 7．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证： 是的切线； (2)若，， 求图中阴影部分的面积． 8．如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，过点C作的切线，交的延长线于点P，过点P作交于F，Q两点（点F在线段上），求的长． 9．已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 10．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与圆的性质有关的辅助线的作法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 2 类型二、90°所对的弦为直径 6 类型三、构造圆内接四边形 11 类型四、与弧的中点有关的辅助线的作法 14 类型五 与垂径定理有关的辅助线的作法 18 类型六 与切线有关的辅助线的作法 22 压轴能力测评 26 1. 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 2. 90°所对的弦为直径 3. 构造圆内接四边形 4 与弧的中点有关的辅助线的作法 (1) 连等弧所对的弦（圆心角），运用等弧所对的弦（圆心角）相等； (2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题。 5 与垂径定理有关的辅助线的作法 6 与切线有关的辅助线的作法 （1） 有公共点：连半径； （2） 无公共点：作垂直，证半径； （3） 遇切线，连半径。 类型一、构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 例．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 【变式训练1】．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】．如图，是的内接三角形，，D是边上一点，连接并延长交于点E．若，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键． 连接，，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接，，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即的半径为， 故选：A． 【变式训练3】．如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 类型二、90°所对的弦为直径 例。如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理及其推论、等腰三角形判定与性质、圆内接四边形性质、相似三角形的判定与性质等知识，先由直径所对的圆周角是直角，再由等腰三角形三线合一得到，根据圆内接四边形性质得到，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：   为的直径， ，即， 在中，， 则， 四边形是的内接四边形， ， 在中，， ， ， ， 即，解得， 故选：B． 【变式训练1】．如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线，得出点G在以为直径的圆上运动，以及找到的最小值为是解题关键．延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接，根据，可得，再由勾股定理可得，根据，可得点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【变式训练2】如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式训练3】如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 类型三、构造圆内接四边形 例．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 【变式训练1】．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【详解】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C．    【变式训练2】．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 故先：C． 【变式训练3】．如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，圆周角定理，是解题的关键． 在外的上取点A，连接，，根据圆内接四边形性质得到，根据圆周角定理可得可得． 【详解】在外的上取点A，连接，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 类型四、与弧的中点有关的辅助线的作法 (2) 连等弧所对的弦（圆心角），运用等弧所对的弦（圆心角）相等； (2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题。 【例】西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾股定理列出关于半径的方程．连接，，设这段弯道的半径为，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质得到，由垂径定理求出的长，由勾股定理得到，求出即可． 【详解】解：连接，， 设这段弯道的半径为， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这段弯道的半径为． 故选：A 【变式训练1】．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧BE的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 即的半径为． 故选：C． 【变式训练2】．如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到，．连接，由圆周角定理求出，由邻补角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理即可求出． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是劣弧的中点， ， ． 故选：B 【变式训练3】．如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 类型五 与垂径定理有关的辅助线的作法 【例】如图，飞云江五桥外边沿呈圆弧状，已知弦，弓形的高度，则该桥的外边沿所在圆的半径长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可得，设圆的半径为，则有，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设点为拱桥的圆心，则垂直平分，      ∵，，， ∴， 设圆的半径为， 则， ∴， ∴， ∴圆的半径长为， 故选：B． 【变式训练1】．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识． 连接，过点O作于点E，由垂径定理得到，同时，先求出， 在中得到，中，即可得到． 【详解】解：连接，过点O作于点E，则，， ∴ ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴， 在中， ∴， 在中，， ∴ 故选：D 【变式训练2】．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练3】．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理和勾股定理，分别计算位于点的两侧时的长即可． 【详解】解：根据题意，作图1和图2，连接． 如图1、是直径，， ， 圆的半径为， 在中利用勾股定理，得， ， 在中利用勾股定理，得； 如图2、， ， 在中利用勾股定理，得． 综上，的长为或． 故选：C． 类型六 与切线有关的辅助线的作法 （4） 有公共点：连半径； （5） 无公共点：作垂直，证半径； （6） 遇切线，连半径。 【例】．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式训练1】．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连结，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周可求出的度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连结， ∵是的直径， ， ∵ ∵， ． 故选：A． 【变式训练2】．如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，过点作，交于点．已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用正方形性质证明，得到，根据A，E，F，B四点共圆，以及圆周角定理得到，利用等腰三角形性质得到，，以及，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，即， A，E，F，B四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，四点共圆，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 【变式训练3】．如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，连接，得出，，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据点为优弧的中点，得出，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径，， ∴， ∵ ∴ ∵点为优弧的中点， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：B． 1．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽，水深，若水面上升（即），则此时水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，连接．设的半径是r，则，，由垂径定理得，再用勾股定理解求出r，再用勾股定理解求出，最后再次利用垂径定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接． 设的半径是r，则，． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 故选B． 3．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 4．如图，在矩形中，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为直径作，连接在矩形内部交于点，则此时有最小值，由矩形的性质及圆的概念可求解的长，利用勾股定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：如图，以为直径作，连接在矩形内部交于点，则此时有最小值，     矩形中，，， ，， ， ， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系以及圆周角定理，正确确定点位置是解题的关键． 5．如图，是的直径，点D是直径上不与A，B重合的一点，过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． (1)求证：是的切线； (2)当D是的中点时，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂直得，同圆半径相等推，再由已知条件推，等量代换的的角从而证出是的切线； （2）由是的直径，得，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、切线的判断，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些定理性质，熟练应用相似三角形的判定是解决本题的关键． 6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论； 【详解】（1）证明：如图，连接， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）解： ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证： 是的切线； (2)若，， 求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的判定定理得出，由等边对等角得出，从而得出，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）由勾股定理求出，由余弦定义求出，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：连接OC， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ∴在中，， ． ∵， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．如图，为的直径，C，D为圆上的两点，，弦相交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，过点C作的切线，交的延长线于点P，过点P作交于F，Q两点（点F在线段上），求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质得，再根据平行线得性质得，即可得出，然后根据“弧，弦，圆周角的关系”得出答案； 对于（2），连接，可知，再根据“两角相等的两个三角形相似”得，即可求出，然后根据直径所对的圆周角是直角得，最后根据勾股定理得出答案； 对于（3），作，连接，先根据切线的性质得再根据“两角相等的两个三角形相似”得，根据相似三角形的对应边成比例得，即可求出，进而求出，然后说明，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，接下来根据勾股定理求出,最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴． ∵ ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）如图，过点O作于点H，连接， ∵是切线， ∴且， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，平行线的性质，弧，弦，圆心角的关系，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 9．已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先设的半径为，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案； （2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线． 【详解】（1）解：（1）设的半径为， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明． 10．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$