专题04圆（隐形圆）中的最值问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题04 圆（隐形圆）中的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、点到直线的距离的最值问题 3 类型二、弦长最值问题 6 类型三、 轴对称变换求最值 10 类型四、定点定长最值问题 13 类型五、定弦定角最值问题 18 类型六、一般隐形圆最值问题 27 类型七、折叠隐形圆最值问题 32 压轴能力测评 37 1.点到圆的距离的最值问题 (1)点P在圆外，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 (2)点P在圆内，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 2.弦长最值问题 点P是⊙O内一点，作直线OP,交⊙O于点A,B,过点P作AB的垂线，交⊙O于点CD，则过点P的最长弦的长为直径AB的长，最短弦的长为线段CD的长。 3.轴对称变换求最值 特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值。 直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点。 做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点。 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值。 4.定点定长最值问题 如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 5.定弦定角最值问题 6.一般隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角。 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 7.折叠隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静。 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 类型一、点到直线的距离的最值问题 (1)点P在圆外，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 (2)点P在圆内，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 【例】．若一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（   ） A．2.5cm或6.5cm B．2cm C．6.5cm D．2cm或6cm 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】分两种情况讨论：当点在圆内或点在圆外． 【详解】解：当点在圆内时，圆的直径为4+8=12，圆的半径为6； 当点在圆外，圆的直径为8-4=4，圆的半径为2， 即该圆的半径为2cm或6cm 故选：D． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，分类讨论是解题关键． 【变式训练1】．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm； ②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，分点在圆内和圆外两种情况求出圆的直径，然后根据直径与半径的关系得到半径的值． 【变式训练2】．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（    ） A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13 【答案】A 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、判断点与圆的位置关系 【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点在圆内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点在定圆外时，直径=最远点的距离-最近点的距离． 【详解】解：应分两种情况讨论： ①当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9， 则直径=最近点的距离+最远点的距离，即：直径=4+9=13，因而半径是6.5； ②当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5． 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【变式训练3】．在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ． 【答案】2或20 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】设与交于点，与交于点，分当时，当时，当时三种情况讨论，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 当时，如图， 圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，    则， 在中，， ， （舍去）； 当时，如图，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，      则， 在中，， ， ， 当时，为斜边，， ， 故此情况不成立，舍去． 综上所述：的半径的值为2或20． 故答案为：2或20． 【点睛】本题考查了点与圆的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想方法是本题的关键． 类型二、弦长最值问题 点P是⊙O内一点，作直线OP,交⊙O于点A,B,过点P作AB的垂线，交⊙O于点CD，则过点P的最长弦的长为直径AB的长，最短弦的长为线段CD的长。 【例】．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解. 【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD， ∵C为的三等分点， ∴的度数为60°， ∴∠AOC=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC为等边三角形， ∵Q为OA的中点， ∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°, ∴OQ= , 由勾股定理可得，CQ= , ∵D为AP的中点, ∴OD⊥AP， ∵Q为OA的中点， ∴DQ= , ∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 . 故选D    【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键. 【变式训练1】．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE=，则AB的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】先判断出OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，从而得到AB最大，连接OC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACO=30°，再根据垂径定理和勾股定理求出AC，然后求出∠ACB=60°，再求出AC=BC，从而得到△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形的性质可得AB=AC． 【详解】： 如图，当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，AB最大， 连接OC， ∵O的半径为2,OD=， ∴∠ACO=30°， ∴AC=2CD=2=2=2， 同理可得∠BOC=30°， ∴∠ACB=60°， ∵OD=OE，OD⊥AC、OE⊥BC，∴AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=2， 即AB的最大值为2. 故答案选A. 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理定理，解题的关键是熟练的掌握垂径定理定理. 【变式训练2】．如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（　　） A．15 B．20 C．15＋5 D．15＋5 【答案】C 【知识点】圆周角定理 【详解】试题分析：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值， 因此，只要AP的长为最大值， ∴当P的运动到D点时，AP最长为，所以周长为5×3+=15+． 故选C． 考点：圆心角、弧、弦的关系；勾股定理． 【变式训练3】．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为6，则的最大值为 ． 【答案】9 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，，根据，可得为等边三角形，从而，再利用三角形中位线定理可得，因而，再由当弦是圆的直径时，最大，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， 要求的最大值，即求弦的最大值， ∵当弦是圆的直径时，最大，最大值为：， ∴的最大值为：． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，理解直径是圆的最长弦是解题的关键． 类型三、 轴对称变换求最值 特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值。 直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点。 做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点。 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值。 【例】．如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）    A．10 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值    ∵的度数为，点是弧的中点， ∴的度数为， 又， ∴是等边三角形， ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 【变式训练1】．如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 【答案】B 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 【变式训练2】．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为 A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【详解】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小， 连接OA′,AA′. ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′， ∵点B是弧AN∧的中点， ∴∠BON=30 °， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=1， ∴A′B= ∴PA+PB=PA′+PB=A′B= 故选：C. 【变式训练3】．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选D． 点睛：正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 类型四、定点定长最值问题 如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 【例】．如图，已知等边的边长为10．点P是AB边上的一点且．直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点．在直线的变化过程中，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、圆的基本概念辨析、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征、圆与三角形综合问题，过点作，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动，利用等边三角形的性质得，进而可得，可得，进而可得，再利用三角形的面积公式即可求解，找准当的延长线交圆于点时面积最大是解题的关键． 【详解】解：过点作，如图： 由题意得，点在以点为圆心，半径长为8的圆上运动， 当的延长线交圆于点时面积最大， 在中，，， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 的最大值为：， 故选B． 【变式训练1】．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、与三角形中位线有关的求解问题、圆的基本概念辨析 【分析】连接，根据抛物线的性质可得，从而得到，进而得到当长最大时，长最大，且当过圆心C时，长最大，再求出的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵抛物线关于y轴对称， ∴，    ∵Q是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当长最大时，长最大， 且当过圆心C时，长最大， 当时，， ∴B的坐标是， ∴， ∵C的坐标是， ∴， ∴， ∵的半径是2， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，圆的基本性质，三角形中位线定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式训练2】．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、与三角形中位线有关的求解问题、坐标与图形 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的圆B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】 点C为坐标平面内一点，BC＝1， 在圆B上，且半径为1， 取，连接CD， ， 是的中位线， ， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ， ， ， ，即OM的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理及圆的相关知识等，确定OM为最大值时点C的位置，并熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ） A．10 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】根据点为平面内一点且满足，得到点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，可得当线段过圆心时，的值最大，据此求解即可． 【详解】解：∵，，三点的坐标为： (0，1)， (0，3)，(0，-1)， 则有：， 又∵点为平面内一点且满足，则点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆， 如图示，当线段过圆心时，的值最大， 过点作轴，交轴于点，过点作，交于点， ∵点的坐标是(4，4)，点的坐标是(0，1)， ∴，， 则： ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 类型五、定弦定角最值问题 【例】．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 【变式训练1】．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图所示，取中点E，连接，，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则； （2）先作等边三角形，再以O为圆心，的长为半径画弧与直线l的交点即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形，分别求出、即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，取中点E，连接，， ∵，E为的中点， ∴， ∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心， ∴； （2）如图所示，、即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则四边形为正方形 ∵四边形是矩形， ∴， ∴B在圆O上，， ∴， ∵OH⊥EF， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形 ∵， ∴， 在直角中， ∴， ∵OE⊥BC， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【变式训练2】．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)见详解 (4) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案； （4）根据题意易得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：，； （2）解：当点P在优弧上点为，在劣弧上的点为， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 综上所述：弦所对的圆周角的度数为或； （3）解：∵， ∴AB所在直线的下方点M，存在， 即A、B、P、M四点共圆， 作垂直平分线交于点N， 以点N为圆心为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点， 以O为圆心为半径画圆弧； 如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的． （4）解：由题意可， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的路径是以为弦的圆弧， ∴弦所对圆周角为，圆心角为，半径为， ∴点P运动的路径长是：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹． 【变式训练3】．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．    (1)当________时，的最大面积为________； (2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线． 【答案】(1)，4 (2)见解析 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据三角形的面积公式得到，根据题意确定时，最大，计算即可；； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理得到∠，根据切线的判断定理证明结论． 【详解】（1）∵， ∴，． 在中，设边上的高为， ∵， ∴当最大时，取得最大值． 当时，最大， 此时，． ∴的最大面积为4．    （2）证明：如图，连接，．    ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【点睛】考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质，解题关键是抓住经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线求解． 类型六、一般隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角。 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 【例】．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 【变式训练1】．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 【变式训练2】．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，作于，由勾股定理可得，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解，找准最大值与最小值的点是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点与点重合时，最大， ， 由勾股定理可得：， 如图，当与上的高，即点重合时，最小， ， 由勾股定理可得：， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：C． 【变式训练3】．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、求一点到圆上点距离的最值 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 类型七、折叠隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静。 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 【例】．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、圆的基本概念辨析、求一点到圆上点距离的最值、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 【变式训练1】．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用勾股定理的逆定理求解、判断点与圆的位置关系、折叠问题 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， 由折叠可得，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式训练2】．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、求一点到圆上点距离的最值、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．    过点D作交延长线于G， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴ ∴ 由折叠的性质可知 ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键． 【变式训练3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 【答案】A 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、勾股定理与折叠问题 【分析】B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，DE﹣B′E即为所求． 【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F， ∴EB′＝EB， ∵E是AB边的中点，AB＝4， ∴AE＝EB′＝2， ∵AD＝6， ∴DE＝＝2 ， ∴DB′＝2﹣2． 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 2．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 3．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键． 先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 4．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 5．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 6．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点．则，那么，点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分，当点落在线段上时，的值最小，根据矩形的性质得，结合已知求得和，继而证明四边形是矩形，可知和，利用勾股定理可求得，即可求得． 【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点分别作于点于点． ， 点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的在矩形内的部分， 当点落在线段上时，的值最小， 四边形是矩形， ， ，， ， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ． 故选：A． 7．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：， 故答案为：． 8．如图，在等腰中，斜边的长为8，点P在以为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接，则的最小值为 ． 【答案】 / 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、求一点到圆上点距离的最值、求弧长 【分析】取的中点O，连接，取的中点，连接，利用勾股定理求出，根据三角形中位线的性质求出，确定点M的运动轨迹，即可求出点M运动的路径长；再根据点到圆上的距离即可求出的最小值． 【详解】解：取的中点O，连接，取的中点，连接， 在等腰中，斜边的长为8， ， ， 点O为的中点， ， 为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ∴点M在以为半径的上运动． ∵当点P从点A运动至点C时， 点M所经过的路径为半圆， ∴点M运动的路径长为； ∵点M在以为半径的上， ∴当点M在与的交点处时，最小，最小值为． ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点到圆上的距离，弧长公式，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 9．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 【答案】4 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得 ， ∴要使最小，只需最小 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆（隐形圆）中的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、点到直线的距离的最值问题 3 类型二、弦长最值问题 4 类型三、 轴对称变换求最值 5 类型四、定点定长最值问题 6 类型五、定弦定角最值问题 8 类型六、一般隐形圆最值问题 11 类型七、折叠隐形圆最值问题 12 压轴能力测评 14 1.点到圆的距离的最值问题 (1)点P在圆外，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 (2)点P在圆内，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 2.弦长最值问题 点P是⊙O内一点，作直线OP,交⊙O于点A,B,过点P作AB的垂线，交⊙O于点CD，则过点P的最长弦的长为直径AB的长，最短弦的长为线段CD的长。 3.轴对称变换求最值 特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值。 直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点。 做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点。 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值。 4.定点定长最值问题 如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 5.定弦定角最值问题 6.一般隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角。 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 7.折叠隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静。 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 类型一、点到直线的距离的最值问题 (1)点P在圆外，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 (2)点P在圆内，作直线OP,交⊙O于点A,B,点P到圆上的点的最小距离为线段AP的长，点P到圆上的点的最大距离为线段BP的长。 【例】．若一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（   ） A．2.5cm或6.5cm B．2cm C．6.5cm D．2cm或6cm 【变式训练1】．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【变式训练2】．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（    ） A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13 【变式训练3】．在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ． 类型二、弦长最值问题 点P是⊙O内一点，作直线OP,交⊙O于点A,B,过点P作AB的垂线，交⊙O于点CD，则过点P的最长弦的长为直径AB的长，最短弦的长为线段CD的长。 【例】．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【变式训练1】．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE=，则AB的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（　　） A．15 B．20 C．15＋5 D．15＋5 【变式训练3】．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为6，则的最大值为 ． 类型三、 轴对称变换求最值 特征：一直线(线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值。 直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点。 做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点。 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值。 【例】．如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）    A．10 B． C． D．5 【变式训练1】．如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 【变式训练2】．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为 A．1 B． C． D． 【变式训练3】．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 类型四、定点定长最值问题 如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 【例】．如图，已知等边的边长为10．点P是AB边上的一点且．直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点．在直线的变化过程中，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 【变式训练2】．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ） A．10 B．8 C．7 D．9 类型五、定弦定角最值问题 【例】．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【变式训练1】．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【变式训练2】．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【变式训练3】．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．    (1)当________时，的最大面积为________； (2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线． 类型六、一般隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角。 做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 【例】．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【变式训练1】．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式训练2】．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 类型七、折叠隐形圆最值问题 特征：单线段求最值，端点一动一静，且折叠出现的最值，折痕端点一动一静。 做法：以折痕定点为圆心，折叠长度为半径作圆。 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径。 【例】．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【变式训练3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 1．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 2．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 3．如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 4．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 7．如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为 ． 8．如图，在等腰中，斜边的长为8，点P在以为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接，则的最小值为 ． 9．如图，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为3，P为x轴上一动点，切于点B， 则最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$