4.1.1 n次根式与分数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

思想准备： 坐姿要求：一拳一尺一寸 物质准备：必修第一册教材、优佳学案、笔记本、课堂练习本、当堂检测本、草稿纸、三色笔。 知识准备：函数的性质 要求：所有同学必须在课前准备好以上内容，跟着老师一起探索。 按学习规律办事 课前三准备 课前3分钟 学习目标——明确方向，把握重、难点 【学习目标】： 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次根式与分数指数幂 (1) 4的平方根是____ (2) 4的算术平方根是____ (3) 8的立方根是____ (4) -8的立方根是____ 问题1 平方根、立方根是如何定义的？ 如果x3=a，那么x叫做a的立方根， 如果x2=a，那么x叫做a的平方根， 上一章学习幂函数时，我们将记作,这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？不妨从已知的平方根、立方根入手. 导+思 【定义】一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 问题2 你能类比得到n次 方根的定义吗？ 如果x3=a，那么x叫做a的立方根 如果x2=a，那么x叫做a的平方根 如果x4=a，那么x叫做a的四次方根 …… 如果x5=a，那么x叫做a的五次方根 如果xn=a ，那么x叫做a的n次方根 导+思 1. n次方根的概念 问题3 n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？ a a的平方根 4 9 0 -4 -9 a a的立方根 27 8 0 -8 -27 a a的四次方根 81 16 0 -16 -81 a a的五次方根 32 1 0 -1 -32 ±2 ±3 0 无 无 3 2 0 -2 -3 ±3 ±2 0 无 无 2 1 0 -1 -2 【思考】当n为奇数时，有几个n次方根？ n为偶数呢？ 导+思 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝_____ x＝_____ x＝0 不存在 xn=a，n>1，且n∈N* 2. n次方根的性质 【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 例如， 【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方根用表示，负的n次方根用表示. 两者也可以合并成(a>0). 例如， 【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作： 因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数. 因此负数没有偶次方根. 归纳 3. 根式的概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数 被开方数 根据n次方根的定义， 可得：， 比如： 【1】 一般读作“n次根号a” 【2】 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. 【3】 当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a. 注： 根式的运算性质 即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为开方数. 问题4 若对一个数先乘方，再开方（同次），结果是什么？ 等于什么？ 导+思 例1 求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ；(4) . 解： (1) ； (2) ； (3) (4) 思+议+展 探究 根据n次方根的定义和运算，我们知道 ___________________(a>0) ___________________(a>0) 也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式. 思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？ 事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如： , . 一般地 思+展 4.分数指数幂 规定正数的正分数指数幂的意义是： 所以，在条件的下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿. 规定正数的负分数指数幂的意义是： 例如， 规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义. 注意：分数指数不能随意约分. 因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义. 5.分数指数幂的运算性质 ②当a<0,b<0时运算法则不一定成立. 只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 注意：①法则的逆用： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 例2 求值：（1） ；（2） . 解： （1）法一； （2）法一. 法二； 法二. 法三. 思+议+展 解： 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0). ； . (1) ； (2) . 思+议+展 例4 计算下式各式(式中字母均是正数). 解： 思+议+展 1、n次方根和根式的概念。 2.当n为奇数时，a的n次方根是 当n为偶数时，正数a的n次方根是 负数没有偶次方根。 3.0的任何次方根都是0 当n是奇数时， 当n是偶数时， 课堂小结 4.分数指数概念 (a＞0,m,n∈N*, n＞1) 5.有理指数幂运算性质 (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 课堂小结 20 1. 用根式的形式表示下列各式（a>0）. 解： 2. 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式. 解： 当堂检测 当堂检测 3. 计算下列各式. 解： 思想准备： 坐姿要求：一拳一尺一寸 物质准备：必修第一册教材、优佳学案、笔记本、课堂练习本、当堂检测本、草稿纸、三色笔。 知识准备：函数的性质 要求：所有同学必须在课前准备好以上内容，跟着老师一起探索。 按学习规律办事 课前三准备 知识点1：根式 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 知识点2：分数指数幂 知识点3：有理数指数幂 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 课前3分钟 课前3检测 学习目标 1.能结合教材探究了解无理数指数幂. 2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质． 导入新知 公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数内的诞生. 希帕索斯 思考 根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？ 提示 根据勾股定理可以计算出正方形的对角线长为上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数． 那么，当指数是无理数时意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？ 思 学习新知 在初中的学习中，我么通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂． 学习新知 5x的近似值 5y的近似值 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415 1.414 2 1.414 3 1.414 21 1.414 22 1.414 213 1.414 214 1.414 213 5 1.414 213 6 1.414 213 56 1.414 213 57 1.414 213 562 1.414 213 563 … … … … 学习新知 5x的近似值 5y的近似值 1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669 972 9 1.42 9.829635 328 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62 1.414 21 9.738 461 907 1.414 22 9.738 618 643 1.414 213 9.738 508 928 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 5 9.738 516 765 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 56 9.738 517 705 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 562 9.738 517 736 1.414 213 563 9.738 517 752 ………… ………… ………… ………… 学习新知 学习新知 思+议+展 反思感悟　关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 及时检测 探究点一 根式 探究角度1　根式的性质 [例1] 化简下列各式. 思+议+展 即时训练1-1:化简下列各式. 探究角度2　条件根式的化简 思+议+展 探究点二 根式与分数指数幂 探究角度1　根式与指数幂的互化 [例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式. 思+议+展 探究角度2 指数幂运算性质 ［例4］ 计算下列各式: （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 思+议+展 42 （3）,都为正数 ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 43 即时训练4-1: 化简下列各式.（式中字母都是正数） （1） ； 解:原式 . （2） ； 解:原式 . （3） ； 解:原式 . （4） . 解:原式 . 思+议+展 44 探究点三 条件求值问题 (1)a+a-1; (2)a2+a-2; 思+议+展 (2)对(1)中的式子两边平方, 得a2+a-2+2=121, 所以a2+a-2=119. 当堂检测 ± 3.的值是　　　　.  4.化简-的结果为　　　　. 1.化为根式为(　 　) A. B. C. D. 2.已知m10=2,则m等于(　 　) A. B.- C. D.± 例1　计算下列各式的值： (1) ; (2) ; (3) 【解析】(1)原式= (2)原式= = (3)原式= 【变式1】计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1) 【解析】 (1)原式= (2)原式= . 解:(1)=-7. (2)=|-9|=9. (3)=|a-b|= (2); (3). (1); (2)++. 解:(2)原式=|-5|++=5+2-3=4. (1)+; 解:(1)因为=|3-π|=π-3,=-π-3. 所以原式=π-3-π-3=-6. [例2] 若-4<x<4,求+的值. 解:原式=+=|x-2|+|x+4|. 因为-4<x<4,所以当-4<x<2时, 原式=-(x-2)+(x+4)=6. 当2≤x<4时,原式=(x-2)+(x+4)=2x+2. 所以原式= (2)化简(1-a)·. 即时训练2-1:(1)若x<y<0,试化简+; 解:(1)原式=+=|x+y|+|y-x|. 因为x<y<0,所以x+y<0,y-x>0, 所以原式=-(x+y)+(y-x)=-2x. (2)要使根式有意义,则a-1>0, 所以(1-a)=-(a-1)=-=-. 解:(1)====. (2)原式=[(==. (3)法一　从外向里化为分数指数幂. 法二　从里向外化为分数指数幂. ====(·x=. (2)((b>0); (3)(x>0,y>0). (1)(a>0); (2)(a>0,b>0); 解:(2)原式=[ab3(ab5=[a·b3·(b5=(=. 解:(3)原式======. (3)(x>0). 即时训练3-1:将下列根式化为分数指数幂的形式. (1)(m>0); 解:(1)原式===(=. (3). 解:(1)将+=3两边平方, 得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7. (2)对(1)中的式子两边平方, 得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47. (3)= =a+a-1+1=8. [例5] 已知+=3,求下列各式的值. (3)=a+a-1+1=11+1=12. [变式训练5-1] 若将已知改为-=3,所求 3个问题的结果是否会发生变化? 解:(1)将-=3两边平方,得a+a-1-2=9,所以a+a-1=11. [变式训练5-2] 若该题中,已知a+a-1=7,求+呢? 解:(+)2=a+a-1+2=9, 所以+==3. 3.计算:0.25×(-)-4-4÷20-(=　　　　.  4.若-=1,则x+x-1=　　　　;x2+x-2=　　　　. 1.将根式化为分数指数幂是(　 　) A. B. C.- D. 2.下列各式正确的是(　 　) A.=a B.a0=1 C.=-4 D.=-π $$