湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024年秋高二10月份数学月考试卷蕲春县实验高中 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 3.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4.下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 5.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．则直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411   231   324   412   112   443   213   144   331   123 114   142   111   344   312   334   223   122   113   133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（    ） A． B． C． D． 8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心， 点 是线段 上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　) A．事件A1，A2互斥 B．事件B与事件A1相互独立 C．P(A1B)＝ D．P(B)＝ 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知A,B是相互独立事件,且,,则 . 13.已知向量，若与的夹角为，则实数t的取值是 ． 14.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)，则线段MN最短为________． 4、 解答题（本题共5小题，共77分） 15．已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为. (1)求边所在直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 16. 已知空间三点． （1）求以为邻边的平行四边形的面积； （2）设，若四点共面，求的值． 17.如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 18．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率； (2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19.如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：平面M与平面M夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 行而不辍，未来可期 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蕲春县实验高中2024年秋高二10月份数学月考试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 【答案】D 【解析】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑， 对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确； 对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确； 对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确； 对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确； 故选：D. 3．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 4．C 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 5.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 【详解】平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系. 则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为. 7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411   231   324   412   112   443   213   144   331   123 114   142   111   344   312   334   223   122   113   133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个. 由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为. 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 9．BD 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A错误； 因为， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C错误； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以D正确. 故选：ABD 10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　) A．事件A1，A2互斥 B．事件B与事件A1相互独立 C．P(A1B)＝ D．P(B)＝ 【答案】ACD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数， 所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确； P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，P(A1B)＝＝，故C正确，D正确； 因为P(A1B)＝，P(A1)P(B)＝×＝，则P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B与事件A1不独立，故B错误． 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【详解】 对于A，连接，，，， 平面，，同理，，，直线平面，故A正确； 对于B，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知A,B是相互独立事件,且,,则 . 【答案】 【解析】∵，，∴，. 又∵A，B是相互独立事件，∴和也为相互独立事件， ∴， 故答案为：. 13.已知向量，若与的夹角为，则实数t的取值是 ． 【答案】 14.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)，则线段MN最短为________． 14. 解析　建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)． 因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以M， N， 所以＝. 所以||＝ ＝， 即MN的长为. 当a＝时，||min＝， 即M，N分别为AC，BF的中点时， MN的长最小，最小值为. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知三角形ABC三个顶点坐标分别为. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 【解析】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）x - . 16. 已知空间三点． （1）求以为邻边的平行四边形的面积； （2）设，若四点共面，求的值． 【详解】（1）因为， 所以，， ， . ． （2）， 四点共面， 存在唯一一对实数，使得， ，解得， ． 17.如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 18．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率； (2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】(1) (2)派甲参赛获胜的概率更大 (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论； （3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解. 【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”， 则，，，相互独立，且，，，， 设“甲在比赛中恰好赢一轮” 则； （2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 所以， ， 因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； （3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， 于是“两人中至少有一人赢得比赛”， 由（2）知，， 所以， ， 所以. 19.如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：平面M与平面M夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论． 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 解答题 15.（13分） ) ( 姓名 ) ( 考号 ) ( 班级 ) ( 客观题（1-8 为单选，9-1 1 为多选） 1 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B] [ C ] [ D ] ) ( 填空题（每空 5 分，共 15 分) 1 2 1 3 1 4 ) ( 请勿在此区域作答 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的 答案无效 )请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16． (15分) ( 2 024年秋高二10月份数学月考 答题卡 ) 数学 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 18 ． (1 7 分) ) ( 19 ． (1 7 分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的 答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的 答案无效 )请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17． (15 分) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的 答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的 答案无效 )请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$