4.3.1 等比数列的概念及通项公式导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

制作时间：2024年11月10日 姓名： 班级： 主备人：张云凤 刘俊 李明彰 制作人：高二数学组 4.3.1 等比数列的概念及通项公式 【学习目标】 课程标准 学科素养 1. 通过实例，理解等比数列的概念. 2. 掌握等比中项的概念并会应用. 3. 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4. 灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 1、数学运算 2、逻辑推理 【情境导学】 实例1.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： ，，，，，···① 实例2.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是： 2，4，8，16，32，64，···  ② 实例3.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： （复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.） a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ··· ③ 思考1：类比等差数列的研究，你能发现以上数列的取值规律有什么共同特征？ 【新知探究】 预习课本27-29页，回答下列问题： 知识点一 等比数列的概念 若一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做 ，记为q. 递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 思考2：（1）等比数列中是否有等于0的项，公比是否能为0？ （2） 是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 知识点二 等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 思考3：（1）任意两个数都有等比中项吗？如果有等比中项，那么等比中项是唯一的吗？ （2）当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 知识点三 等比数列的通项公式 (1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝ . (2)第n项与第m项的关系为an＝ ，变形得qn－m＝. 思考4：类比推导等差数列通项公式的方法，写出等比数列通项公式的推导过程 知识点四 等比数列与指数函数的关系 1.类比等差数列的通项公式和一次函数的关系，你认为等比数列an = a1qn-1与指数函数f(x)= ax( a>0 , a≠1)有何关系？ 2． 类比指数函数的性质，你认为等比数列的单调性如何？ 思考5：公比q>1的数列一定是递增数列吗？ 知识点五 等比数列常用性质 （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【典例分析】 题型一 等比数列的通项公式 题型二 等比数列的等比中项 题型三 等比数列的判定 【总结】等比数列的判定方法 题型四 等比数列的性质及应用 【训练检测】 完成本节对应习题 1 学科网（北京）股份有限公司 $$