湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中复习数学模拟试题1

高二期中考试复习卷（1） 一、单选题 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（    ） A．是对立事件 B．不是互斥事件 C．是互斥但不对立事件 D．都是不可能事件 3．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 4．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ）A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为； B．已知，，若直线：与线段有公共点，则； C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D．若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则． 10．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 11．在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 三、填空题 12．已知，设直线：，：，若，则 . 13．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 . 14．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . 四、解答题 15．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 16．如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 17．图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； 18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． (1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率； (2)求这3人都参加市知识竞赛的概率； (3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 19．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值；（ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期中考试复习卷1 一、单选题 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则．故选：C. 2．从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（    ） A．是对立事件 B．不是互斥事件 C．是互斥但不对立事件 D．都是不可能事件 【答案】A【详解】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为: “恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”, 故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”.事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件.故选:A. 3．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确.故选：A. 4．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.故选：A. 5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】将曲线整理可得, 因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆， 若直线与曲线有公共点，如下图所示： 当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；当直线在直线的位置，即直线与曲线相切， 此时，解得，（舍）； 只有直线位于两直线之间时，满足题意，即.故选：A 6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意得，， 因为, 所以 ，所以，故选：C 7．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以.故选：A. 8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 【答案】B【详解】因为平面，平面， 所以，又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以．故选：B 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为； B．已知，，若直线：与线段有公共点，则； C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D．若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则． 【答案】BD【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为”成立的前提是两条直线的斜率都存在且不为0， 若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的. 对B：如图： 对直线：，表示过点，且斜率为的直线， 且，， 由直线与线段有公共点，所以：或，即或，进而得：.故B正确； 对C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误； 对D：“圆上恰有3个点到直线的距离等于1”可转化为“圆心到直线的距离等于1”.由.故D正确.故选：BD 10．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确；故选：ACD． 11．在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 【答案】ACD【详解】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确.故选：ACD 三、填空题 12．已知，设直线：，：，若，则 . 【答案】1【详解】因为，所以.故答案为：1 13．已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为 . 【答案】8【详解】两圆方程相减得，即， 所以，， ，当且仅当，即时等号成立， 点为，，，点在两圆公共弦上，满足题意， 故答案为：8. 14．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 . . 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得.故答案为：. 四、解答题 15．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 【详解】（1）由于边上的高所在直线方程为， 所以设直线的方程为， 由于点在直线上，即，解得， 所以直线的方程为. （2）由于点既满足直线的方程，又满足的方程， 所以，解得，故， 所以， 设，由于点满足直线，故， 设的中点坐标为，满足， 所以，整理得， 所以，解得，所以， 则点到直线的距离， 故. 16．如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【详解】（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面 又因为平面，所以， 连接，易得， 所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. （2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的一个法向量为，又， 所以， 因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17．图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； (3)在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，，    因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE，所以⊥平面ABED， 因为平面，所以平面平面ABED； （2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以否存在点，使得到平面的距离为，此时. 18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． (1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率； (2)求这3人都参加市知识竞赛的概率； (3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 【详解】（1）由题意可得：3人全通过初赛的概率为， 所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为； （2）甲参加市知识竞赛的概率为， 乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为， 所以这3人都参加市知识竞赛的概率为； （3）由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛， 记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件， 则. 19．已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点． （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【详解】（1）设动点的坐标为， 因为，，且，所以， 整理得，即：所以动点的轨迹的方程为； （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为. （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$