北师大版九年级上学期期中真题必刷压轴60题（9个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

期中真题必刷压轴60题（9个考点专练） 一．一元二次方程的应用（共10小题） 1．（2023秋•乌鲁木齐期中）小王叔叔家是养猪专业户，他们养的藏香猪和土黑猪一直很受市民欢迎．小王今年10月份开店卖猪肉，已知藏香猪肉售价每斤30元，土黑猪肉售价每斤20元，每天固定从叔叔家进货两种猪肉共300斤并且能全部售完． （1）若每天销售总额不低于8000元，则每天至少销售藏香猪肉多少斤？ （2）小王发现10月份每天上午就能将猪肉全部售完，而且消费者对猪肉的评价很高．于是小王决定调整猪肉价格，并增加进货量，且能将猪肉全部销售完．他将藏香猪肉的价格上涨，土黑猪肉的价格下调，销量与（1）中每天获得最低销售总额时的销量相比，藏香猪肉销量下降了，土黑猪肉销量是原来的2倍，结果每天的销售总额比（1）中每天获得的最低销售总额还多了1750元，求的值． 2．（2023秋•禅城区校级期中）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 3．（2023秋•市南区校级期中）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 4．（2023秋•红谷滩区校级期中）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米，施工队在绿化了11000米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米？ （2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 5．（2023秋•埇桥区期中）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 6．（2023秋•城关区校级期中）某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 7．（2023秋•南昌期中）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价； （2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？ 8．（2023秋•浑南区期中）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与的关系式； （3）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 9．（2023秋•昆都仑区期中）江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 10．（2023秋•新华区校级期中）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低元． （1）填表： 月份 九月 十月 清仓 销售单价（元 100 50 销售量（件 200 （2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？ 二．菱形的性质（共5小题） 11．（2023秋•埇桥区校级期中）如图，在菱形中，，分别垂直，于点，，，相交于点，连接，．解决下列问题： （1）若，则　　； （2）若，则　　． 12．（2023秋•金水区校级期中）如图，在菱形中，，、分别是边，上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 　　． 13．（2023秋•观山湖区校级期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为 　　． 14．（2023秋•阿尔山市期中）如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是　　． 15．（2023秋•陈仓区校级期中）如图，在菱形中，，点，分别在，上，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 三．矩形的性质（共4小题） 16．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•镇平县期中）矩形中，为对角线上一点，点是边的中点，且．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 　　． 18．（2023秋•滨湖区期中）已知，矩形的顶点、分别在平面直角坐标系的轴、轴上，点的坐标为，为上一动点． （1）如图1，连接，当时，求点坐标； （2）连接，过点作交轴于点，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 19．（2023秋•城关区校级期中）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，．点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直．其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6． 根据上面的定义，回答下列问题： （1）在图2所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 　　； （2）点，，的矩形域重叠部分面积为1，则的值为 　　． 四．正方形的性质（共9小题） 20．（2023秋•福田区期中）如图，正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为； ③； ④．其中正确结论的序号是　　 A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 21．（2023秋•深圳期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④ 22．（2023秋•碑林区校级期中）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 　　． 23．（2023秋•德化县期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为 　　． 24．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在正方形的右下角有一个正方形，以点为顶点向左构造正方形，使点，分别落在边，上，当，，三点共线时，则的值是 　　． 25．（2023秋•天桥区期中）如图，正方形的边长为4，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为 　　． 26．（2023秋•余江区期中）如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 27．（2023秋•拱墅区校级期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图，此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 　　． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当　　时，线段有最大值，并求出的最大值． 28．（2023秋•乐平市期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，过点作于点，连接．易证：．（提示：取的中点，连接 （1）当点是边上任意一点时，如图2；当点在延长线上时，如图3．请直接写出，，的数量关系，并对图2进行证明； （2）已知正方形的面积是27，连接，当中有一个内角为时，则的长为 　　． 五．四边形综合题（共1小题） 29．（2023秋•临川区期中）已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，说明理由． 六．相似三角形的判定（共4小题） 30．（2023秋•东港市期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为？ （2）如果、同时出发，经过几秒钟后，可使与相似？ 31．（2023秋•碧江区 校级期中）如图所示，在等边△中，、分别是、上的点，，如图（1），然后将△绕点顺时针旋转，使、、三点在同一直线上，得到图（2），、分别是、的中点，连接、、得到图（3），请解答下列问题： （1）在图（2）中，线段与线段的大小关系是　　； （2）在图（3）中，△与△是相似三角形吗？请证明你的结论． 32．（2023秋•内乡县校级期中）如图，先把一矩形纸片对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到．过点折纸片使点叠在直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由． 33．（2023秋•漳州期中）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 七．相似三角形的判定与性质（共22小题） 34．（2023秋•南山区校级期中）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，．下列结论：①；②△△；③；④若，则．其中结论正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③④ 35．（2023秋•秦都区校级期中）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是边上一个动点，于点，交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 36．（2023秋•东坡区校级期中）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①△△；②；③；④；⑤△的面积：△的面积．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 37．（2023秋•章丘区期中）在正方形中，，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，以下结论中：①；②；③；④．正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 38．（2023秋•夹江县校级期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 39．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 40．（2023秋•市中区校级期中）如图，△中，，，点是边上（不与、重合）一动点，，交于点．下列结论： ①； ②当时，△△； ③； ④△为直角三角形，为4或6.25． 其中正确的结论是 　　．（填序号） 41．（2023春•枣阳市期中）如图，长方形在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 　　． 42．（2023秋•于洪区期中）如图，在中，，，点为边上一动点（不与点，重合），过点作射线交于点，使．当为直角三角形时，则的长为 　　． 43．（2023秋•成华区校级期中）在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换．如图，为的对角线，、分别在、上，且，若，则　　． 44．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 45．（2023秋•慈溪市校级期中）如图，菱形的对角线、交于点，且，．过的直线交于，交于．把四边形沿着折叠得到四边形，交于点．当时，的值为 　　，的长为 　　． 46．（2023秋•金水区校级期中）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点，当时，线段的长为 　　． 47．（2023秋•硚口区期中）如图，在矩形中，在边上，在边上，，是矩形的外角的平分线，，连接，若，，，则的长是 　　，的长是 　　． 48．（2023秋•叙州区期中）如图，已知，、相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求与的面积之比． 49．（2023秋•金东区期中）如图，在中，点在边上，点在边上，． （1）求证：． （2）若，，，求的长度． 50．（2023秋•浑南区期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． （1）如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； （2）当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 51．（2023秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且． （1）求点坐标、的度数； （2）在线段上是否存在点，使得以线段为直径的圆与边交于点（与点不同），且以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2023秋•梁溪区校级期中）在矩形中，，，为边上一点，且，点是线段上一动点，直线与直线相交于点，射线与直线相交于点，且．已知． （1）用含有的代数式表示线段的长，　　； （2）①当点与点重合时，求线段的长； ②若点在线段上，求的范围； （3）求的面积（用含的代数式表示）． 53．（2023秋•福田区期中）已知：与中，，，，，．现将和按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点，当点与点重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点顺时针旋转，与交于点，与交于点，此时点在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点匀速运动，直到点与点重合时为止． 设运动时间为，中间的暂停不计时， 解答下列问题 （1）在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　 　； （2）在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 54．（2023春•石景山区期中）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△中，点在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造△就可以解决问题（如图． 请回答：　　，　　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长． 55．（2023秋•长安区校级期中）在△中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 八．相似三角形的应用（共3小题） 56．（2023秋•武侯区校级期中）如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 　　． 57．（2023秋•宁远县期中）有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）问加工成的正方形零件的边长是多少？小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时， 这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请计算． 58．（2023秋•浚县期中）阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线向后移动10米到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米； ③计算树的高度：设米，米． ， 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 九．列表法与树状图法（共2小题） 59．（2023秋•红山区校级期中）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：．文学院，．小小数学家，．小小外交家，．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 60．（2023秋•鼓楼区校级期中）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同． （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为 　　． （2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，请用树状图或表格列出、的所有可能的值，并求出直线不经过第四象限的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（9个考点专练） 一．一元二次方程的应用（共10小题） 1．（2023秋•乌鲁木齐期中）小王叔叔家是养猪专业户，他们养的藏香猪和土黑猪一直很受市民欢迎．小王今年10月份开店卖猪肉，已知藏香猪肉售价每斤30元，土黑猪肉售价每斤20元，每天固定从叔叔家进货两种猪肉共300斤并且能全部售完． （1）若每天销售总额不低于8000元，则每天至少销售藏香猪肉多少斤？ （2）小王发现10月份每天上午就能将猪肉全部售完，而且消费者对猪肉的评价很高．于是小王决定调整猪肉价格，并增加进货量，且能将猪肉全部销售完．他将藏香猪肉的价格上涨，土黑猪肉的价格下调，销量与（1）中每天获得最低销售总额时的销量相比，藏香猪肉销量下降了，土黑猪肉销量是原来的2倍，结果每天的销售总额比（1）中每天获得的最低销售总额还多了1750元，求的值． 【分析】（1）设每天至少销售藏香猪肉斤．由题意，解不等式即可； （2）构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）设每天至少销售藏香猪肉斤． 由题意， 解得， 答：每天至少销售藏香猪肉200斤． （2）由题意：， 整理得：， 解得或（舍弃）， 答：的值为25． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 2．（2023秋•禅城区校级期中）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【分析】（1）根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）（元． 答：每天的销售利润为1050元． （2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023秋•市南区校级期中）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 【分析】（1）设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积整个地毯面积的，列出方程求解即可； （2）根据总价单价数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解． 【解答】解：（1）设条纹的宽度为米．依题意得 ， 解得：（不符合，舍去），． 答：配色条纹宽度为米． （2）条纹造价：（元 其余部分造价：（元 总造价为：（元 答：地毯的总造价是2425元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 4．（2023秋•红谷滩区校级期中）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米，施工队在绿化了11000米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米？ （2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【分析】（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案； （2）利用矩形绿地，它们的面积之和为56米，进而得出等式求出答案． 【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成米， 根据题意得：， 解得：，（4分） 经检验，是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行道的宽度为米，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米． 【点评】此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 5．（2023秋•埇桥区期中）如图所示，已知在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【分析】（1）分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可； （2）根据面积为8列出方程，判定方程是否有解即可． 【解答】解：（1）设秒后，的面积等于，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于． （2）由题意得， ， 整理得：， ， 此方程无解， 所以的面积不能等于． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． 6．（2023秋•城关区校级期中）某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果； （2）根据两种优惠方案计算出各自的费用，比较即可得到结果． 【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为， 依题意，得， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每次下调的百分率为； （2）方案①可优惠：元； 方案②可优惠：元， ， 方案①更划算． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 7．（2023秋•南昌期中）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价； （2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？ 【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可； （2）根据降价后甲每天分别卖出：件件，每件降价后每件利润分别为：元；即可得出总利润，利用方程解答即可． 【解答】22．（1）假设甲种商品的进货单价为元、乙种商品的进货单价为元， 根据题意可得：， 解得：． 答：甲、乙零售单价分别为2元和3元． （2）根据题意得出： 即， 解得或（舍去）， 答：当定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1000元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键． 8．（2023秋•浑南区期中）某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与的关系式； （3）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【分析】（1）根据月销售量为（销售单价，即可得出结论，再根据月销售利润销售每千克的利润销售数量，代入数据即可得出结论； （2）根据月销售量（销售单价，即可得出与之间的函数关系式； （3）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可． 【解答】解：（1）当销售单价定为每千克45元时，月销售量为（千克）， 月销售利润为（元． 故答案为：450；6750； （2）根据题意得：； （3）由于月销售成本不超过10000元， 所以月销售量不超过千克． 根据题意得：， 解得：，． 当时，，舍去； 当时，，符合题意． 故销售单价定为70元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 9．（2023秋•昆都仑区期中）江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，8月份的销售量为：256件；设9月份到10月份销售额的月平均增长率，则9月份的销售量为：；10月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400袋，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【解答】解：（1）设9、10这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：9、10这两个月的月平均增长率为； （2）设当每袋降价元时，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当每袋降价5元时，获利4250元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 10．（2023秋•新华区校级期中）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低元． （1）填表： 月份 九月 十月 清仓 销售单价（元 100 50 销售量（件 200 （2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？ 【分析】（1）根据题意直接用含的代数式表示即可； （2）利用“获利9200元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍． 【解答】解：（1）填表如下： 时间 九月 十月 清仓时 销售单价（元 100 50 销售量（件 200 （2）根据题意，得 解这个方程，得，（舍弃）， 当时，． 答：第十月份的单价应是80元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润售价进价． 二．菱形的性质（共5小题） 11．（2023秋•埇桥区校级期中）如图，在菱形中，，分别垂直，于点，，，相交于点，连接，．解决下列问题： （1）若，则　　； （2）若，则　　． 【分析】（1）根据四边形内角和定理即可解决问题； （2）根据菱形的性质证明△是等边三角形，△是等边三角形，得是的垂直平分线，再利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1），分别垂直，于点，， ， ， ， 故答案为：； （2）在菱形中，， ， ， △是等边三角形，△是等边三角形， ，，， ，， 、分别是、的角平分线， ， ， 是的垂直平分线， 设与交于点，如图所示， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．（2023秋•金水区校级期中）如图，在菱形中，，、分别是边，上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 　　． 【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可． 【解答】解：连接， ，分别为，的中点， ，且， 要使最小，只要最小， 当时，最小， 的最小值为3， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． 故答案为：． 【点评】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键． 13．（2023秋•观山湖区校级期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为 　　． 【分析】作于，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，得到，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【解答】解：作于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是作于，证明，求出的长． 14．（2023秋•阿尔山市期中）如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是　　． 【分析】根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点作于点， 在边长为2的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出点位置是解题关键． 15．（2023秋•陈仓区校级期中）如图，在菱形中，，点，分别在，上，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）首先证明，都是等边三角形，再证明，即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质可知，结合即可证明； 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：结论：是等边三角形． 理由：， ， ， 是等边三角形． 【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得与是等边三角形，继而证得是关键． 三．矩形的性质（共4小题） 16．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】由临界状态确定出的运动路径，明确点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，再分别计算两部分面积即可． 【解答】解：如图，当与重合时，点关于的对称点为， 当与重合时，点关于的对称点为， 点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和， 在中，，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 作于， 为等边三角形， ， ， ， 线段扫过的区域的面积为：． 故选：． 【点评】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段扫过的图形． 17．（2023秋•镇平县期中）矩形中，为对角线上一点，点是边的中点，且．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 　或　． 【分析】以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当时，根据点是边的中点，得为对角线的中点，如图2，当时，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当时， 则， 四边形是矩形， ， ， 点是边的中点， 为对角线的中点，， ， ， ， ； 如图2，当时， 则， 点是边的中点， ， ，， ， ， ， 设， 则， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 18．（2023秋•滨湖区期中）已知，矩形的顶点、分别在平面直角坐标系的轴、轴上，点的坐标为，为上一动点． （1）如图1，连接，当时，求点坐标； （2）连接，过点作交轴于点，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的顶点，可得点、，利用待定系数法求直线解析式，，利用距离公式求得的值； （2）过作轴于点，交于点，然后证明，利用相似三角形的性质即可得结论． 【解答】解：由矩形的顶点， 点、， 设直线， 则， 解得：， ， 为上一动点， 设， ， ， 解得：或， 或，； （2）是定值为； 理由：如图：过作轴于点，交于点， 由（1）知在上， 设， ， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ． 【点评】本题考查矩形的性质、两点间距离公式、待定系数法求函数解析式，是综合题，有难度，细心就好． 19．（2023秋•城关区校级期中）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，．点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直．其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6． 根据上面的定义，回答下列问题： （1）在图2所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 　8　； （2）点，，的矩形域重叠部分面积为1，则的值为 　　． 【分析】（1）点的矩形域的定义，求出矩形边长分别为2，4，画出图形即可解决问题； （2）分两种情形，重叠部分在（1）中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）点的矩形域如图所示： 该该矩形域的面积是8． （2）如图所示， 因为点，，的矩形域重叠部分面积为1，且平行于轴的边长均为4， 所以点，，的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为4，平行于轴的边长为． ①当时，，解得； ②当时，，解得． 所以的值为或． 【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 四．正方形的性质（共9小题） 20．（2023秋•福田区期中）如图，正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为； ③； ④．其中正确结论的序号是　　 A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据正方形性质可得，，再由，易证：，再利用等腰直角三角形性质可得：，进而可得：；由勾股定理即可求得，即点到直线的距离为1；由，可得，进而可得；如图，过点作，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理可得：，即． 【解答】解：如图，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ①正确； ， ②不正确； ， ， ，，， ，， ， ， ， ③正确； 如图，过点作，交的延长线于点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ； ④正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积和正方形面积等；是一道综合性较强的选择题压轴题． 21．（2023秋•深圳期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④ 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求； ②根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长； ③作于，作交的延长线于，根据含的直角三角形的性质可求，根据勾股定理可求，，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：①，， ， 故正确； ②， ， ， ， 故错误； ③作于，作交的延长线于， 则， ， ， ， ， 故错误； ④的面积， 故正确； 其中正确的结论为①④， 故选：． 【点评】考查了正方形的性质，含的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度． 22．（2023秋•碑林区校级期中）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 　　． 【分析】连接、、、，证，得，则，故当点、、、在同一直线上时，最小，最小值为线段长，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：如图，连接、、、， 在正方形和正方形中，，，， ， ， ， ， ， 当点、、、在同一直线上时（此时点与点重合），最小，最小值为线段长， 在中，， 的最小值为． 【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路线问题，利用转化的思想，理解当、、、四点共线时取得最小值是解题的关键． 23．（2023秋•德化县期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为 　5　． 【分析】先求出，再证，得，，，根据“两边对应成比例且夹角相等“证，可得，进而推出，，利用勾股定理求出、的长即可． 【解答】解：设与相交于点， 在正方形中，， ，，， ， 为中点， ， 为的中点， ， 对角线平分， ， ， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， ． 【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，在正方形的右下角有一个正方形，以点为顶点向左构造正方形，使点，分别落在边，上，当，，三点共线时，则的值是 　　． 【分析】作的延长线于点，作于点，设正方形的边长为，，证△△△△，得，，由及梯形的面积公式列出关于、的等式，进而得出与的关系，据此解答． 【解答】解：如图，作的延长线于点，作于点， 设正方形的边长为，， 四边形、、是正方形， ，，， （同角的余角相等）， △△， 同理可证，△△△△， ，， ， ， ， 又 ， ， 整理得，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，要求熟练掌握这三个性质，解答本题的关键是利用梯形的面积等于5个面积相等的三角形的面积加上两个正方形的面积之和． 25．（2023秋•天桥区期中）如图，正方形的边长为4，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为 　　． 【分析】设和交于点，证明，对应边成比例可得，，然后证明，可得，再根据等面积法求出各边的长，过点作于点，由，对应边成比例，和勾股定理即可求出的长． 【解答】解：如图，设和交于点， 正方形的边长为4， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，解决本题的关键是综合运用所学知识的能力． 26．（2023秋•余江区期中）如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【分析】（1）作于，于，证明，得到； （2）通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【解答】（1）证明：作于，于， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， （2）解：如图2中，在中．， ， ， 点与重合，此时是等腰直角三角形，易知． （3）解：①当与的夹角为时，点在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点在的延长线上，，如图3所示： ，， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 27．（2023秋•拱墅区校级期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图，此时即是． 请回答：在图2中，的度数是 　　． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当　　时，线段有最大值，并求出的最大值． 【分析】阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （1）过点作 交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （2）过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由“ “可证，可得，由三角形的三边关系可得． 【解答】解：阅读材料： 根据旋转， ，， ，， ，即； （1）过点作 交的延长线于点， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 根据上面结论，可知， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故； （3）过点作，取， 连接，， ， ， ， 又，， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当、、三点共线时， 取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，， ， ， 最大为：，即最大值为，此时． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 28．（2023秋•乐平市期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，过点作于点，连接．易证：．（提示：取的中点，连接 （1）当点是边上任意一点时，如图2；当点在延长线上时，如图3．请直接写出，，的数量关系，并对图2进行证明； （2）已知正方形的面积是27，连接，当中有一个内角为时，则的长为 　或　． 【分析】（1）如图2中，结论：．在上截取，连接，证明，可得结论． 如图3中，结论：． （2）分两种情形：如图1中，当时，如图3中，当时，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图2中，结论：． 理由：在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 如图3中，结论：． （2）如图1中，当时， 正方形的面积为27， ，， ， ， ， ， 如图3中，当时，同法可得， ， 综上所述，的长为或． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 五．四边形综合题（共1小题） 29．（2023秋•临川区期中）已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）通过的对应边相等知；然后由即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【解答】（1）证明：如图1， 在和中， ， ； （2）证明：如图1， 平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， （全等三角形的对应角相等）； （三角形内角和定理）， ； 在和中， ， ， ，（全等三角形的对应边相等）， ， ， ； （3）解：如图2，， ， ①当时，则， ， 设， ， 解得或， ，或，； ②当时，则， ， 是等腰直角三角形， ，； ③当时，， 是等腰直角三角形， ，， 综上，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的点坐标为，或，或，或，． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 六．相似三角形的判定（共4小题） 30．（2023秋•东港市期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动． （1）如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为？ （2）如果、同时出发，经过几秒钟后，可使与相似？ 【分析】（1）先用含的式子表示出、的长，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可； （2）依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【解答】解：（1）设秒后的面积为，则，． 根据题意得：，解得：或． 所以、同时出发，2秒或4秒钟后，可使的面积为． （2）秒后，． 当时，，即，解得：． 当时，，即，解得：． 所以当或时，两三角形相似． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键． 31．（2023秋•碧江区 校级期中）如图所示，在等边△中，、分别是、上的点，，如图（1），然后将△绕点顺时针旋转，使、、三点在同一直线上，得到图（2），、分别是、的中点，连接、、得到图（3），请解答下列问题： （1）在图（2）中，线段与线段的大小关系是　　； （2）在图（3）中，△与△是相似三角形吗？请证明你的结论． 【分析】（1）由在等边中△，，易证得△也是等边三角形，然后利用，证得△△，即可得； （2）由△△，可得，又由、分别是、的中点，易得，然后根据证得△△，即可得，，判定△是等边三角形，即可得在图（3）中，△与△是相似三角形． 【解答】解：（1）； 理由：△是等边三角形， ，， 在图（1）中， ， △△， △是等边三角形， △绕点顺时针旋转，使、、三点在同一直线上， 如图（2），，， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）△与△相似． 证明：、分别是、的中点， ，， ， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， △也是等边三角形， △△． 故答案为：（1）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 32．（2023秋•内乡县校级期中）如图，先把一矩形纸片对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到．过点折纸片使点叠在直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由． 【分析】（1）和都是直角三角形，所以再证一对角相等即可．由得，易证．得证． （2）和都是直角三角形，利用（1）的结论，结合可证直角的两边对应成比例，得证． 【解答】（1）证明：，， ． 在与中， ，， ． （2）解：和相似． ， ． ， ． 又， ． 【点评】此题把折叠问题与相似三角形结合起来，有一定难度． 33．（2023秋•漳州期中）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交与点，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ，且， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交与点， 矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：矩形， ，，， ①当时，则：， 点为的中点， ， ， ，即：， 设，则：， ， ， ， ； ②当时，则：， ， 设，，则：，， ， ， 解得：， 由①知：， ， ， ， 或； 综上：或或． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 七．相似三角形的判定与性质（共22小题） 34．（2023秋•南山区校级期中）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，．下列结论：①；②△△；③；④若，则．其中结论正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③④ 【分析】①根据正方形的性质证明，进而得△为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得，故①正确； ②根据矩形性质得，，再证明△△得，进而证明△△，故②正确； ③由△△得，怀得，进而得，故③正确； ④如图，过点作于点，与交于点，设，则，，，，，由勾股定理得，再由三角形的面积公式得，便可判断④的正确， 【解答】解：①在正方形中，，， ， ， 四边形是矩形． 在△中，， ， 是中点， 故①正确； ②四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ． 在△中，是的中点， ，， ， ， ， △△， ， ，， △△， 故②正确； ③△△， ， ， ， ， 即， ， ， 故③正确； ④如图，过点作于点，与交于点， 设，则， ，，，， ， ， 故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题． 35．（2023秋•秦都区校级期中）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是边上一个动点，于点，交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，即可判断①；判断出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再利用勾股定理即可判断②；然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出是等腰直角三角形，得，同理可得，然后求出，再根据正方形的性质可判断④；判断出不一定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似，进而可以判断③． 【解答】解：①在正方形中，， ，， ， ，故①正确； ②四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，故②正确； 在正方形中，， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同理可得， ， ， ，故④正确； 同理，都是等腰直角三角形， 矩形不一定是正方形， 不一定等腰直角三角形， 与相似不一定成立， 不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①②④共3个． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 36．（2023秋•东坡区校级期中）如图，在正方形中，△是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．给出下列结论：①△△；②；③；④；⑤△的面积：△的面积．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质得到，，根据正方形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到△△；故①正确；根据等腰三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，故②错误；由，，得到，求得，得到．故③正确；根据相似三角形的性质得到．故④正确；如图，过作于，过作于，设，则，，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：△是等边三角形， ，， 在正方形中， ， ， ， ， ， ， ， △△；故①正确； ，， ， ， ， ， ， ， △△， ，故②错误； ，， ， ， ， ， ． 故③正确； ，， △， ， ， ， ． 故④正确； 如图，过作于，过作于， 设，则，， ， △的面积：△的面积，故⑤正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 37．（2023秋•章丘区期中）在正方形中，，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，以下结论中：①；②；③；④．正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据已知确定，再证明可得，，，进一步证明，判定①对，然后证明可得得出②对，在中，，则，再证明可得，则，所以，由，即可得④对从而的结论． 【解答】解：正方形中，，是的中点， ，，， ， ，，， ， ，，， ，， ， 又， ， ，故①对； ， ， ， ， ， ，故②对； 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故④对， 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质乃综合题，理解题意是解决问题的关键． 38．（2023秋•夹江县校级期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是　　 A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【分析】根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 39．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据题目已知，可以判断①正确； ②证明可以判断②正确； ③过点作的平行线，根据线段比例关系，得出面积比可以判断③正确； ④过点作两条垂线，利用三角形全等可以判断④正确； ⑤链接，，结合勾股定理和相似可以求出、的长，判断⑤正确． 【解答】解：①在正方形中，， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ②在正方形中，， ， ， ，为的中点，四边形是正方形， ， ， 故②正确； ③如图所示，过点作， ， ③， ， ，， ， 故③正确； ④过点作于点，交的延长线上于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①得， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 故④正确； ⑤如图所示，连接，， 设，则，， ，， ， ， 由面积可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，故选：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生要有较强的综合知识，解决复杂问题的能力． 40．（2023秋•市中区校级期中）如图，△中，，，点是边上（不与、重合）一动点，，交于点．下列结论： ①； ②当时，△△； ③； ④△为直角三角形，为4或6.25． 其中正确的结论是 　①③④　．（填序号） 【分析】如图，在线段上取点，使，连接，则，根据相似三角形的性质得到，即，求得，故③正确；由③可得：，当时，根据勾股定理得到，得到，求得，即，故①正确；如图2，作于，根据勾股定理得到，，根据全等三角形的判定定理得到△△，△与△不是全等形，故②不正确；根据垂直的定义得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，得到，故④正确． 【解答】解：如图，在线段上取点，使，连接，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， △△， ，即， ，故③正确； 由③可得：， 当时，由勾股定理可得：， ， ，即， 故①正确； 如图2，作于， ， ， ， ， ， 或，或， ， ，， 在△和△中，， △△，△与△不是全等形， 故②不正确； 如图3，，， ， ， ， 如图4，于，于， ， ， △△， ，即， ， ， 故④正确； 综上所述，答案为：①③④． 【点评】本题属于填空题压轴题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，动点问题和分类讨论思想等；解题时要对所有结论逐一进行分析判断，特别要注意分类讨论． 41．（2023春•枣阳市期中）如图，长方形在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 　，　． 【分析】延长，交于，作于，设，由勾股定理求出的长，由相似三角形的性质求出的长，由锐角的正切求出，得到的长，由勾股定理求出的长，即可点的坐标． 【解答】解：延长，交于，作于，设， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形． 42．（2023秋•于洪区期中）如图，在中，，，点为边上一动点（不与点，重合），过点作射线交于点，使．当为直角三角形时，则的长为 　或　． 【分析】根据可得出，由三角形的内角和定理结合平角等于，即可找出，进而证出，根据相似三角形的性质可得出为直角三角形，分及两种情况考虑，①当时，根据等腰三角形的性质可求出的长度；②当时，利用解直角三角形可求出的长度．综上即可得出结论． 【解答】解：， ， ，， ， ， 为直角三角形， 为直角三角形． ①当时，如图1所示． ， ； ②当时，如图2所示． ， ， ， 综上所述：当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过角的计算找出；（2）分及两种情况考虑． 43．（2023秋•成华区校级期中）在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换．如图，为的对角线，、分别在、上，且，若，则　7　． 【分析】如图，连接，过点作交的延长线于，交的延长线于．首先证明，推出，推出，推出，由，推出，可得，求出的面积，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于，交的延长线于． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质解决问题． 44．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 【分析】依据题意，设，从而，故，然后根据等腰三角形的性质，平行线的性质，对顶角相等的性质表示出的长，通过证明四边形为菱形，进而可得，从而表示出，即可得解；先证明得，再证明可得，进而求解． 【解答】解：由题意，设， 又， ． ． ， ， ， ， 又， ， ． 连接，， 由翻折可得，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，， ， 平分， ， ， ． ． ，，， ， ， 设， 则，， ， ， ． 即：， 解得或（舍去）． ． ． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查矩形的翻折问题，解题关键是作辅助线，通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解． 45．（2023秋•慈溪市校级期中）如图，菱形的对角线、交于点，且，．过的直线交于，交于．把四边形沿着折叠得到四边形，交于点．当时，的值为 　　，的长为 　　． 【分析】连接，，根据轴对称的性质可得，，利用等面积法可得出的长，再根据勾股定理可分别求得和，进而可得出结论；连接，，过点作，则四边形是矩形，勾股定理求得，，设，则，根据对称可知，根据，由相似三角形的性质列出方程，即可求解． 【解答】解：如图，连接，， 在菱形中，，， ，，且， 菱形的边长为5． ， ， 由折叠可知，，，， ． 由勾股定理可知，，， ； 如图，连接，，过点作，则四边形是矩形， ，， ， ． ，， ， ． 设，则， 由菱形的对称性可知，，且△△， ，即， 解得． 故答案为：；． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等相关知识，关键是掌握折叠的性质，作出辅助线由勾股定理求出和的长． 46．（2023秋•金水区校级期中）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点，当时，线段的长为 　或8　． 【分析】情形①如图当点在线段上时，设交于．情形②如图当点在线段的延长线上时，设交于．分别求解即可解决问题； 【解答】解：情形①如图当点在线段上时，设交于． ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ，设， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， 情形②如图当点在线段的延长线上时，设交于． ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，设， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为或8． 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 47．（2023秋•硚口区期中）如图，在矩形中，在边上，在边上，，是矩形的外角的平分线，，连接，若，，，则的长是 　3　，的长是 　　． 【分析】连接，证明、、、四点共圆，后证明与是等腰直角三角形，最后在中利用股定理即可解决． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ，， 是矩形的外角的平分线， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理可得：， 故答案为：3；． 【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质以及四点共圆的判定和性质，属于综合题，理解题意视角决问题的关键． 48．（2023秋•叙州区期中）如图，已知，、相交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求与的面积之比． 【分析】（1）要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决； （2）根据（1）中的结论可以得到的长，然后根据与如果底边分别为和，则底边上的高相等，面积之比就是和的比值． 【解答】（1）证明：， ． 又， ， ， ， ； （2），， ， 与的面积之比为． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 49．（2023秋•金东区期中）如图，在中，点在边上，点在边上，． （1）求证：． （2）若，，，求的长度． 【分析】（1）是公共角，可直接得出结论； （2）由相似三角形的性质可得，由此可得出的长度，再由等角对等边可得结论． 【解答】解：（1），， ； （2）， ，即， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等内容，得出是解题关键． 50．（2023秋•浑南区期中）如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． （1）如图1，当点在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； （2）当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 【分析】（1）①过点作直线于，则，利用勾股定理可得，再证得，可得：，即点到的距离1； ②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点在直线上时，过点作，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，得出，再证得，利用勾股定理可得：，即正方形的面积为20；当点在直线上时，过点作，交的延长线于，同理可求得答案． 【解答】解：（1）①如图1，过点作直线于， 则， 四边形是边长为4的正方形，， ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点到的距离1； ②在中，，，， ； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于， 则， 四边形是正方形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为20； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图3， 同理可得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为80； 综上所述，正方形的面积为20或80． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 51．（2023秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且． （1）求点坐标、的度数； （2）在线段上是否存在点，使得以线段为直径的圆与边交于点（与点不同），且以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由，根据相似三角形的对应边成比例，求出的长度，得出点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出，从而得出； （2）如果以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①；②；③．针对每一种情况，都应首先判断点是否在线段上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出点的坐标． 【解答】解：（1）由题意，，， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ； （2）设， ①如图1，当时，点在为直径的圆上， 为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图2，当时，点在为直径的圆上，且点在垂直平分线上， ， 为圆的直径， ， ， ， ， ， 点的坐标为，； ③当时，点不在线段上． 综上所述，点的坐标为，或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 52．（2023秋•梁溪区校级期中）在矩形中，，，为边上一点，且，点是线段上一动点，直线与直线相交于点，射线与直线相交于点，且．已知． （1）用含有的代数式表示线段的长，　　； （2）①当点与点重合时，求线段的长； ②若点在线段上，求的范围； （3）求的面积（用含的代数式表示）． 【分析】（1）早中利用勾股定理即可解决； （2）①当点与点重合时，证明可得，建立方程即可解决； ②由①结论即可得的范围； （3）作，，根据已知可得四边形和四边形都是矩形，可得和，进而求得，，再由即可解决． 【解答】解：（1），， ， ，， 由勾股定理可得：， 故答案为：； （2）①当点与点重合时，如图： ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：或5， 在中，由勾股定理可得：， 或， ②由（2）①知， 当或5时，点与点重合时， 故当时，点在线段上， 的范围是； （3） 作，， 根据已知可得四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 则， ， 易证， ， ， ， ． 【点评】本题考查举行的判定和性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，属于综合题，理解题意是解决问题的关键． 53．（2023秋•福田区期中）已知：与中，，，，，．现将和按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点，当点与点重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点顺时针旋转，与交于点，与交于点，此时点在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点匀速运动，直到点与点重合时为止． 设运动时间为，中间的暂停不计时， 解答下列问题 （1）在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　10　； （2）在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运动一，停止时，，用时为：秒；运动二，停止时，，用时为：秒；运动三，点与点重合时，，用时为：秒；综上，总用时为：（秒； （2）运动一，与的重叠部分为直角的面积，表示出即可；运动二，连接，可得，，，所以，与的重叠部分不变：；运动三，四边形为矩形，，，所以，； （3）点在线段的中垂线上，连接，可得，所以，，又，，得，，又由，所以，，解答出即可． 【解答】解：（1）根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒， 整个过程共耗时（秒； 故答案为：10； （2）运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3， 连接，在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 四边形为矩形， ， ， ， ； 与之间的函数关系式为：； （3）存在点，理由如下： 如图5，运动一： 点在线段的中垂线上，连接， ， ， 又，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6，运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点的位置，是解答的关键． 54．（2023春•石景山区期中）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△中，点在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造△就可以解决问题（如图． 请回答：　75　，　　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出△△，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在△中，利用勾股定理可求出的长度，再在△中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【解答】解：（1）， ． ， △△， ． 又， ， ． ，， ， ． 故答案为：75；． （2）过点作交于点，如图所示． ，， ． ， △△， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在△中，，即， 解得：， ，． 在△中，，即， 解得：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出的值；（2）利用勾股定理求出、的长度． 55．（2023秋•长安区校级期中）在△中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 【分析】（1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证△△，得，．即． （2）过点作交于点，可得出，易证：△△，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证△△，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则△△，得，由△△，得，，问题解决． 【解答】解：（1）与位置关系是垂直； 证明如下： ，， ． 由正方形得， ， ， △△， ． ． ． ． （2）时，的结论成立． 理由是： 过点作交于点， ， ， ， 同理可证：△△ ，， 即． （3）如图①，当时， 过点作交于点，可得， △△， ，．即． 过点作交的延长线于点， 如图②，点在线段上运动时， ，可求出． ，△△， ， ， ． 如图③，点在线段延长线上运动时， ， ， ． 过作， ， ， ， ， ， △△， ， ， ． 【点评】此题综合性强，须运用所学全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的类型． 八．相似三角形的应用（共3小题） 56．（2023秋•武侯区校级期中）如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为 　　． 【分析】如图，连接，．证明，推出，推出，推出点的运动轨迹是直线，推出当时，的值最小，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：如图，连接，． ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 当时，的值最小，最小值， 此时，， 故答案为． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 57．（2023秋•宁远县期中）有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）问加工成的正方形零件的边长是多少？小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时， 这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请计算． 【分析】（1）设正方形的边长为 ，则，，通过证明，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出即可； （2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设，则，，然后与（1）的方法一样求解． 【解答】解：（1）设正方形的边长为 ，则， ， ， ， ，即，解得， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设，则，， ， ， ，即，解得， ， 这个矩形零件的两条边长分别为，． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长． 58．（2023秋•浚县期中）阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线向后移动10米到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米； ③计算树的高度：设米，米． ， 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【分析】设米，米．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题； 【解答】解：设米，米． ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 把代入中， 得解得 树的高度为15米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题． 九．列表法与树状图法（共2小题） 59．（2023秋•红山区校级期中）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：．文学院，．小小数学家，．小小外交家，．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　200　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 【分析】（1）由是，的人数为20人，即可求得这次被调查的学生总人数； （2）由（1），可求得的人数，即可将条形统计图（2）补充完整； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）是， 占， 的人数为20人， 这次被调查的学生共有：（人， 故答案为：200； （2）如图，有：（人， （3）画树状图得： 共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况， 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 60．（2023秋•鼓楼区校级期中）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同． （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为 　　． （2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，请用树状图或表格列出、的所有可能的值，并求出直线不经过第四象限的概率． 【分析】（1）三个小球上分别标有数字、1、2，随机地从布袋中摸出一个小球，据此可得摸出的球为标有数字1的小球的概率； （2）先列表或画树状图，列出、的所有可能的值，进而得到直线不经过第四象限的概率． 【解答】解：（1）三个小球上分别标有数字、1、2，随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率； 故答案为； （2）列表： 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为4， 所以直线不经过第四象限的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$