河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期数学期中考试模拟卷（一）

高一上册数学期中模拟卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大（2019）第一章----第三章和第四章4.1、4.2 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 3．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A． B． C．D． 6．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 8．若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 11．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，则 ． 13．若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 14．已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（15分）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 17．（15分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 18．(17分)已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 19．（17分）设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． (1)试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件； (2)若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上册数学期中模拟卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大（2019）第一章----第三章和第四章4.1、4.2 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合的元素属性即可判断得解. 【详解】且，而，所以. 故选：B 2．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 3．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 4．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，，恒成立， 即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：A. 5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 6．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的知识求得，由此化简不等式并求得不等式的解，从而求得的取值范围. 【详解】因为函数是幂函数，则，解得或. 当时，是偶函数，其图象关于轴对称，与已知矛盾； 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为， 即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 7．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【分析】根据“类”的定义可直接判断AB均错误，根据可得，即C正确，整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 【详解】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A错误； 对于B，可得，因此可得，可得B错误； 对于C，由可设， 所以，即，所以C正确； 对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立； 若，则除以5之后的余数相同，故整数属于同一“类”， 因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 故选：C 8．若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定不等式合理变形，转化为，再利用定义法判断出在上单调递增，转化为，求解不等式即可. 【详解】欲求的解集， 则求解集即可，且令， 故求的解集即可， 因为，，， 所以，即， 故得在上单调递增，则求的解集即可， 解得，则不等式的解集为，故C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC 10．对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 11．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，则 ． 【答案】 【分析】根据已知解析式得、，进而求目标式的值即可. 【详解】由，且， 所以 . 故答案为： 13．若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数、二次函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 16．（15分）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 17．（15分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元． (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)使用若干年后，对该设备的处理方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由． 【答案】(1)，第3年 (2)方案一、方案二总利润都是170万元，应选择第二种方案更合适，理由见解析 【分析】（1）由题意写出关于的函数表达式，由求得的取值范围，即可得到答案. （2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额，利用基本不等式求出的最大值，得到方案二的总盈利额，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论. 【详解】（1）由题意得， ， 由，得，即， 解得，2<n<18，nN+ 故该设备从第3年开始使企业盈利. （2）方案一：由（1）得，， 当时，， 所以方案一总利润为万元，此时. 方案二：由（1）得，， 当且仅当，即时，等号成立． 故方案二总利润为万元，此时． 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适． 18．(17分)已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 19．（17分）设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质． (1)试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件； (2)若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断； （2）分析可知在区间上单调递增，结合单调性的定义分析求解； （3）分析可知在区间上单调递增，在区间上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解. 【详解】（1）若函数在区间上具有性质， 对任意且， 由条件可知 变形可得，即， 所以在区间上单调递增，即充分性成立； 若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增， 但，故不符合性质，即必要性不成立； 所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. （2）若具有性质A，即可知在区间上单调递增． 对任意，且， 则， 因为，则， 可得恒成立，则， 所以实数的取值范围是． （3）由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增； 由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增； 由对勾函数可知：的增区间为， 的增区间为， 要使得条件成立，需要或 所以实数的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$