第4章 一元一次不等式（组）单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

一元一次不等式（组）单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式的有(　　)． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 2．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．甲，乙两市出租车收费标准如表： 起步价元 千米后元千米 甲 乙 某人分别在两市乘坐出租车各行驶千米其中，若甲市的收费高于乙市，则的值（ ） A．大于小于 B．大于 C．大于 D．大于小于 4．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 5．若方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．关于，的二元一次方程组的解满足＜，则的取值范围是（      ） A．＞ B．＜ C．＜ D．＞ 8．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（　　） A． B． C． D． 10．足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．关于x的不等式，其中，则其解集为 ． 12．不等式组的所有整数解的和 ； 13．如果，那么 ．（填“<”或“>”） 14．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为 ． 15．不等式组的解集是 ． 16．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 17．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多安排 人种甲种蔬菜． 18．某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）；（2）． 20．（6分）解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 21．（8分）如果关于x的方程的解大于关于x的方程的解，求a的取值范围． 22．（8分）阅读下面解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以 ．③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 23．（9分）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或② 解①得，解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 24．（9分）用若干辆载重量为的汽车运一批货物，若每辆汽车只装，则剩下货物；若每辆汽车装满，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物． 25．（10分）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 26.（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． （1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？ （2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍． ①该商场有哪几种进货方式？ ②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次不等式（组）单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．不等式的有(　　)． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义：用不等号连接而成的式子，即可作出判断． 【详解】解：不等式有：③；④；⑤；⑥，共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的识别，掌握不等式的定义是关键． 2．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意； B．∵，∴，故本选项符合题意； C．∵，∴，故本选项不符合题意； D．∵，∴，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键． 3．甲，乙两市出租车收费标准如表： 起步价元 千米后元千米 甲 乙 某人分别在两市乘坐出租车各行驶千米其中，若甲市的收费高于乙市，则的值（ ） A．大于小于 B．大于 C．大于 D．大于小于 【答案】A 【分析】根据车费起步价（行程）即可列出代数式，根据甲市的收费高于乙市即可列出不等式，解出不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意得， 甲市的收费：， 乙市的收费：， 由甲市的收费高于乙市， 则， 解得， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了行程计费的实际问题、利用题意列代数式及不等式，用数字、字母正确列出代数式及解出不等式的解集是解题的关键． 4．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ①-②得：x-y=3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-， ∴3m+2＞-， 解得：m＞， ∴m的最小整数解为-1， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 5．若方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组中两方程相减，表示出，代入中，即可求出的范围． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出是解本题的关键． 6．已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键． 7．关于，的二元一次方程组的解满足＜，则的取值范围是（      ） A．＞ B．＜ C．＜ D．＞ 【答案】D 【分析】把a看成是已知数，解出x，y，根据x<y列不等式求a的范围． 【详解】解：解方程组得． 因为x<y，所以＜， 解得：a>． 故选：D． 【点睛】本题考查了解二次一次方程组，解一元一次不等式，根据二次一次方程组中的两个未知数的不等关系，求字母系数的范围时，可先将字母系数看成是已知数，解出原方程组的解，再根据题中所给的不等关系列不等式求解． 8．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式＞，得：， 解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9．小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得：． 故选D． 10．足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队进行了14场比赛，得分不低于20分，那么该队至少胜了几场（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意设胜了场，平了场，负了场，根据不低于20分，列方程与不等式求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，平了场，负了场， ；， ∴， ∴， 当时，， ∴该队至少胜了3场； 故选A 【点睛】本题考查的是不等式的应用，三元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程与不等式是解本题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．关于x的不等式，其中，则其解集为 ． 【答案】 【分析】先判断，再根据不等式的性质解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的解法，熟练的利用不等式的性质解不等式是解本题的关键． 12．不等式组的所有整数解的和 ； 【答案】6 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所有的整数相加即可. 【详解】解：， 解①得， ， 解②得， x≤3, ∴不等式组的解集是：， ∴其中的整数有：0,1,2,3， ∴0+1+2+3=6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 13．如果，那么 ．（填“<”或“>”） 【答案】＜ 【分析】根据不等式的性质分析即可． 【详解】解析：由，可知：，，则， ∴，所以． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集，可判断m与5的大小． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是，， ∴， 即m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞－1 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知得出关于a的不等式，求出即可． 【详解】∵由得x≥－a； 由得x＜1． ∴ ∴－a≤x＜1． ∵原不等式组有解， ∴－a＜1，即a＞－1． ∴a的取值范围是a＞－1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，解此题关键是能得出关于a的不等式． 17．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多安排 人种甲种蔬菜． 【答案】4 【分析】设最多安排x人种甲种蔬菜，根据有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，若要使收入不低于15.6万元，可列不等式求解． 【详解】解：设安排x人种甲种蔬菜， 3x×0.5+2（10﹣x）×0.8≥15.6， 解得：x≤4． 所以最多安排4人． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键设出种植甲的人数，以总收入作为不等量关系列不等式求解． 18．某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品． 【答案】450 【分析】设商店降x%出售商品，根据“进价是1000元，售价是1500元，利润率不低于5%”即可列不等式求解. 【详解】解：设商店降x%出售商品，由题意得 ≥1000×（1+5%） 解得x≥30 则商店最多降30%出售商品． ∴商店最多降元出售商品． 故答案为：450． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解题的关键是读懂题意，找到不等关系，正确列不等式求解. 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）；（2）． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，能正确求出不等式的解集是解此题的关键． 20．（6分）解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】数轴见解析，不等式组的非负整数解为2，1，0． 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后找出解集范围内的非负整数即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 在数轴上表示为： 不等式组的非负整数解为2，1，0． 21．（8分）如果关于x的方程的解大于关于x的方程的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先求出两个方程的解，然后列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：解方程，得：x＝． 解方程，得：x＝． 由题意得： 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，解答本题的关键是掌握不等式的性质． 22．（8分）阅读下面解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以 ．③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②； (2)错误地运用了不等式的基本性质3 (3)见解析 【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误； （2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因； （3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误； （2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． 23．（9分）求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或② 解①得，解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 【答案】． 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”可得两个关于x的不等式组，解之即可. 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①或② 解①得其无解，解②得． ∴不等式的解集为 【点睛】本题考查了不等式组的解法，属于模仿题型，正确理解题意是解题的关键. 24．（9分）用若干辆载重量为的汽车运一批货物，若每辆汽车只装，则剩下货物；若每辆汽车装满，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物． 【答案】有6辆汽车运这批货物 【分析】设有辆车，则有吨货物．根据若每辆汽车装满吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论． 【详解】解：设有辆车，则有吨货物． 由题意，得， 解得． 为正整数， ． 答：有6辆汽车运这批货物． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出代数式和不等式组是解题的关键． 25．（10分）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元.，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利120元． （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 【答案】（1）A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元；（2）最少需要购进A型号计算器30台． 【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可． 【详解】解：（1）设A型号计算器售价为元，B型号计算器售价为元 由题意可得: 解得: 答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元． （2）设购进A型号计算器台，则B型号计算器（70-a）台 由题意可得： 30a+40（70-a）≤2500 解得：a≥30 答：最少需要购进A型号计算器30台． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解答此题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程；还考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 26.（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． （1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？ （2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍． ①该商场有哪几种进货方式？ ②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？ 【答案】（1）A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元； （2）①有4种购机方案：方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；②购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大． 【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40-a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案； ②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元； （2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40-a）部， 根据题意得：， 解得：≤a≤30， ∵a为解集内的正整数， ∴a=27，28，29，30， ∴有4种购机方案： 方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部； 方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部； 方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部； 方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部； ②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元． 根据题意，得w=500a+600（40-a）=-100a+24000， ∵-10＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=-100×27+24000=21300（元）． 因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大． 答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$