4.2 指数函数（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第四章 幂函数、指数函数与对数函数 4.2 指数函数 1.指数函数的定义 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R 2.研究幂函数性质时，有哪些步骤，研究哪些方面性质？ 问题1：首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y＝2x 开始．请同学们利用计算器完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝2x的图象． 完成下面表格，画出的函数y＝2x的图象如下． x y -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 问题2 为了得到指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数y=的图象，并与函数y＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的图象，画出函数y=的图象？ 因为y=，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数y＝2x的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y= 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y＝2x的图象，画出y= 的图象．如右图所示． 探究 选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你你能概括出指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域和性质吗？ 自己设计一个表格，写出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等． 选取选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝3,a＝4,a＝, a＝利用信息技术画出图象,如图. a>1 0<a<1 图象 性质 定义域： 值域： 过定点： R (0,+∞) (0, 1) 在R上严格递减 在R上严格递增   y=ax(a>1） y=ax (0<a<1) 图 象     函数三要素 函数 性质     函数 图象 特征             y=ax x y o (0,1) x y o (0,1) y=ax 定义域: R 值域：(0,+∞) 在R上是严格递增 在R上严格递减 非奇非偶函数 过定点:(0,1) 无限接近x轴但永不相交 当x>0时，y>1. 当x<0时，0<y<1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 函数y=与y=的图象关于y轴对称 题型1　指数函数的概念及应用 例题1 (1)给出下列函数： ①y＝2×3x；②y＝3x+1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x．其中，指数函数的个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】(1)B　(2)125 判断一个函数是不是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则 (　　) A．a＝1或a＝－1 B．a＝1 C．a＝－1　 D．a＞0，且a≠1 【答案】C　 题型2　指数函数图象的应用 例题2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________． 【答案】(1)D　(2)(3，4)　 【解析】(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0＜a＜1．又因为0＜f(0)＜1，所以0＜a－b＜1＝a0，即－b＞0，所以b＜0．故选D． (2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4．故函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点(3，4)． 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．(1)函数f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点 (　　) A．(－1，2) B．(1，2) C．(－1，1) D．(0，2) (2)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 【答案】(1)A　(2)C　 【解析】(1)依题意，由x＋1＝0得x＝－1．将x＝－1代入f(x)＝3－ax+1，得f(x)＝3－a0＝2，所以函数f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1，2)． (2)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B．作直线x＝1与两条曲线相交(图略)，下面交点所在的曲线是函数y＝mx的图象．故选C． 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域为x∈D； ③求t＝f(x)的值域为t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 题型4　指数函数的图象 【例题4】　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B．] √ 反思领悟　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． [跟进训练] 1．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) C　[由于0<m<n<1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象．] √ A　　　 　B　　 　　C　　 　　D 题型5　指数函数的图象的应用 【例题5】　(1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是____________． (－1，－1)　[因为y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的图象过定点(－1，－1)．] (－1，－1)　 (2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： ①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|． [解]　利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象．如图所示． ①　　　　　　　　　②　 ③　　　　　　④　　　　　 　⑤ 反思领悟　指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势． [跟进训练] 2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 D　由于f (x)在R上单调递减，所以0<a<1， 又0<f (0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D． √ (2)要使g(x)＝3x+1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A．t≤－1 B．t<－1 C．t≤－3 D．t≥－3 C　∵函数g(x)＝3x+1＋t的图象过定点(0，3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3． √ 题型6　利用指数函数的单调性比较大小 【例题6】　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； [解]　1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2． 【例3】　比较下列各组数的大小： (2)0.6-1.2和0.6-1.5； [解]　0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5， 所以0.6-1.2<0.6-1.5． 【例3】　比较下列各组数的大小： (3)1.70.2和0.92.1； [解]　由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝＝1， 所以1.70.2>0.92.1． (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)． [解]　当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3． 发现规律　比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用________的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用______的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断． (4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 指数函数 幂函数 中间量 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$