4.3 线段的长短（4个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

4.3 线段的长短 课程标准 学习目标 ①会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ②掌握基本事实:两点之间线段最短； ③理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 1.会用叠合法与度量法比较线段的长短； 2理解尺规作图的概念,会用尺规作一条线段等于己知线段； 3.理解线段的和差、线段中点的概念和几何表示，会线段的和差计算，与中点有关的线段和差的计算； 4.掌握基本事实:两点之间，线段最短，并能用它解释一些实际现象； 5.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 知识点01 比较线段的长短 ·线段的比较：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 【即学即练1】（2024·河北邯郸·二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可． 此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． 【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的， 故选：C． 【即学即练2】如图，比较这两条线段的长短．    【答案】 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】此题考查了线段的大小比较，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，进而求解即可． 【详解】解：如答图，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，    所以． 知识点02 尺规作一条线段 ·作一条线段等于已知线段： （1）尺规作图（无刻度直尺画直线、圆规量长）：用圆规作一条线段等于已知线段． 例：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． （2）用刻度尺作一条线段等于已知线段． ·作线段的和差： 【即学即练3】如图，已知线段，请用尺规按要求作图：延长线段到C，使 【答案】作图见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】根据作一条线段等于已知线段，即可作出图形； 【详解】解：如图，所以，BC就是所求作的线段； 【即学即练4】如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】答案见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了线段和差的尺规作图，正确理解线段和差的尺规作图步骤是解答本题的关键．先画射线，在射线上截取点C，使，再在线段上截取点B，使，根据线段的和差计算，可知，线段即为所求． 【详解】如图所示，线段即为所求． 知识点03 线段的中点 ·线段中点的概念：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 备注：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【即学即练5】如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【详解】解：∵点C是线段上一点， ∴不一定是的二倍，故选项A中的结论不成立，符合题意； 由图可得， ，故选项B中的结论成立，不符合题意； ，故选项C中的结论成立，不符合题意； ∵D是线段的中点， ∴，故选项D中的结论成立，不符合题意． 故选：A． 【即学即练6】如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的主差关系，是解决问题的关键． 根据线段的和差关系得到，根据中点定义得到，得到，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度是． 故选：C． 【即学即练7】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 【答案】2.5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据P是的中点可求出的长，由即可得出结论 【详解】解：如图，， 可设，，， ∵，即 ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ． 知识点04 线段的基本性质与两点的距离 ·线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． ·两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 【即学即练8】如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ， 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． ·线段的和、差应用：表示出线段的和、差解动点问题（线段、数轴、图形上的动点运动问题） （1）表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； （2）根据问题表示出相关线段的和、差； （3）数形结合的思想：根据线段之间的数量关系，列方程求解，将几何问题转化为代数问题； （4）分类讨论思想：根据条件对动点的位置进行分类讨论 【题型一：尺规作图】 例2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． 在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 【方法技巧与总结】 尺：指无刻度的直尺，用来画直线；规：指圆规，用来量线段长、定点的位置。 【题型二：线段的和与差】 例2．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 变式2-1.线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-2.（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．， ∴， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故④不符合题意； 故选：B． 例3.（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； 即：这根绳子原来的长度为或， 故选：D． 【方法技巧与总结】①结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系，表示出问题中的线段和条件中已知长度的线段之间的数量关系，进行解题；②在①的情况下无法解决时，可设未知量，列方程求解。 【题型三：线段的应用】 例4．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【知识点】线段的应用、线段之间的数量关系、与线段有关的动点问题 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 变式4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【答案】或2或 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】设三条线段的长分别是，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是， ∵到5的距离是6， ∴， 解得， ∴三条线段的长分别为，，3， 如图所示：①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或． 故答案为：或2或 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 例5.小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】(1)总长的长度为 (2)缩进部分的长为，的长为 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 【题型四：新定义问题与线段的和、差计算】 例6．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【答案】2或4或3 【知识点】两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 变式8-1．（23-24七年级上·江苏常州·期末）定义：C是线段上的一点，若点C将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点C是线段的“圆满分割点”．已知，P、Q分别是线段的“圆满分割点”，则的长是 ． 【答案】2或4 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．根据线段的“圆满分割点”的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，P是线段的“圆满分割点”， ∴或 ∵Q线段的“圆满分割点”， ∴， ∴或， 综上所述：的长是2或4， 故答案为：2或4． 变式8-2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知点是射线上一点，当时，称点是射线的强弱点.若，点是射线的强弱点，则 ． 【答案】4或12 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键．分两种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到与的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解：①如图，，当且在线段上时，   ； ②如图，，当且在线段的延长线上时，   ； 综上：或12． 故答案为：4或12． 【技巧方法与总结】理解定义内容，根据定义表示出满足定义的“线段数量关系”（线段的和差倍分关系）， 结合方程、分类讨论的思想方法解决问题 例9．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，② ，③，即可求解； （3）①当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得，列方程即可求解； (ⅱ) 由“巧点”的定义得， ②当是、的“巧点”，(ⅰ) 由“巧点”的定义得， (ⅱ) 由“巧点”的定义得，即可求解． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， 解得：， (ⅱ)如图，   ， ，， ， ， 解得：； ②当是、的“巧点”， (ⅰ)如图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； (ⅱ)如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 变式9.（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 【题型五：计算线段的和、差解线段上的动点问题】 例10．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为ts． (1)当时，，请求出的长； (2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1)cm (2)cm (3)cm或cm 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差问题与动点问题，根据题意确定各相关线段之间的数量关系是解题关键． （1）由题意可得，可进一步推出，根据即可求解； （2）结合（1）的解析过程即可求解； （3）分类讨论①当点Q在线段上时②当点Q在的延长线上时两种情况，画出对应的图形即可求解． 【详解】（1）解：根据C、D的运动速度知： cm， cm， 则， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 则cm； （2）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 则cm； （3）解：①当点Q在线段上时， ∵， ∴； ∵， ∴ 又∵， ∴； ②当点Q在的延长线上时，   cm． 综上所述，cm或cm． 变式10. 已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 【题型六：计算线段的和、差解图形上的动点问题】 例11．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【知识点】用代数式表示式、行程问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例12.（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 【题型七：计算线段的和、差解数轴上的动点问题】 例13．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)1 (2)或 (3)不变，5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）利用已知线段中点公式求解即可； （2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是，再利用数轴上两点的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上；②当点在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为6， 线段的中点表示的数为， 故答案为：1； （2）解：根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 解得：或， 答：当或时，； （3）解： 线段的长度不变，理由如下： ①当点在线段上时，   点为的中点，点为的中点， ； ②当点在线段的延长线上时，   点为的中点，点为的中点， ； 所以线段的长度不变，是5． 变式13．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，点，是数轴上的两点，点是线段上的任意一点，点，点分别是线段和线段的中点，其中点，表示的数分别为，，并且满足， (1)求，的值； (2)求线段的长； (3)若点以每秒个单位在数轴上向右运动，同时点以每秒个单位在数轴上也向右运动，当的长度与（2）中长度相等时，求经过的时间和此时点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)经过的时间为秒，此时点表示的数为 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性得到，，即可得出答案； （2）根据数轴上两点间的距离得，根据线段中点的定义可得，，然后代入计算即可； （3）根据题意得点表示的数为，点表示的数为，再根据当的长度与（2）中长度相等时可得，继而得到，求解即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）由（1）知：点，表示的数分别为，， ∴，即， ∵点，点分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， ∴线段的长为； （3）∵点以每秒个单位在数轴上向右运动，同时点以每秒个单位在数轴上也向右运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当的长度与（2）中长度相等时，则， 由（2）知：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 此时点表示的数为， ∴经过的时间为秒，此时点表示的数为． 【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性，线段中点的定义，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用等知识点，掌握用数轴上的点表示数、列一元一次方程并求解是解题的关键． 一、选择题 1．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 2.（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，、顺次为线段上的点，且，，为中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键．依次求出、、的长，即可得出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， 为中点， ， 故选：A． 3．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系，根据题意，利用中点定义及线段的和差逐次求出有关线段长，即可得解． 【详解】∵为线段的中点，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 故选：C 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】当在点的右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上可知的长为或， 故选：． 二、填空题 6.如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 【答案】5 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 7.（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，则：，根据，求出的值，中点求出的长，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 8.（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 【答案】58 【知识点】线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以、、、，这5个点为端点线段数，再根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 9.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为，的中点，cm，则 ． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用．首先设，则线段，，然后根据E、F分别是线段、的中点，分别用x表示出、，根据，求出x的值，即可求出线段的长． 【详解】设，则线段，， ∵E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）已知线段，点在直线上，，则 ． 【答案】或/5或3 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】根据线段的倍数与和差关系分情况讨论解答即可．本题考查了线段的倍数关系及线段的和差关系，分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①当点在线段上时， ∵，， ∴， ∴； ②当点在的延长线上时 ∵，， ∴， ∴； 故答案为：或． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知线段cm，C是线段的中点，D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长为 ． 【答案】cm或8cm 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长．根据题意求出的长，再分情况讨论点E的位置列式求解即可得到本题答案． 【详解】解：∵线段cm，C是线段的中点，D是线段的中点， ∴，， ∵， ∴分情况讨论点E的位置： ①当点E在上时， ∴， ∴； ②当点E在上时， ∴， ∴， 故答案为：cm或8cm． 三、解答题 12.尺规作图：如图，已知线段，求作线段，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】先作射线再在射线截取再在线段上依次截取 从而可得答案． 【详解】解：如图，作射线 在射线截取 再在线段上依次截取 则线段 【点睛】本题考查的是尺规作图中的作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，掌握作图的基本方法是解题的关键． 13．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知点在线段上，点在线段上． (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长； (2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点，线段和差． （1）根据题意先求出的长，再利用中点求出的长，继而求出本题答案； （2）利用条件即可求出，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，E为线段的中点，， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再由即可得到答案； （2）先根据线段中点的定义得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点，，， ∴， ∴． 15．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）如图，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，若点D也是图中线段的圆周率点（不同于点C），试求出线段的长，并写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差和线段之间的数量关系． （1）根据线段之间的关系代入解答即可； （2）根据可求出，根据即可求出，最后比较与即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵点D也是线段的圆周率点（不同于点C）， ， ，即， ， ∵， ， ∵， ． 16.追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 2.（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 【答案】53 【知识点】两点间的距离、线段的和与差、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位，即可确定点B的对应的数为，根据数轴得出长，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位， ∴蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位， ∴点B的对应的数为：， ∴ ∴点C表示的数是， 故答案为：53． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知点C在线段上，cm，cm，点M，N分别是，的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点P在直线上，且，点Q为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． （1）先求得，然后根据是的中点得出 （2）利用线段的和差关系可得，然后利用线段的中点定义可得，，进而利用即可解答； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是的中点， ， （2）解：，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 即的长为； （3）的长度为或， 理由：分两种情况： 当点在线段上时，如图： ，， ， 点为的中点， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图： ，， ， 点为的中点， ， ， ； 综上所述：的长度为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 线段的长短 课程标准 学习目标 ①会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ②掌握基本事实:两点之间线段最短； ③理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 1.会用叠合法与度量法比较线段的长短； 2理解尺规作图的概念,会用尺规作一条线段等于己知线段； 3.理解线段的和差、线段中点的概念和几何表示，会线段的和差计算，与中点有关的线段和差的计算； 4.掌握基本事实:两点之间，线段最短，并能用它解释一些实际现象； 5.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 知识点01 比较线段的长短 ·线段的比较：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 【即学即练1】（2024·河北邯郸·二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，比较这两条线段的长短．    知识点02 尺规作一条线段 ·作一条线段等于已知线段： （1）尺规作图（无刻度直尺画直线、圆规量长）：用圆规作一条线段等于已知线段． 例：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． （2）用刻度尺作一条线段等于已知线段． ·作线段的和差： 【即学即练3】如图，已知线段，请用尺规按要求作图：延长线段到C，使 【即学即练4】如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段，使（不写作法，保留作图痕迹）． 知识点03 线段的中点 ·线段中点的概念：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 备注：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【即学即练5】如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练6】如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练7】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长． 知识点04 线段的基本性质与两点的距离 ·线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． ·两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 【即学即练8】如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ， ·线段的和、差应用：表示出线段的和、差解动点问题（线段、数轴、图形上的动点运动问题） （1）表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； （2）根据问题表示出相关线段的和、差； （3）数形结合的思想：根据线段之间的数量关系，列方程求解，将几何问题转化为代数问题； （4）分类讨论思想：根据条件对动点的位置进行分类讨论 【题型一：尺规作图】 例2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． 在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】 尺：指无刻度的直尺，用来画直线；规：指圆规，用来量线段长、定点的位置。 【题型二：线段的和与差】 例2．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 变式2-1.线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 变式2-2.（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①；                 ②若，则； ③；         ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 例3.（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】①结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系，表示出问题中的线段和条件中已知长度的线段之间的数量关系，进行解题；②在①的情况下无法解决时，可设未知量，列方程求解。 【题型三：线段的应用】 例4．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 变式4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 例5.小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． (1)求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． (2)如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【题型四：新定义问题与线段的和、差计算】 例6．（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    变式8-1．（23-24七年级上·江苏常州·期末）定义：C是线段上的一点，若点C将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点C是线段的“圆满分割点”．已知，P、Q分别是线段的“圆满分割点”，则的长是 ． 变式8-2．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知点是射线上一点，当时，称点是射线的强弱点.若，点是射线的强弱点，则 ． 【技巧方法与总结】理解定义内容，根据定义表示出满足定义的“线段数量关系”（线段的和差倍分关系）， 结合方程、分类讨论的思想方法解决问题 例9．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    变式9.（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【题型五：计算线段的和、差解线段上的动点问题】 例10．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为ts． (1)当时，，请求出的长； (2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长． 变式10. 已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【题型六：计算线段的和、差解图形上的动点问题】 例11．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 例12.（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【题型七：计算线段的和、差解数轴上的动点问题】 例13．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 变式13．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图，点，是数轴上的两点，点是线段上的任意一点，点，点分别是线段和线段的中点，其中点，表示的数分别为，，并且满足， (1)求，的值； (2)求线段的长； (3)若点以每秒个单位在数轴上向右运动，同时点以每秒个单位在数轴上也向右运动，当的长度与（2）中长度相等时，求经过的时间和此时点表示的数． 一、选择题 1．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 2.（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图，、顺次为线段上的点，且，，为中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 3．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 6.如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 7.（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 8.（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 9.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为，的中点，cm，则 ． 10．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）已知线段，点在直线上，，则 ． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知线段cm，C是线段的中点，D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长为 ． 三、解答题 12.尺规作图：如图，已知线段，求作线段，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹） 13．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知点在线段上，点在线段上． (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长； (2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 15．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）如图，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，若点D也是图中线段的圆周率点（不同于点C），试求出线段的长，并写出与的数量关系． 16.追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知点C在线段上，cm，cm，点M，N分别是，的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点P在直线上，且，点Q为的中点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$