4.1正弦和余弦 课件2024-2025学年湘教版数学九年级上册

（湘教版）九年级 上 4.1 正弦与余弦 教学目标 1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 新知导入 直角三角形△ABC有什么性质？ 回顾 直角三角形的两个锐角互余。 ∠A+∠B=90° 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 CD=AB 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方。 a2+b2=c2 新知讲解 做一做 画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算 = =_______________. 与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是否相等(精确到0.01). 新知讲解 猜想：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数. 思考：若把65°角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 新知讲解 探究 如图，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α ，∠C=∠F =90°， 则=成立吗？ 为什么？ 解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ = . 即BC·DE=AB·EF， ∴ =. 新知讲解 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中， 角 α 的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 新知讲解 根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”， 容易得到sin30°= . 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5． (1)求sinA的值； (2)求sinB的值． 解:(1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ． 于是sinA==． 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5． (1)求sinA的值； (2)求sinB的值． 解:(2)∠B的对边是AC， 根据勾股定理， 得AC2=AB2-BC2=52-32=16． 于是AC=4． 因此sinB==． 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为( ) A. B. C. D. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 C 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA=______． 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 B 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 4.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4， 则sinA的值为（　　）. A． B． C． D． C 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 5.计算：sin30°－|－2|＝　 　． 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为　 　． - 【综合拓展类作业】 课堂练习 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值． 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3， ∴AB==5. 根据同角的余角相等，得∠ACD＝∠B. ∴sin∠ACD＝sinB＝＝. 课堂总结 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= sin30°= 板书设计 正弦： sin= sin30°: 4.1正弦（1） 习题讲解书写部分 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为 (　　) A．sinA=2sinA′ B．sinA=sinA′　 C．2sinA=sinA′　 D．不确定 B 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2.填空： (1)sinA==； (2)sinB==. CD AB BC AC 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是_______. 【综合拓展类作业】 作业布置 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． (1)证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B. 又∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD. 【综合拓展类作业】 作业布置 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． (2)解∵△ACD∽△CBD， ∴=， ∴CD2＝AD·BD＝2×(6-2)＝8， ∴CD＝2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝2， ∴sinA＝. $$