18.1 第2课时 函数的的定义域、函数值(5大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

18.1 第2课时 函数的的定义域、函数值 知识点一 函数的定义域与函数值 1.函数的定义域 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 2.函数值 如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值. 3.符号“”的意义 为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律. 注意： (1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积; (2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如 (3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值; (4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 . 题型一、求函数的定义域（x的取值范围） 解题技巧提炼 常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法: 类型 特点 自变量取值范围 举例 整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数) 分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数 根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数 零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数 综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义 1．若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】/x不等于1 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．根据反比例函数分母不为0求解即可． 【详解】解：的解析式在实数范围内有意义， ， ， 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 3．（23-24九年级下·上海·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，立方根有意义的条件．根据分式有意义的条件，立方根有意义的条件，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即函数的定义域是． 故答案为： 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数和分母不等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数定义域，涉及二次根式有意义的条件、零指数幂定义等知识，根据题中函数结构特征，由二次根式有意义得到；由零指数幂的底数不为0得到，即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件、零指数幂定义等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， 由二次根式有意义得到；由零指数幂的底数不为0得到，则， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如果等腰三角形的周长等于20，写出底边长与腰长的函数关系式及定义域 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，一元一次不等式组的解法，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式． 【详解】解：由题意得： 可得：， ∵， 解得：， 故答案为：． 7．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数． (1)写出关于的函数的关系式． (2)写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的定义结合三角形周长公式进行求解即可； （2）根据构成三角形的条件结合x、y为正数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：∵，即， 解得； 又由三角形的三边关系可知：， 解的 ∴． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量的取值范围，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．已知三角形的三边长分别为，，，该三角形的周长为． (1)写出关于的函数解析式，并写出这个函数的定义域． (2)如果要求三角形的周长满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及函数值求法等知识，根据三角形的三边关系得出是解题关键． （1）根据三角形周长公式得出与的函数关系式即可，再利用三角形三边关系得出的取值范围； （2）利用（1）中所求，代入不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得出：．   ∵， ∴． （2）解：∵三角形的周长满足， ∴ ∴． 9．如图，周长为24的凸五边形被对角线的分为等腰及矩形，且．设的长为x，的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】 【分析】直接利用图形得出得出4x+y=24，进而求出即可． 【详解】解：由题意可得：4x+y=24， 则y=-4x+24， 由三角形三边关系得出：2x＞y， 即2x＞-4x+24， 解得：x＞4， 4x＜24， 解得：x＜6， 故自变量的取值范围：4＜x＜6． 【点睛】此题主要考查了函数关系式以及自变量取值范围求法，正确利用三角形三边关系得出是解题关键． 题型二、求函数的值 解题技巧提炼 求函数值，代入自变量x到函数表达式，进行求解即可． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）函数 ，则 【答案】 【分析】本题考查求函数值，将，代入函数表达式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 11．（22-23八年级上·上海青浦·期中）函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题目所给函数，代入求函数值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数值以及分母有理化，读懂题意，熟练掌握分母有理化是解本题的关键． 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）函数，则＝ ． 【答案】7 【分析】直接将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查求函数值，解题的关键就是将自变量所赋的值代入函数解析式中进行计算． 13．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如果函数，那么 ． 【答案】 【分析】把代入函数即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查函数值求解，解题的关键是把自变量的值代入函数解析式． 14．（22-23八年级上·上海宝山·期末）已知：函数 (1)求这个函数的定义域； (2)计算． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分母不等于0列式求解即可得到函数定义域； （2）把自变量，代入函数解析式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 定义域为：； （2）； ． 【点睛】本题考查了函数的定义域和函数值，理解概念以及掌握计算方法是解题的关键． 15．（22-23八年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)求的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先两同时乘以，再把含的项移到左边，不含的项移到右边，进行变形即可； （2）把代入进行计算即可； （3），即，求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， 即， ， ， . 【点睛】此题主要考查了函数关系式，解题的关键是求出函数解析式，题目比较基础． 16．一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出： 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 36 20 … (1)上表反映的变量之间的关系中，自变量是________，变量是________，燃烧70分钟时，这根蜡烛还剩________． (2)写出剩余长度与燃烧时间x（分）的关系式． (3)这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 【答案】(1)燃烧时间；剩余长度；12 (2) (3)这支蜡烛最多可燃烧100分钟 【分析】（1）根据变量与常量的意义进行解答； （2）由蜡烛的剩余长度与燃烧时间的变化规律，利用待定系数法解答； （3）当时求出相应的x的值即可． 【详解】（1）解：蜡烛的剩余长度随着时间的变化而变化，即两个变量：燃烧时间、剩余长度，其中燃烧时间是自变量，蜡烛剩余长度是因变量， 根据表格可知，燃烧时间增加分钟，蜡烛长度减少了，，则燃烧时间每增加10分钟，蜡烛的剩余长度就减少，当燃烧70分钟时，蜡烛剩余长度为：． 故答案为：燃烧时间；剩余长度；12． （2）解：设剩余长度与燃烧时间（分），根据题意得 ． （3）解：当时，， 答：这支蜡烛最多可燃烧100分钟． 【点睛】本题考查变量之间的关系，涉及求自变量或函数值，理解两个变量之间的关系是解题关键． 题型三、根据自变量的取值范围判断函数解析式 解题技巧提炼 根据自变量的取值范围判断函数解析式，可将选项的自变量取值范围求出进行比较即可. 17．下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、代数式是整式自变量可取任意实数、分式有意义、分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】A． ，可取正数，0，负数，所以取值范围是全体实数，符合题意； B． 中解得，不符合题意； C． 中分母不能为0，所以，不符合题意； D． 中分母不能为0，所以，解得：，不符合题意； 故选：A． 18．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数 C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数 【答案】D 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】解：A、中，取全体实数，此项正确； B、，即， 中，取的实数，此项正确； C、， ， 中，取的实数，此项正确； D、，且， ， 中，取的实数，此项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量、分式和二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键． 19．在下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【分析】本题根据分式有意义，分母不能等于0；二次根式有意义，被开方数要大于或等于0.分别根据要求分析即可. 【详解】A. ，由1-x≠0得，x的取值范围是x≠1,故不能选A；    B. ，x的取值范围是x≠0,故不能选B；    C. ，由1-x≥0得， x的取值范围是x≤1,故不能选C；    D. ，由1-x>0得，x的取值范围是x<1,故能选D. 故选D 【点睛】本题考核知识点：自变量取值范围. 解题关键点：注意特殊式子有意义的条件. 20．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，由x－3≠0，得x≠3；B选项，由x－3＞0，得x＞3；C选项，x是任意实数；D选项，由x－3≥0，得x≥3．故选D． 21．下列函数中，自变量的取值范围是x≥2的是（ ） A．y=x-2 B．y= C．y= D．y= 【答案】C 【详解】试题分析：分别求出四个选项中自变量的取值范围即可求解． 试题解析：A、自变量的取值范围是全体实数； B、自变量的取值范围是x≠2； C、自变量的取值范围是x≥2； D、自变量的取值范围是x＞2． 故选C． 考点：函数自变量的取值范围． 题型四、根据两个函数有相同的函数值求x 解题技巧提炼 两个函数有相同的函数值，去y联立方程解方程即可. 22．当 时，函数与有相同的函数值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，根据函数与有相同的函数值列方程求解即可． 【详解】∵函数与有相同的函数值 ∴，解得 故答案为：． 23．当 时，函数与函数有相同的函数值． 【答案】1 【分析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．根据两直线相交的问题得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得 解得， 即时，函数与函数有相同的函数值． 故答案为：1． 24．当 时，函数与函数有相同的函数值． 【答案】． 【分析】求当时x的值即可． 【详解】解：由题意当时 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查函数值的知识，比较简单，关键是根据题意列出方程． 25．x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值． 【答案】- 【详解】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答 解：由题意得：3x-2=5x+1 解得：x=- 题型五、改写y=f（x）的形式 解题技巧提炼 根据等式的性质将原式进行变形，用含x的代数式表示y即可. 26．已知，把它改写成的形式是 . 【答案】 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查函数表达式，利用等式性质变形求解析式是解答此题的关键 27．把下列各式改写成的形式 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查函数关系式； （1）移项计算即可； （2）同除，再移项即可； （3）先写成乘积式，再同除，最后移项即可； （4）先写成乘积式，合并同类项后计算即可． 【详解】（1）， ∴； （2）， ∴， ∴； （3） ∴， ∴； （4） ∴ ∴． 28．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）移项，化系数为1，即可求解； （2）因式分解后，化的系数为1，即可求解； （3）化乘积式即，移项，然后化的系数为1，即可求解； （4）分解因式，即，得出或，然后移项，化系数为1，即可求解； 【详解】（1）移项可得，则； （2）因式分解即有，则； （3）化乘积式即，移项即得，，则； （4）分解因式，即， ∴或， 由此可得与函数     关系式为或． 【点睛】本题考查了函数表达式，熟练掌握函数的定义，因式分解是解题的关键．将式子改写成的形式，只需要通过等式性质进行变形，一边只有，另一边表示成只含有相关的代数式的形式． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1 第2课时 函数的的定义域、函数值 知识点一 函数的定义域与函数值 1.函数的定义域 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 2.函数值 如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值. 3.符号“”的意义 为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律. 注意： (1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积; (2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如 (3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值; (4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 . 题型一、求函数的定义域（x的取值范围） 解题技巧提炼 常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法: 类型 特点 自变量取值范围 举例 整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数) 分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数 根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数 零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数 综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义 1．若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ． 2．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·上海·阶段练习）函数的定义域是 ． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）函数的定义域是 ． 5．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如果等腰三角形的周长等于20，写出底边长与腰长的函数关系式及定义域 ． 7．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数． (1)写出关于的函数的关系式． (2)写出自变量的取值范围． 8．已知三角形的三边长分别为，，，该三角形的周长为． (1)写出关于的函数解析式，并写出这个函数的定义域． (2)如果要求三角形的周长满足，求的取值范围． 9．如图，周长为24的凸五边形被对角线的分为等腰及矩形，且．设的长为x，的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 题型二、求函数的值 解题技巧提炼 求函数值，代入自变量x到函数表达式，进行求解即可． 10．（23-24八年级上·上海青浦·期中）函数 ，则 11．（22-23八年级上·上海青浦·期中）函数，则 ． 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）函数，则＝ ． 13．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如果函数，那么 ． 14．（22-23八年级上·上海宝山·期末）已知：函数 (1)求这个函数的定义域； (2)计算． 15．（22-23八年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)求的值； (3)当时，求x的值． 16．一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出： 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 36 20 … (1)上表反映的变量之间的关系中，自变量是________，变量是________，燃烧70分钟时，这根蜡烛还剩________． (2)写出剩余长度与燃烧时间x（分）的关系式． (3)这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 题型三、根据自变量的取值范围判断函数解析式 解题技巧提炼 根据自变量的取值范围判断函数解析式，可将选项的自变量取值范围求出进行比较即可. 17．下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 18．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数 C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数 19．在下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ）． A． B． C． D． 20．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（   ） A． B． C． D． 21．下列函数中，自变量的取值范围是x≥2的是（ ） A．y=x-2 B．y= C．y= D．y= 题型四、根据两个函数有相同的函数值求x 解题技巧提炼 两个函数有相同的函数值，去y联立方程解方程即可. 22．当 时，函数与有相同的函数值． 23．当 时，函数与函数有相同的函数值． 24．当 时，函数与函数有相同的函数值． 25．x= 时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值． 题型五、改写y=f（x）的形式 解题技巧提炼 根据等式的性质将原式进行变形，用含x的代数式表示y即可. 26．已知，把它改写成的形式是 . 27．把下列各式改写成的形式 (1)． (2)． (3)． (4)． 28．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$