4.1 正弦和余弦 教案 2024--2025学年湘教版九年级数学上册

《4.1正弦和余弦》教学设计 教学内容分析 《正弦》是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》的第一节内容。本节主要研究正弦函数，通过讨论直角三角形中锐角与其对边和斜边比值之间的关系，引出正弦函数的概念。教材通过实际问题抽象出数学问题，即当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）。这种设计有助于学生理解正弦函数的实际意义和应用价值。同时，教材也注重了知识的连贯性和系统性，为正弦函数后续的学习打下了坚实的基础。 学习者分析 九年级学生已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。他们对数学有了一定的兴趣和热情，同时也具备了一定的自主学习和合作学习的能力。然而，对于首次接触到的以角度为自变量的三角函数，学生可能会感到陌生和困难。因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从特殊到一般地认识正弦函数，帮助他们逐步理解正弦函数的概念和性质。 教学目标 1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 3.在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。同时，通过合作学习，培养学生的团队协作精神和交流沟通能力。 教学重点 理解正弦（sinA）概念，能用正弦概念进行简单的计算。 教学难点 比较、分析并得出正弦函数的概念，以及理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾： 直角三角形△ABC有什么性质？ 教师带领回顾：直角三角形的两个锐角互余。 ∠A+∠B=90° 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 CD=AB 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方。 a2+b2=c2 学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：讲授新知 教师活动2： 做一做 画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算 = =_______________. 与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是否相等(精确到0.01). 猜想：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数. 思考：若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 探究 如图，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F =90°， 则=成立吗？为什么？ 解： ∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ = . 即BC·DE=AB·EF， ∴ =. 教师讲授：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 教师讲授：根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到sin30°= . 学生活动2： 动手测量，合作交流 提出猜想 认真思考 认真思考，独立证明 认真听讲，经历角α的对边与斜边的比值是一个常数的证明过程 认真听讲，了解正弦的定义 由旧知求特殊的正弦值 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。 环节三：例题精析 教师活动3： 例1如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5． (1)求sinA的值； (2)求sinB的值． 解: (1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ． 于是sinA==． (2)∠B的对边是AC，根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=52-32=16． 于是AC=4． 因此sinB==． 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 教师讲授： 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到sin30°= . 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为( ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA=_____． 选做题： 4.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（　　）. A． B． C． D． 5.计算：sin30°－|－2|＝　 　． 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为　 　． 【综合拓展类作业】 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为 (　　) A．sinA=2sinA′　B．sinA=sinA′　C．2sinA=sinA′　D．不确定 2.填空： (1)sinA＝＝； (2)sinB＝＝. 3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是_______. 【综合拓展类作业】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值． 教学反思 1.需要多花时间研究如何调控课堂气氛，使课堂更加活跃，提高教学效果。 2.在新知探究过程中，应该更多地交由学生自主思考分析，将课堂还给学生，体现新课程理念。 3.需要精炼课堂语言，用语言引导本章的知识学习路径和知识框架，激发学生的求知欲望。 4.板书设计需要详略得当，避免非必要和非重点的内容出现和重复。 学科网（北京）股份有限公司 $$