1.1空间向量及其运算讲义-2025届高三数学一轮复习

1.1空间向量及其运算 ( 知识 归纳 ) 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 （3）三点共线：A、B、C三点共线<=> <=> （4）与共线的单位向量为 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 （3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=> 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。 （2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 （3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。 （4）空间向量数量积的性质： ①。②。③。 （5）空间向量数量积运算律： ①。②（交换律）。 ③（分配律）。 ( 考点讲解 )④不满足乘法结合率： 题型一：空间向量的有关概念 1．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3（多选）．下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 题型二：空间向量的加减运算 1．如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，点D，E满足，．则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 题型三：空间向量的共线的判定 1．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 2．，若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 4．（多选）下列各选项中，不正确的是（    ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝ B．对于非零向量，，与相等 C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 题型四：判定空间向量的共面 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 2．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．已知，，，若三向量共面，则实数 . 题型五：空间向量的数乘运算 1．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量数量积的概念辨析 1．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 2．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 4．在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. ( 巩固提升 ) 1．空间任意四个点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．29 6．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）以下四个命题中错误的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．对于空间向量、，若，则 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 12．若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 13．如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    14．在正三棱锥中，是的中心，，则 . 15．如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 16．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． ( 走进高考 ) 1．（2015·北京·高考真题）设，是非零向量，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的母线长为3，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 4．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知平面平面与平面所成的角为，且，两点在平面的同一侧，，则 ． 6．（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 7．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 8．（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算 ( 知识 归纳 ) 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 （3）三点共线：A、B、C三点共线<=> <=> （4）与共线的单位向量为 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 （3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=> 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。 （2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 （3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。 （4）空间向量数量积的性质： ①。②。③。 （5）空间向量数量积运算律： ①。②（交换律）。 ③（分配律）。 ( 考点讲解 )④不满足乘法结合率： 题型一：空间向量的有关概念 1．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 3（多选）．下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题； 对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：ABC 4．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 题型二：空间向量的加减运算 1．如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 2．在三棱锥中，点D，E满足，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出图形，进而利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，画出图形如图所示：    由，，可知点是线段的中点，， 由题意， . 即. 故选：A 3．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知为的中心，可得，连接，再结合空间向量的线性运算法则求解. 【详解】在正四面体中，平面， 为的中心，连接， 则， . 故选：D. 4．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 题型三：空间向量的共线的判定 1．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 2．，若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】根据，则存在一个常数使得， 所以可得，解之可得，所以. 故选：C 3．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项. 【详解】如果，则， 不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立， 因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立， 故选：D. 4．（多选）下列各选项中，不正确的是（    ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝ B．对于非零向量，，与相等 C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】选项A：利用向量的加法求解即可，选项B：若为非零向量，则与互补,选项C：利用共线，则直线AB，CD可能重合求解，选项D：利用空间向量共面定理求解即可. 【详解】显然＝,A正确； 若为非零向量，则与互补，故B错误； 若共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误； 只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D错误. 故选：BCD. 题型四：判定空间向量的共面 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 2．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 故选：B. 3．已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD，    则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 4．已知，，，若三向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】如果三个向量共面，则其中一个向量可以用另外两个向量线性表示.我们可以设存在实数，使得，然后根据向量相等的条件列出方程组求解. 【详解】因为，，且三向量共面， 设，即. 根据向量相等的条件，对于向量，则，，. 所以可得方程组.由可得，将代入中，得到，即，解得.因为，所以. 又因为，，所以. 故答案为：. 题型五：空间向量的数乘运算 1．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 2．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 4．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 题型六：空间向量数量积的概念辨析 1．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 2．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 3．已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 4．在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据体积公式求解； （2）由数量积的运算律计算． 【详解】（1）设该正四棱台的高为，则， 解得. （2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行， 所以，， 过作，垂足为，易得，所以， 所以. 故. ( 巩固提升 ) 1．空间任意四个点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算进行求解. 【详解】由题意 ， 又， . 故选：B 4．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用共面向量定理，列出方程求出实数的值. 【详解】由向量共面，得存在实数对，使得, 即，则，解得， 所以实数的值为4. 故选：D 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．29 【答案】C 【分析】因为，所以结合向量的运算，即可求解. 【详解】在平行六面体中，，所以， 所以 故选：C. 6．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 8．在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图：    以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 9．（多选）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意； B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意； C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意； D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意； 故选：BCD. 10．（多选）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 11．（多选）以下四个命题中错误的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．对于空间向量、，若，则 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的概念可判断AD选项，利用空间向量的垂直关系可判断B选项，利用空间共线向量的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，空间中所有的单位向量的长度都相等，但方向不一定相同， 所以，空间中所有的单位向量不一定都相等，A错； 对于B选项，对于空间向量、， 不妨取，此时，，但零向量的方向任意， 而向量垂直指的是两个非零向量的夹角为，故B错； 对于C选项，若空间向量、、为非零向量，且，， 则存在非零实数、，使得，，所以，， 所以，，C对； 对于D选项，若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，D错. 故选：ABD. 12．若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由，，为空间中两两夹角都是的单位向量， 得， 所以. 故答案为： 13．如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在空间四边形中，点为的中点，为的中点， 连接，根据空间向量的运算法则，可得 所以. 故答案为：.    14．在正三棱锥中，是的中心，，则 . 【答案】/ 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：    15．如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）写出各点坐标，设，写出相关向量得到方程组，解出即可； （2）出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 16．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据向量模长相等判断求解； （2）应用立体图形结合定义求出模长. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. ( 走进高考 ) 1．（2015·北京·高考真题）设，是非零向量，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A. 考点：充分必要条件、向量共线. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知圆锥的母线长为3，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出底面圆的半径，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】设底面圆的半径为， 则，解得或（舍去）， 则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 所以， 故， 所以， 所以. 故选：C. 3．（多选）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 4．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 5．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知平面平面与平面所成的角为，且，两点在平面的同一侧，，则 ． 【答案】 【分析】过点作平面，由线面角定义可知，则， 进一步可得.由图可得，再利用模长的定义求值即可. 【详解】由平面，平面， 可知， 过点作平面，为垂足，连接， 则为与所成的角， 即， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以，所以. 又， 所以 ， 因为， 所以 ， 故 ， 所以，即的长为. 故答案为：. 6．（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 7．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【答案】 【分析】由正方体的外接球的半径求出正方体的棱长，根据公式计算体积即可；将化简为，结合的范围即可求解． 【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，． 8．（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直. （2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围. 【详解】（1）如图：取中点，中点，连接， 则，. 因为，， 所以三点共线. 又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值. 又，所以. （2）易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 学科网（北京）股份有限公司 $$