精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年上学期九年级数学11月测试卷

广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年上学期九年级数学11月测试卷 （考试时间：90分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 5. 如图，与相切于点，，，则长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 6. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 7. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，线段是的直径，是的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，，则（ ） A. B. C. D. 9. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( ) A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 抛物线的顶点坐标是__________． 14. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为___________． 17. 如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1，则当y2＞y1时，x的取值范围是_____． 18. 在中，是斜边的中点，把绕点A顺时针旋转，得，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接，在旋转的过程中，面积的最大值______________ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 21. 如图，已知，，，A为斜边上一点． （1）求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DN，求证：． 22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 23. 如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 24. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： （1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值． 26. 已知，点A，B分别在射线上运动，． （1）如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： （2）如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： （3）如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年上学期九年级数学11月测试卷 （考试时间：90分钟满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：A.，原式计算错误； B. ，原式计算错误； C. ，计算正确； D. ，原式计算错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． 4. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义列出关于的方程，求出的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可． 【详解】解：∵数据的平均数是1， ∴， 解得， 则， ∴这组数据的众数是和5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念． 5. 如图，与相切于点，，，则长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， ， ． ， ． 故选：A． 6. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：，即． 故选：B． 7. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 8. 如图，线段是的直径，是的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据是的切线可得，进而求出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， 故选B． 9. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 12. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】（-1,-3） 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 14. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为， 又∵， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案． 【详解】解：如图，连接 是的中点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M， ∵，垂直平分线， ∴，即点M的横坐标为1， ∵，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴点M是的外心， ∵， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键． 17. 如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1，则当y2＞y1时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，求得直线在抛物线上方部分时的自变量的取值范围即可． 【详解】 y1与y2交点的横坐标分别是﹣2和1， 当y2＞y1时， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是解题的关键． 18. 在中，是斜边的中点，把绕点A顺时针旋转，得，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接，在旋转的过程中，面积的最大值______________ 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质得到，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可． 【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点， ∴， ∴，， ∴， 过点A作交的延长线于点G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时） ∴面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，勾股定理等等，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】-9 【解析】 【分析】根据乘法法则、二次根式的化简、负指数幂计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，已知，，，A为斜边上一点． （1）求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DN，求证：． 【答案】（1） 如图，四边形即为所作； （2） 证明：∵，， ∴ 由作图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握基本作图是解题的关键． （1）作射线，过O点作AO的垂线，然后以O为圆心,OA长为半径作弧交射线和AO的垂线于点C、B、D，然后依次连接即可得到正方形； （2）证明，得到，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改 （2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分 【解析】 【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可； （2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分； ∴客户所评分数的中位数为：(分) 由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分) ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． 【小问2详解】 设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有： 解得： ∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档， ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分， 即加入这个数据之后，中位数是4分． ∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键． 23. 如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可； （2）过作于，得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，则， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 24. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 … 竖直高度y/m … 请根据上述数据，解决问题： （1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，理由： 把代入得： ， ∵， ∴羽毛球能越过球网． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先求解抛物线的对称轴与顶点坐标，再设设抛物线的关系式为，再代入，即可得到答案； （2）把代入可得，再比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，当时，，当时，， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据表格中的数据可知，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为； 设抛物线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为． 【小问2详解】 略 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①． 试判断：的形状为________． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，连接，如图③． 求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，， 是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为， ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 26. 已知，点A，B分别在射线上运动，． （1）如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： （2）如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： （3）如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【答案】（1） 解：，证明如下： ，AB中点为D， ， 为的中点，， ， ， ； （2） （3） 解：如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶ 以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE， 由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大， ∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°， 又OC⊥AB于T， ∴TC=AT=BT=AB=3， ∵OC=OT+CT=OT+3， ∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大， ∴△AOB的面积最大， ∴∠BOT=∠AOB=22.5°， ∵OE= BE ， ∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ， 综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论； （2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果； （3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′=AB=6， OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $