第二十二章二次函数课时 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

初三数学第22章二次函数补充习题 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数 基础提优 1．下列是二次函数的是（　　）A．y＝2x+3 B．y＝3x2﹣3x（x+1） C．y＝（2x﹣3）（x+1） D．y＝ax2 2．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 3．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（　　） A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3 4．下列函数中（x，t是自变量），是二次函数的有（　　）个 ①y＝﹣5x2+3；②y＝x2﹣x3+25；③y＝22+2x；④s＝1+t+5t2 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m为全体实数 6．二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是　 　． 7．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　　，一次项系数b＝　　，常数项c＝　　． 8．若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　　0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 9．某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为y＝3x+x2．则汽车行驶60s的路程为 ． 10．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是 11．已知函数y＝2（x﹣6）（x+1）． （1）分别求出当x＝﹣2和x＝7时，函数y的值； （2）当y＝0时，求自变量x的取值． 12．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 拓展提优 1．下列函数中，是二次函数的有（　　） （1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　） A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝ 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（　　）A．y＝x2+ B．y＝x2+ C．y＝x2+2 D．y＝x2+2 4．已知方程ax2+bx+cy＝0（a，b，c是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为　　 ，成立的条件是　 　，是　 　函数． 5. 直角三角形的一条直角边长为xcm，两条直角边的和为7cm，面积为ycm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数． 6．已知函数y＝（m2﹣1）x2﹣（m2﹣2m﹣3）x﹣m﹣1，当m为何值时，y是x的二次函数？当m为何值时，y是x的一次函数？ 第2课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0） 2．下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1 3．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（　　） A．该抛物线的开口向上 B．顶点坐标是（0，0） C．对称轴是x＝﹣ D．当x＜0时，y随x的增大而减小 4．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2 6．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 7．抛物线y＝﹣x2的开口向　　，对称轴是 　，顶点坐标　 　． 8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　 　． 9．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y＝（2a2﹣1）x2与y＝ax2．若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为　　． 10．若y＝（1﹣m）x是二次函数，且图象开口向上，则m的值为 11．画出函数y＝﹣x2的图象，并回答下列问题 解：（1）列表（请完成下面填空）： x …… ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 2 …… y …… 　　 　　 ﹣0.25 0 ﹣0.25 ﹣1 ﹣4 …… （2）描点，连线； （3）从函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而　 　．（填：增大或减小） 12．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积． 拓展提优 1. 同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　） A．B．C． D． 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是　　． 3．如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长　　． 4．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…△A2021B2022A2023，都为等边三角形，则△A2021B2022A2023的边长＝　　． 5.已知四个点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣3，1），C（﹣1，1），D（﹣2，2），若抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，求a的取值范围． 6．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使y1＜y2的x的取值范围 为　 　． 第3课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝﹣ x2+1 C．y＝x2+3 D．y＝﹣x2﹣5 3．下列关于抛物线y＝﹣x2+2的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为（﹣1，2） C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 4．已知函数y＝，当y＝5时，x的值是（　　） A．6 B．﹣ C．﹣或6 D．±或6 5．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6. 把抛物线y＝x2+6向下平移3个单位，得到抛物线　　． 7. 已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是　　． 8. 如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是　　． 9. 已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1　　y2（填“＜”、“＝”或“＞”） 10．如图，抛物线y＝ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B、C，则线段BC的长为　　． 11．在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 12．已知二次函数y＝ax2+1的图象过点（﹣2，﹣3）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上； （3）求出抛物线上纵坐标为﹣15的点的坐标． 拓展提优 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（　　） A．B．C． D． 2．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x＝3时，y的取值范围为（　　） A．≤y≤12 B．≤y≤10 C．≤y≤9 D．1≤y≤9 3.抛物线y＝2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，y＝　 　． 4．在平面直角坐标系中，两点P（x，y）、Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝﹣x2+16，其中﹣5≤x≤a时，可控点Q（x，y′）满足﹣16≤y′＜16，则a的取值范围是　 　． 5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）求抛物线的对称轴； （2）求点B坐标（用含a的式子表示）； （3）已知点P（1，），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 6．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”． 已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1． （1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法； （2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标； （3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标． 第4课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（　　） A．直线y＝﹣1 B．直线y＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 2．顶点是（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象相同的抛物线为（　　） A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2 3．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2 4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小 5．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x﹣1与y＝﹣的图象大致是（　　） A．B．C． D． 6．已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而　 　． 7．函数y＝﹣3（x+2）2的开口　　，对称轴是　　，顶点坐标为　 　． 8．下列函数：①y＝3x2；②y＝﹣3（x+3）2；③y＝﹣3x2﹣1；④y＝﹣2x2+5；⑤y＝﹣（x﹣1）2，其中函数图象形状、开口方向相同的是　　． 9.抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为　　． 10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2的形状与抛物线y＝﹣2x2的形状相同，且顶点坐标为 （﹣2，0），则a+h＝　 　． 11．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值． 12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2的图象经过点B（0，﹣1），它与函数y＝﹣x的图象交于点A（m，﹣4）．求这个二次函数的解析式． 拓展提优 1．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数y＝，在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是　 　． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B，抛物线y＝a（x﹣2）2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C、D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积 为　 　（用含a的代数式表示）． 4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，2）、（，2），连结AB，若函数y＝（x﹣h）2与线段AB有交点，则h的取值范围是　　 ． 5.已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值． 6．已知抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点是C（﹣3，0）与y轴交于点A（0，1）． （1）求抛物线的表达式并画出图象； （2）若O（0，0），在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点Q、O、A为顶点的△QOA是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第5课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2） 2．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 3．若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（　　）A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 4．已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2 5．对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时，y随x的增大而增大 6．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的对称轴是　 　． 7.要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向　　平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度． 8.已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，2）．则此抛物线的函数解析式 是 9．点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝　　． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为　　． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx顶点坐标为（2，4），图象交x轴正半轴于点A． （1）求二次函数的表达式和点A的坐标． （2）点P是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内．将点P向左平移2n（n＞0）个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，若△OAQ的面积为6n，求n的值． 12．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展提优 1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 2．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3.若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为　　． 4.如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD﹣DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为（﹣2，8），（8，8），（8，2），若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为　　． 5．已知，点P为二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣2m+1图象的顶点，直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B． （1）若二次函数图象经过点B，求二次函数的解析式； （2）如图，若点A坐标为（﹣4，0），且点P在△AOB内部（不包含边界）． ①求m的取值范围； ②若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小． 6．已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上． （1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式． （2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小． （3）求证：m+n＞． 第6课时 二次函数的图象和性质（一） 基础提优 1．点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上，则2a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数y＝﹣x2的图象经过两次平移得到函数y＝﹣x2+4x﹣5的图象，则下列平移正确的是（　　）A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 C．先向上平移1个单位，再向右平移2个单位 D．先向下平移1个单位，再向右平移2个单位 3．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜2 B．m＝2 C．m≤2 D．m≥2 4．已知二次函数y＝x2+2x+4，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是2 D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1 5．无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（　　） A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上 C．在x轴上 D．在y轴上 6．函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是　 ，有最　 　值． 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　． 8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与直线y＝4的两个交点，若点P的坐标为（5，4），则点Q的坐标为　　 ． 9．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　　． 10．将抛物线y＝x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），则平移后的抛物线解析式为　 　． 11．根据下列条件求二次函数的解析式 （1）抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）． （2）已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2， 12.抛物线与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若﹣4≤x≤1，求y2﹣y1的最大值与最小值． 拓展提优 1．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定 2．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（　　）A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣ 3．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．下列结论一定正确的有　 　（填序号即可）．①a+b+c＝5；②b＝；③3a﹣2b+3c＝1； ④若a＜0，则a﹣b+3c＞﹣1． 4.已知函数y＝x2+bx+2b（b为常数）图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为　 　． 5.设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3． （1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式． （2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标． （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）． 6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2px+q． （1）当p＝2时， ①抛物线的顶点坐标横坐标为　　，纵坐标为　　（用含q的式子表示）； ②若点A（﹣1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，令x2＝m，则m的取值范围是　 　； （2）已知点M（3，2），将点M向左平移5个单位长度，得到点N．当q＝6时，若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求p的取值范围为　　 ． 第7课时 二次函数的图象和性质（二） 基础提优 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．a﹣b+c＞0 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（　　） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 4．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣1 6．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　　． 7．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　 　． 8.二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　　． 9.抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n）给出下列结论：①b＝2；②函数最小值为c﹣1；③当x＝2时，y＝c；④c＞n．其中正确的有　　．（填序号） 10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中说法正确 的　 　（填写序号）． 11．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．（1）求抛物线的解析式； （2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点， 求△ABC面积的最大值． 12．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上． ①当m＝﹣2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 拓展提优 1．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（　　） A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0 B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0 C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0 2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0： ④若（﹣，y1），（，y2）都在抛物线上，则y1＜y2； ⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（　　）A．①②④⑤ B．③④ C．①③ D．①②⑤ 3.已知实数a，b满足b2﹣a＝3，则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为　　． 4．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D． （1）若AD＝BC，求a的值； （2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值． 6．如图1，如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线，如图2，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）． （1）求出抛物线L1的函数表达式； （2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式． 第8课时 二次函数与一元二次方程（一） 基础提优 1．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点到x轴的距离是2 C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝﹣1 2.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0） 3．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2022的值为（　　）A．2020 B．2020 C．2022 D．2023 4.当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（　　） A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0） 5.若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4 C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3 6．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是　 　． 7.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　　． 8．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　 　． 9. 抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且通过点（2，8），此二次函数的解析式为　 　． 10．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是　　． 11．已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）． （1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值． 12．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值． 拓展提优 1.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，随着x的增大而减小．下列结论：①a﹣b+c＝0； ②若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2： ③a（m﹣1）+b＝0；④若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 3.已知二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点，（A点在B点左侧）C为二次函数上一点且横坐标为1，已知△ABC的面积为，则a的值为　　． 4．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是　 　． 5.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴只有一个公共点． （1）试用含a的式子表示b和c； （2）若（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，y2＜y1，求x1的取值范围； （3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p≤x≤q时，新抛物线对应的函数有最小值2p，最大值2q，求p﹣q的值． 第9课时 二次函数与一元二次方程（二） 基础提优 1．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　）A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 2．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 3．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 4.已知二次函数y＝x2+（2m+2）x+m2+2m﹣3，当﹣3＜m＜1时，则下列结论正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴无交点 B．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴左侧 C．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴右侧 D．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴两侧 5．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根 6．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是　 　． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 7.如图所示的抛物线：当x＝　 　时，y＝0；当x＜﹣2或x＞0时，y　 　0；当x在　 　范围内时，y＞0； 8.在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法： 甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2 乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2 丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2 丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2 你认为解法正确的同学有　　． 9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　 　． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根x1，x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞﹣；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则a+b＝5．其中，正确结论的序号是 11. 可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围： 利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间． （1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 12.抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，与y轴交点坐标； （3）画出这条抛物线； （4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0，y＜0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 拓展提优 1．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　） A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b 2．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6 3．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根，则m的取值范围为 4. 如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　． 5．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m … 其中，m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程 ﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为　 　． 第10课时 实际问题与二次函数（一） 基础提优 1．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　） A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝ 3．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（　　） A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6） 4．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　） A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m 5．一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE． 若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（　　）A．y＝2x B．y＝2x+1 C．y＝x（4﹣x） D．y＝x（4﹣x） 6．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围　 　． 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从B点开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，那么△PBQ的面积S随时间t的函数关系式是　 　 （写出t的取值范围） 8．如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以6km/的速度朝正北方向行驶，B船以8km/h的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近 是　 　km． 9．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝　 米　． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式　 ． 11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 12．小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5． （1）求铅球的落点与小明的距离； （2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？ 拓展提优 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m； ②小球运动的时间为6s；③小球抛出3秒时，速度为0； ④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（　　）A．①④ B．①② C．②③④ D．②④ 2．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有　 　（填序号） （1）abc＜0；（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的； （3）2≤a+b+c≤4.5；（4）最大飞行高度不超过4． 3．用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3． （1）求W与x的函数关系式． （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄． ①求Q与x的函数关系式； ②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围] 第11课时 实际问题与二次函数（二） 基础提优 1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　） A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元 2．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝72（1﹣x） B．y＝36（1﹣x） C．y＝36（1﹣x2） D．y＝36（1﹣x）2 3．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝﹣（x﹣60）2+1825 B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850 C．y＝﹣（x﹣65）2+1900 D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000 4．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　） A．y＝﹣（x﹣13）2+59.9 B．y＝﹣0.1x2+2.6x+31 C．y＝0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y＝﹣0.1x2+2.6x+43 5．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　） A．180 B．220 C．190 D．200 6．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　 　． 7．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元∕件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是　 　． 8．天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝ax2+bx﹣1600，当销售价为22元/千克时，每天的销售利润为72元，当销售价为26元/千克时，每天的销售利润为168元，则该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是　　． 9．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件，设销售价为每件x元（50≤x≤60），月销量为y件，月销售利润为w元． （1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式； （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 12．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表： 品种 每棵售价（万元） 每棵成本（万元） 每年其他费用（万元） 预测每年最大销量（棵）　x　 甲 12 a 20 160 乙 20 12 60﹣2x+0.05x2 80 其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元． （1）直接写出y1与x的函数关系式为　 　．y2与x的函数关系式为　 　． （2）分别求出销售这两个品种的最大年利润． （3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由． 拓展提优 1．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　） A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间 2．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　 　，此时每千克的收益是 　 ． 3．某公司计划投资A、B两种产品，若只投资A产品，所获得利润WA（万元）与投资金额x（万元）之间的关系如图所示，若只投资B产品，所获得利润WB（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为WB＝﹣x2+nx+300． （1）求WA与x之间的函数关系式； （2）若投资A产品所获得利润的最大值比投资B产品所获得利润的最大值少140万元，求n的值； （3）该公司筹集50万元资金，同时投资A、B两种产品，设投资B产品的资金为a万元，所获得的总利润记作Q万元，若a≥30时，Q随a的增大而减少，求n的取值范围． 第12课时 实际问题与二次函数（三） 基础提优 1．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　） A．18° B．37° C．54° D．58° 3．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　） A．11℃ B．27℃ C．35℃ D．36℃ 4．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）分钟． A.18 B.20 C.24 D.28 5.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为　　． 6．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是　 　米． 7．小迪同学以二次函数y＝2x2+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为　 　． 8．某工厂上班高峰期员工到达单位的累积人数y随时间x的变化情况如图所示，已知前10分钟，y可看作是x的二次函数，并在10分钟时，累计到达人数为最大值500人，10分钟之后员工全部到岗，累计人数不变．回答下列问题． （1）求出0﹣10分钟内，y与x之间的函数解析式． （2）受新型冠状病毒影响，员工在进入单位大门时都应该配合监测体温．如果员工一到达工厂大门就开始接受体温测量，工厂大门口有体温检测岗位2个，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，问：工厂门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人？ （3）在（1）（2）的前提下，员工检测体温到第5分钟时，为提高通过效率，减缓拥堵情况，如果要在接下来的10分钟内让全部到达等待的员工都能完成体温检测，问：此时需至少增设几个体温检测岗位？ 拓展提优 1．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上． （1）这种升降平台设计原理利用了四边形的　 　性质； （2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为　 　． 2．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为　　cm． 3．如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米． （1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是　　． （2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是多少． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数 基础提优 1．下列是二次函数的是（　　） A．y＝2x+3 B．y＝3x2﹣3x（x+1） C．y＝（2x﹣3）（x+1） D．y＝ax2 【解答】解：A、y＝2x+3是一次函数，故此选项不合题意； B、y＝3x2﹣3x（x+1）＝﹣3x是正比例函数，故此选项不合题意； C、y＝（2x﹣3）（x+1）＝2x2﹣x﹣3是二次函数，故此选项符合题意； D、当a＝0时，y＝ax3＝0不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【解答】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误； B、关系式为t＝，故错误； C、关系式为：C＝3a，故C错误； D、S＝πR2，故D正确． 故选：D． 3．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（　　） A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3 【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3， 故选：A． 4．下列函数中（x，t是自变量），是二次函数的有（　　）个 ①y＝﹣5x2+3；②y＝x2﹣x3+25；③y＝22+2x；④s＝1+t+5t2 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①y＝﹣5x2+3；④s＝1+t+5t2是二次函数，共2个，故选：B． 5．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m为全体实数 【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，解得m≠2，且m＝±2， ∴m＝﹣2．故选：C． 6．二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是　﹣6　． 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝1﹣4﹣3＝﹣6，故答案为：﹣6． 7．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　3　，一次项系数b＝　﹣5　，常数项c＝　1　． 【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1． 8．若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　＜　0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1， ∴a＝4，b＝﹣4，c＝2， ∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0， 故答案为＜． 9．某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为y＝3x+x2．则汽车行驶60s的路程为 ． 【解答】解：当x＝60时，y＝3×60+×602＝1980． 10．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是 【解答】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2． 11．已知函数y＝2（x﹣6）（x+1）． （1）分别求出当x＝﹣2和x＝7时，函数y的值； （2）当y＝0时，求自变量x的取值． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝2（﹣2﹣6）（﹣2+1）＝16； 当x＝7时，y＝2（7﹣6）（7+1）＝16． （2）当y＝0时，2（x﹣6）（x+1）＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1． 12．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数； （2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数； （3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数． 【解答】解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p＝m（m﹣5）＝m2﹣5m，是二次函数； （2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S＝100π﹣4x2，是二次函数； （3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S＝（60﹣2a）（40﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，是二次函数． 拓展提优 1．下列函数中，是二次函数的有（　　） （1）y＝3x2++1；（2）y＝+5；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2；（4）y＝1+x﹣； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）y＝3x2++1，右边有分式，不是二次函数； （2）y＝+5是二次函数；（3）y＝（x﹣3）2﹣x2＝﹣6x+9，不是二次函数； （4）y＝1+x﹣是二次函数．故是二次函数的有2个．故选：B． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　） A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝ 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝x2+ B．y＝x2+ C．y＝x2+2 D．y＝x2+2 【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP， ∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，∵BD＝DE＝y， ∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH， ∴y2＝（5﹣y）2+，∴y＝x2+，故选：A． 4．已知方程ax2+bx+cy＝0（a，b，c是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为　y＝﹣x2﹣x　，成立的条件是　a≠0且c≠0　，是　二次　函数． 【解答】解：由ax2+bx+cy＝0得，y＝﹣x2﹣x， 当a≠0且c≠0时，是二次函数， 故答案为：y＝﹣x2﹣x；a≠0且c≠0；二次． 5. 直角三角形的一条直角边长为xcm，两条直角边的和为7cm，面积为ycm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数． 【解答】解：由题意得：y＝x（7﹣x），∵两条直角边的和为7cm，∴0＜x＜7． 这个函数是二次函数． 6．已知函数y＝（m2﹣1）x2﹣（m2﹣2m﹣3）x﹣m﹣1，当m为何值时，y是x的二次函数？当m为何值时，y是x的一次函数？ 【解答】解：当m2﹣1≠0时，即m≠±1时，y＝（m2﹣1）x2﹣（m2﹣2m﹣3）x﹣m﹣1是二次函数； 当时，即m＝1时，y＝（m2﹣1）x2﹣（m2﹣2m﹣3）x﹣m﹣1是一次函数． 第2课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0） 【解答】解：∵y＝2x2，∴顶点坐标为（0，0），故选：D． 2．下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1 【解答】解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意； 函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意； 函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意； 函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：B． 3．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（　　） A．该抛物线的开口向上 B．顶点坐标是（0，0） C．对称轴是x＝﹣ D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【解答】解：A、∵a＝﹣＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意； B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意； C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意； D、∵a＝﹣＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意，故选：B． 4．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误； 当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确； ∴两函数图象可能是①②， 故选：C． 5．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2 【解答】解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点， ∴m+1＜0，即m＜﹣1．故选：A． 6．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　＞　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0， 故答案为：＞． 7．抛物线y＝﹣x2的开口向　下　，对称轴　是直线x＝0　，顶点坐标　（0，0）　． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2中a＝﹣＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）， 故答案为：下，直线x＝0，（0，0）． 8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　 　． 【解答】解：∵函数y＝x2与y＝﹣x2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8．故答案为8． 9．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y＝（2a2﹣1）x2与y＝ax2．若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为　　． 【解答】解：由图象可知，根据题意2a＝2a2﹣1，解得a＝， ∵抛物线开口向上，∴a＝，故答案为． 10．若y＝（1﹣m）x是二次函数，且图象开口向上，则m的值为（　　） A．m＝±2 B．0 C．m＝﹣2 D．m＝2 【解答】解：∵已知函数为二次函数，∴m2﹣2＝2， 解得m＝﹣2或2，当m＝﹣2时，1﹣m＝3＞0，二次函数图象开口向上，符合题意， 当m＝2时，1﹣m＝﹣1＜0，二次函数图象开口向下，不符合题意， 故选：C． 11．画出函数y＝﹣x2的图象，并回答下列问题 解：（1）列表（请完成下面填空）： x …… ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 2 …… y …… 　﹣4　 　﹣1　 ﹣0.25 0 ﹣0.25 ﹣1 ﹣4 …… （2）描点，连线； （3）从函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而　增大　．（填：增大或减小） 【解答】解：（1）把x＝﹣1，x＝﹣2代入解析式得：y＝﹣1； 把x＝﹣2代入解析式得：y＝﹣4，故答案为﹣1，﹣4； （2）描点，连线； （3）由图可知，当x＜0时，y随着x的增大而增大， 故答案为：增大． 12．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1， ∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2， ∴令x＝0，得y＝﹣2， ∴G（0，﹣2）， ∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2， 由一次函数与二次函数联立可得，解得，， ∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3． 拓展提优 1. 同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a＜0，∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下； 一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；故选：B． 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是　　． 【解答】解：把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1； 把B（3，1）代入y＝ax2得a＝，所以a的取值范围为≤a≤1． 故答案为≤a≤1． 3．如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长　2　． 【解答】解：过点B作BN⊥x轴于N，如图所示： 由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°，∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为（n，n），∵点B在抛物线y＝x2上，∴n2＝n， ∴n＝1或n＝0（不合题意，舍去），∴点B坐标为（1，1），∴点A坐标为（﹣1，1）， ∴AB＝2．故答案为：2． 4．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…△A2021B2022A2023，都为等边三角形， 则△A2021B2022A2023的边长＝　2023　． 【解答】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C， 设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c， 在正△A0B1A1中，B1（a，）， 代入y＝x2中，得 ＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1， 在正△A1B2A2中，B2（b，1+）， 代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2， 在正△A2B3A3中，B3（c，3+）， 代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3， 由此可得△A2021B2022A2023的边长＝2023．故答案为：2023． 5.已知四个点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣3，1），C（﹣1，1），D（﹣2，2），若抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，求a的取值范围． 【解答】解：把C（﹣1，1）代入y＝ax2得a＝1， 把B（﹣3，1）代入y＝ax2得a＝， 把A（﹣4，2）代入y＝ax2得a＝， 如图，若抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜或a＜0， 故答案为a＞1或0＜a＜或a＜0． 6．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使y1＜y2的x的取值范围为　x＜﹣1或x＞2　． 【解答】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2＝ax2上， ∴4＝a×22，∴a＝1，则二次函数的解析式为：y2＝x2， 又A（﹣1，n）在二次函数y2＝x2上，∴n＝（﹣1）2，∴n＝1，则A（﹣1，1）， 又A、B两点在一次函数y1＝kx+b上，∴，解得：， 则一次函数y1＝x+2， 答：一次函数的解析式为：y1＝x+2，二次函数的解析式为：y2＝x2； （2）根据图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2． 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 第3课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 【解答】解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．故选：D． 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝﹣ x2+1 C．y＝x2+3 D．y＝﹣x2﹣5 【解答】解：二次函数的开口方向一定向上，则a＞0，故选：C． 3．下列关于抛物线y＝﹣x2+2的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为（﹣1，2） C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 【解答】解：∵y＝﹣x2+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、C都不正确，D正确， 故选：D． 4．已知函数y＝，当y＝5时，x的值是（　　） A．6 B．﹣ C．﹣或6 D．±或6 【解答】解：∵函数y＝， ∴当x≤2时，x2﹣1＝5，得x1＝﹣，x2＝（舍去）， 当x＞2时，x﹣1＝5，得x＝6，故当y＝5时，x的值是或6，故选：C． 5．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误； A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确； 故选：B． 6. 把抛物线y＝x2+6向下平移3个单位，得到抛物线　　． 【解答】解：抛物线y＝x2+6向下平移3个单位，得到抛物线为y＝x2+6﹣3，即y＝x2+3． 故答案为：y＝x2+3． 7. 已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是　　． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2． 8. 如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是　　． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1． 9. 已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1　　y2（填“＜”、“＝”或“＞”） 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上， ∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜． 10．如图，抛物线y＝ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B、C，则线段BC的长为　1　． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+1与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，1）． 当y＝1时，4x2＝1，解得x＝±，∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1）， ∴BC＝﹣（﹣）＝1，故答案为：1． 11．在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【解答】解：如图： ， （1）y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴， y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y＝x2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大； y＝﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 12．已知二次函数y＝ax2+1的图象过点（﹣2，﹣3）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上； （3）求出抛物线上纵坐标为﹣15的点的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+1的图象过点（﹣2，﹣3）， ∴4a+1＝﹣3，∴a＝﹣1，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+1； （2）把点（﹣1，﹣）代入函数解析式y＝﹣x2+1， y＝﹣1+1＝0，∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上； （3）当y＝﹣15时，﹣15＝﹣x2+1，解得：x＝±4， ∴抛物线上纵坐标为﹣15的点的坐标为（4，﹣15），（﹣4，﹣15）． 拓展提优 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误； B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误； C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确； D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误； 故选：C． 2．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x＝3时，y的取值范围为（　　） A．≤y≤12 B．≤y≤10 C．≤y≤9 D．1≤y≤9 【解答】解：由x＝1时，﹣4≤y≤﹣2得，﹣4≤a+c≤﹣2…① 由x＝2时，﹣1≤y≤2得，﹣1≤4a+c≤2…② x＝3时，y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c） 得 ，解得，故 ≤﹣（a+c）≤， ﹣≤（4a+c）≤，∴≤y≤12．故选：A． 3.抛物线y＝2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，y＝　 　． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2， ∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y＝2x2+3的对称轴对称． ∵对称轴为直线x＝0，∴x1+x2＝2×0＝0，将x＝0代入，得y＝2×02+3＝3． 故答案为3． 4．在平面直角坐标系中，两点P（x，y）、Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝﹣x2+16，其中﹣5≤x≤a时，可控点Q（x，y′）满足﹣16≤y′＜16，则a的取值范围是　0≤a＜4　． 【解答】解：根据题意若P（x，y）满足y＝﹣x2+16，则y′＝， ∵﹣5≤x≤a时，可控点Q（x，y′）满足﹣16≤y′＜16， ∴函数y＝﹣x2+16在0≤x≤a的最大值为16，最小值为﹣16， ∴﹣x2+16＝﹣16， ∴x＝4， ∴当x＝0时函数y＝﹣x2+16有最大值16，当x＝4时函数y＝﹣x2+16有最小值﹣16， 函数y＝x2﹣16在﹣5＜x≤0的最大值为3，最小值为﹣16， ∵﹣5≤x≤a时，可控点Q（x，y′）满足﹣16≤y′＜16， ∴实数a的取值范围0≤a＜4， 故答案为0≤a＜4． 5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）求抛物线的对称轴； （2）求点B坐标（用含a的式子表示）； （3）已知点P（1，），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为x＝0； （2）∵抛物线y＝ax2﹣与y轴交于点A，∴A（0，﹣）， ∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，）； （3）当a＞0时， 如图1：抛物线经过点P时，a﹣＝，解得a＝或a＝﹣（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a﹣＝0，解得a＝或a＝﹣（舍去）； ∴≤a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 当a＜0时，如图2：抛物线经过点P时，a﹣＝， 解得a＝﹣或a＝（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a﹣＝0，解得a＝﹣或a＝（舍去）； ∴﹣≤a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 综上所述：≤a≤或﹣≤a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点． 6．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”． 已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1． （1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法； （2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标； （3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标． 【解答】解：（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2， 如图： （2）由题意，得点A（x，y）的“关联点”为A1（x，y﹣x）， 由点A（x，y）在抛物线y＝x2上，可得A（x，x2）， ∴，又∵A1（x，y﹣x）在抛物线y＝x2﹣2上， ∴x2﹣x＝x2﹣2，解得x＝2． 将x＝2代入，得A1（2，2）； （3）点A（x，y）的“待定关联点”为， ∵在抛物线y＝x2﹣n的图象上，∴x2﹣nx＝x2﹣n， ∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，当x＝1时，x2﹣nx＝1﹣n， 故可得A2（1，1﹣n）． 第4课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（　　） A．直线y＝﹣1 B．直线y＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 【解答】解：抛物线y＝（x+1）2的对称轴是直线 x＝﹣1，故选：C． 2．顶点是（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象相同的抛物线为（　　） A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2 【解答】解：y＝（x﹣3）2的顶点为（3，0），故选项A不符合题意； y＝（x+3）2的顶点为的顶点为（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象相同，故选项B符合题意； y＝﹣（x+3）2的顶点为的顶点为（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象不相同，故选项C不符合题意； y＝﹣（x﹣3）2的顶点为（﹣3，0），故选项D不符合题意；故选：B． 3．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2 【解答】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝3（x﹣1）2满足条件．故选：B． 4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣3 C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大， 故A、B、C正确，D不正确，故选：D． 5．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x﹣1与y＝﹣的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y＝﹣x﹣1的图象过第二、三、四象限，y＝﹣（x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，0），∴同时符合条件的图象只有选项A．故选A． 6．已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而　增大　． 【解答】解：∵y＝2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣2， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 7．函数y＝﹣3（x+2）2的开口　向下　，对称轴是　直线x＝﹣2　，顶点坐标为　（﹣2，0）　． 【解答】解：函数y＝﹣3（x+2）2的开口向下，对称轴是直线x＝﹣2， 顶点坐标是（﹣2，0），故答案为：向下，直线x＝﹣2，（﹣2，0）． 8．下列函数：①y＝3x2；②y＝﹣3（x+3）2；③y＝﹣3x2﹣1；④y＝﹣2x2+5；⑤y＝﹣（x﹣1）2，其中函数图象形状、开口方向相同的是　②③　． 【解答】解：∵②y＝﹣3（x+3）2，③y＝﹣3x2﹣1中二次项的系数均为﹣3， ∴②③的函数图象形状、开口方向相同， 故答案为：②③． 9.抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为　　． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为：．故答案为：． 10．已知抛物线y＝a（x﹣h）2的形状与抛物线y＝﹣2x2的形状相同，且顶点坐标为（﹣2，0），则a+h＝　0或﹣4　． 【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），可设此抛物线的解析式为y＝a（x+2）2（a≠0），h＝﹣2，由于抛物线和y＝﹣2x2的图象形状相同，因此a＝±2，所以a+h＝0或﹣4．故答案为0或﹣4． 11．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值． 【解答】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，﹣1）， 将x＝0，y＝﹣1代入抛物线解析式得：a＝﹣1， 则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2＝﹣x2﹣2x﹣1； （2）过C作CD⊥x轴， 将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b＝﹣4，即C（﹣3，﹣4）， 则S△ABC＝S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB＝×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1＝3． 12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2的图象经过点B（0，﹣1），它与函数y＝﹣x的图象交于点A（m，﹣4）．求这个二次函数的解析式． 【解答】解：把点A（m，﹣4）代入y＝﹣x，得﹣4＝﹣m，解得m＝4，则A（4，﹣4）， 把A（4，﹣4）、B（0，﹣1）代入y＝a（x﹣h）2， 得，解得，或， 所以这个二次函数的解析式为y＝﹣（x+4）2或y＝﹣（x﹣）2． 拓展提优 1．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵直线y＝ax+h经过第一、二、四象限，∴a＜0，h＞0， ∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向下，对称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0）， ∴该选项图象符合题意； B、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0， ∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0）， ∴该选项图象符合题意； C、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0， ∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0）， ∴该选项图象不符合题意； D、∵直线y＝ax+h经过第一、三、四象限，∴a＞0，h＜0， ∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的左侧，顶点为（h，0）， ∴该选项图象符合题意； 故选：C． 2．已知函数y＝，在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是　1≤m≤3　． 【解答】解：画出函数y＝的图象如图： 在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是 1≤m≤3，故答案为1≤m≤3． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B，抛物线y＝a（x﹣2）2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C、D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为　　（用含a的代数式表示）． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B， ∴BD＝BC＝2，∴DC＝4，∵y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，∴E（0，4a）， ∴S四边形ACED＝S△ACD+S△CDE＝×DC•OE＝＝8a， 故答案为8a． 4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，2）、（，2），连结AB，若函数y＝（x﹣h）2与线段AB有交点，则h的取值范围是　　． 【解答】解：∵函数y＝（x﹣h）2，∴对称轴为x＝h， 当h＜﹣时，点（﹣，2）在函数图象上，则有2＝（﹣﹣h）2， 解得h＝﹣或h＝（舍）， 当h＞时，点（，2）在函数图象上，则有则有2＝（﹣h）2， 解得h＝（舍）或h＝，∴﹣≤h≤时函数与线段AB有交点， 故答案为﹣≤h≤． 5.已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值． 【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4，可得：（﹣1﹣h）2＝4， 解得：h＝﹣3或h＝1（舍）； ②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4， 可得：（3﹣h）2＝4，解得：h＝5或h＝1（舍）； ③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣3或5， 6．已知抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点是C（﹣3，0）与y轴交于点A（0，1）． （1）求抛物线的表达式并画出图象； （2）若O（0，0），在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点Q、O、A为顶点的△QOA是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点C（﹣3，0）， ∴h＝﹣3． 又∵抛物线y＝a（x﹣h）2与y轴交于A（0，1）， ∴a（0+3）2＝1，解得：a＝， ∴此抛物线的解析式为y＝（x+3）2＝x2+x+1． 找出函数图象上五点的坐标，画出函数图象如图1所示． （2）∵OC＝3，OA＝1， ∴△AQO为直角三角形只有两种情况（如图2所示）： ①当∠OAQ1＝90°时， ∵抛物线的对称轴为x＝3，点A的坐标为（0，1），线段OA在y轴上， ∴AQ1∥x轴， ∴点Q1的坐标为（3，1）； ②当∠AOQ2＝90°时， ∵抛物线的对称轴为x＝3，点O的坐标为（0，0），线段OA在y轴上， ∴AQ2∥x轴， ∴点Q2的坐标为（3，0）． 综上所述：在此抛物线的对称轴上存在一点Q（3，1）或（3，0），使以点Q、O、A为顶点的△AQO是直角三角形． 第5课时 二次函数的图象和性质 基础提优 1．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2） 【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，∴抛物线顶点坐标为（2，1），故选：A． 2．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　） A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3； 故选：D． 3．若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（　　） A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 【解答】解：抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1， 而A（1，y1）到直线x＝﹣1的距离比点B（2，y2）到直线x＝﹣1的距离小， 所以2＞y1＞y2．故选：A． 4．已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥﹣2 C．m＜﹣2 D．m≤﹣2 【解答】解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0，∴抛物线开口向上， ∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2， 故选：B． 5．对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时，y随x的增大而增大 【解答】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确； 函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确； 开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确； 当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：D． 6．抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1的对称轴是　x＝﹣2　． 【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1， ∴其对称轴为：x+2＝0，∴x＝﹣2，∴故答案为：x＝﹣2． 7.要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向　右　平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．故答案为右． 8.已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，2）．则此抛物线的函数解析式是 【解答】∵抛物线顶点坐标（2，﹣1），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， ∵抛物线经过点（﹣1，2），∴a（﹣1﹣2）2﹣1＝2，解得：a＝， 则该抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1； 9．点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝　3　． 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2+h可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3）， ∵B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上， ∴点B就是点A的对称点，∴k＝3，故答案为3． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为　　． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4， ∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1， ∴2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx顶点坐标为（2，4），图象交x轴正半轴于点A． （1）求二次函数的表达式和点A的坐标． （2）点P是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内．将点P向左平移2n（n＞0）个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，若△OAQ的面积为6n，求n的值． 【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 把（0，0）代入，得a＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+4， ∵对称轴是直线x＝2，（0，0），∴A（4，0）； （2）设Q（x，y），∵A（4，0），又∵×4y＝6n，∴y＝3n， ∵PQ＝2n，∴x＝2﹣n，∴﹣（2﹣n﹣2）2+4＝3n， 解得：n1＝1，n2＝﹣4（舍去），∴n的值为1． 12．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0， 解得m＝﹣1．所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1； 当x＝0时，y＝4﹣1＝3，所以C点坐标为（0，3）， 由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，所以B点坐标为（4，3）， 将A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得，解得． 所以一次函数解析式为y＝x﹣1； （2）存在，理由如下：∵S△ABP＝S△ABC， ∴C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，过C点作AB的平行线CD， ∴直线CD的解析式为y＝x+3或y＝x﹣5， 解得或， ∴P点坐标为（0，3）或（5，8）． 由x﹣5＝（x﹣2）2﹣1整理得，x2﹣5x+8＝0，∵△＝25﹣4×8＜0，∴不存在， 故P点坐标为（0，3）或（5，8）． 拓展提优 1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，∴h＝＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），∴a＞0，开口向上， ∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，∴y1＞y2， 故选：B． 2．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9）， ∵当7＜m＜8时，总有n＜1，∴a不可能大于0，则a＜0， ∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小， ∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称， ∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，∴，∴4a+9＝1，∴a＝﹣2， 故选：D． 3.若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为　　． 【解答】解：∵y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），∴抛物线的对称轴为x＝4． 又∵当2＜x＜3时，函数图象位于x轴的上方， ∴当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的上方． 又∵当6＜x＜7时，函数图象位于x轴的下方，∴当x＝6时，y＝0． ∴4a+4＝0．∴a＝﹣1．故答案为：﹣1． 4.如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD﹣DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为（﹣2，8），（8，8），（8，2），若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为　　． 【解答】解：由图可知，当点B的横坐标取得最小值0时，抛物线的顶点在点C处， 设此时抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+8，∵点B（0，0）在抛物线上， ∴0＝a（0+2）2+8，得a＝﹣2， 当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处， 此时抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣8）2+2＝﹣2（x﹣7）（x﹣9）， ∴此时与x轴的交点为（7，0），（9，0），∴此时点A的坐标为（7，0）， ∴点A的横坐标的最大值是7，故答案为：7． 5．已知，点P为二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣2m+1图象的顶点，直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B． （1）若二次函数图象经过点B，求二次函数的解析式； （2）如图，若点A坐标为（﹣4，0），且点P在△AOB内部（不包含边界）． ①求m的取值范围； ②若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小． 【解答】解 （1）∵直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B， ∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2），将B（0，2）代入二次函数得：﹣m2﹣2m+1＝2， 解得：m1＝m2＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3； （2）①将A（﹣4，0）代入y＝kx+2得：﹣4k+2＝0，∴． ∴一次函数的解析式为， ∵顶点P（m，﹣2m+1），点P在△AOB内部，∴， 解得：； ②∵二次函数开口朝下，对称轴为x＝m，， 又∵点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上， 点C和点D的横坐标中点为， ∴点C离对称轴比点D离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的函数值越小，∴y1＜y2． 6．已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上， 也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上． （1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式． （2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小． （3）求证：m+n＞． 【解答】解：（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k， ∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），∴它们均在函数y＝x的图象上； （2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，令y1＝y2， ∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，解得x＝， ∴它们图象的交点的橫坐标为，∵a＝1＞0，两图象开口向上， ∴当﹣3＜x≤时，y1＞y2，当x＝时，y1＝y2，当＜x＜3时，y1＜y2． （3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，∴，解得：，∵k2≥0， ∴m+n＝． 第6课时 二次函数的图象和性质（一） 基础提优 1．点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上，则2a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵点M（2，9）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上， ∴4a+2b+3＝9，∴2a+b＝3，故选：C． 2．若函数y＝﹣x2的图象经过两次平移得到函数y＝﹣x2+4x﹣5的图象，则下列平移正确的是（　　） A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 C．先向上平移1个单位，再向右平移2个单位 D．先向下平移1个单位，再向右平移2个单位 【解答】解：根据题意y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝﹣x2先向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到． 故选：D． 3．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＝2 C．m≤2 D．m≥2 【解答】解：二次函数y＝x2﹣mx+5的开口向上，对称轴是x＝， ∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴≤1，解得，m≤2，故选：C． 4．已知二次函数y＝x2+2x+4，下列说法正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是2 D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1 【解答】解：∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，3），当x＝﹣1时，y有最小值3，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， 故A、B、C说法错误；D说法正确； 故选：D． 5．无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（　　） A．在y＝x直线上 B．在y＝﹣x直线上 C．在x轴上 D．在y轴上 【解答】解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，∴顶点坐标是（﹣m，m）， ∴顶点在直线y＝﹣x上．故选：B． 6．函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是　直线x＝　，有最　小　值． 【解答】解：∵函数y＝2x2﹣3x+1可化为y＝2（x﹣）2﹣， ∴函数y＝2x2﹣3x+1的对称轴是直线x＝，有最小值，故答案为直线x＝，小． 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y2＞y3　． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， 而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近， ∴y1＞y2＞y3．故答案为y1＞y2＞y3． 8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与直线y＝4的两个交点，若点P的坐标为（5，4），则点Q的坐标为　　． 【解答】解：由点P，点Q是抛物线与直线y＝4的两个交点，点P的坐标为（5，4）， 可知点Q的纵坐标为4，∵抛物线的对称轴为x＝1 ∴点Q的横坐标为：1﹣（5﹣1）＝﹣3∴点Q的坐标为（﹣3，4） 故答案为：（﹣3，4）． 9．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　10　． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案为：10． 10．将抛物线y＝x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），则平移后的抛物线解析式为　y＝（x﹣5）2+2　． 【解答】解：y＝x2+ax＝x2+ax+（）2﹣（）2＝（x+）2﹣， ∵将抛物线y＝x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后得到抛物线 y＝（x+﹣4）2﹣+3，∴点（5，2），∴2＝（5+﹣4）2﹣+3， 解得：a＝﹣2，∴平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣5）2+2． 故答案为：y＝（x﹣5）2+2． 11．根据下列条件求二次函数的解析式 （1）抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）． （2）已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2， 【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）， ∴，解得：a＝﹣1，b＝﹣4，c＝0， 故此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x； （2）设y＝ax2+bx+c，则由条件得：，解之得 此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1 12.抛物线与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若﹣4≤x≤1，求y2﹣y1的最大值与最小值． 【解答】解：（1）∵直线y2＝﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3＝﹣2×2+m． ∴m＝1．∵直线y2＝﹣2x+m经过点A（﹣2，n），∴n＝4+1＝5； ∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，则，解得， ∴y1＝x2﹣2x﹣3； （2）y2﹣y1＝﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+4， y2﹣y1的最大值是4， 代入x＝﹣4得y2﹣y1＝﹣12，代入x＝1得y2﹣y1＝3， ∴若﹣4≤x≤1，y2﹣y1的最小值为﹣12． 拓展提优 1．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（m，n），B（﹣1，y1），C（2﹣m，n），D（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＝y1 D．无法确定 【解答】解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n），两点， ∴抛物线的对称轴为x＝＝1，∴B（﹣1，y1），D（3，y2）与对称轴的距离相等， ∴y1＝y2．故选：C． 2．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（　　）A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣ 【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣； ∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣； ∴﹣2≤m≤﹣．故选：C． 3．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．下列结论一定正确的有　①②④　（填序号即可）．①a+b+c＝5；②b＝；③3a﹣2b+3c＝1； ④若a＜0，则a﹣b+3c＞﹣1． 【解答】解：在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2． ∴a+b+c＝5，a﹣b+c＝﹣2，故①正确； 由题意得，两式相减得，2b＝7，解得，b＝，故②正确； 两式相加得，2a+2c＝3，∴a+c＝，∴3a+3c＝， ∴3a﹣2b+3c＝﹣2×＝﹣，故③错误； ∵3a+3c＝，∴3c＝﹣3a，b＝，∴a﹣b+3c＝a﹣+﹣3a＝1﹣2a， ∵a＜0，∴1﹣2a＞1，∴a﹣b+3c＞﹣1，故④正确； 故答案为①②④． 4.已知函数y＝x2+bx+2b（b为常数）图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为　b＝2或b＝6　． 【解答】解：y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣， 当b≤0时，函数不经过第三象限，则2b≥0，∴b＝0， 此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25；（舍去） 当b＞0时，函数不经过第三象限，则△≤0，∴b2﹣8b≤0，∴0＜b≤8， ∴﹣4≤﹣＜0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b， 当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b， 当﹣2＜﹣≤0时，函数有最大值25﹣3b； 函数的最大值与最小值之差为16， 当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4＜b≤8，∴b＝6； 当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18， ∵0＜b≤4，∴b＝2； 综上所述b＝2或b＝6， 5.设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3． （1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式． （2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标． （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3， ∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝3x2﹣3x﹣2； （2）∵2a+b＝3，∴二次函数y＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5， 整理得，y＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2 ∴当x＝1时，y＝﹣2， ∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，﹣2）； （3）∵y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，∴对称轴为x＝﹣， ∵x0＜1，且m＞n，∴当a＞0时，对称轴x＝﹣＞1﹣， 解得：x0＜1﹣，当a＜0时，对称轴x＝﹣＜1﹣， 解得：x0＞1﹣（不符合题意，故x0不存在） 故x0的取值范围为：x0＜1﹣． 6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2px+q． （1）当p＝2时， ①抛物线的顶点坐标横坐标为　2　，纵坐标为　q﹣4　（用含q的式子表示）； ②若点A（﹣1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，令x2＝m，则m的取值范围是　m＜﹣1或m＞5　； （2）已知点M（3，2），将点M向左平移5个单位长度，得到点N．当q＝6时，若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求p的取值范围为　p≤﹣2或p＝2或p＞　． 【解答】解：（1）①∵p＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+q＝（x﹣2）2+q﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（2，q﹣4），故答案为：2；q﹣4； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝2，点A（﹣1，y1）， ∴当x＝5时，y＝y1，∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点B（x2，y2），使得y2＞y1时，x2＜﹣1或x2＞5，即m的取值范围是m＜﹣1或m＞5．故答案为：m＜﹣1或m＞5； （2）∵点M（3，2），将点M向左平移5个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为（﹣2，2）．∵q＝6，∴抛物线为y＝x2﹣2px+6， 当抛物线经过点M（3，2）时，2＝32﹣6p+6，解得p＝； 当抛物线经过点N（﹣2，2）时，2＝（﹣2）2+4p+6，解得p＝﹣2； 当抛物线的顶点在线段PQ上时，6﹣p2＝2，解得p＝±2； 抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象求得p的取值范围为p≤﹣2或p＝2或p＞． 第7课时 二次函数的图象和性质（二） 基础提优 1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，故选：A． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．a﹣b+c＞0 【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A正确， ∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0；故B错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，故C正确； ∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故D正确； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（　　） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 【解答】解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4）． y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4）． 所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3）， 故选：B． 4．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，∴≥1， 即m≥2，∴+2m＞0，∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限， 故选：A． 5．已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣1 【解答】解：∵两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，∴若y1＞y2≥y0，则此函数开口向上，有最小值， ∴＜x0≤﹣1或x0≥﹣1，解得，x0＞﹣3 故选：C． 6．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　（﹣，﹣）　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点， ∴，解得：，∴y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣， ∴顶点坐标为（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）． 7．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　﹣5　． 【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2， ∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3， 则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5． 8.二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣4 2 4 2 … 则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是　　． 【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4， ∴抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y＜4，故答案为，﹣4＜y＜4． 9.抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n）给出下列结论：①b＝2；②函数最小值为c﹣1；③当x＝2时，y＝c；④c＞n．其中正确的有　　．（填序号） 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m）、B（4，m）， ∴﹣＝＝1，∴b＝﹣2，故①错误； ∴y＝x2﹣2x+c，把x＝1代入得，y＝c﹣1，∴函数最小值为c﹣1，故②正确； 把x＝2代入得，y＝4﹣4+c＝c，故③正确； ∵点C（5，n）在二次函数y＝x2﹣2x+c的图象上，∴n＝25﹣10+c， ∴n﹣c＝15，∴c＜n，故④错误； 故答案为②③． 10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中说法正确的　①②③　（填写序号）． 【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确； ∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等， ∴y1＝y2，所以③正确． ∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以④错误； 故答案为：①②③． 11．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），∴OA＝1，OB＝﹣a， ∵S△AOB＝．∴＝，解得，a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2； （2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），∴直线AB为y＝﹣x﹣1， 过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1）， ∴CD＝﹣（x+1）2+x+1， ∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝[﹣（x+1）2+x+1]×1，∴S△ABC＝﹣（x+）2+， ∵﹣＜0，∴△ABC面积的最大值是． 12．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上． ①当m＝﹣2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2）； （2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11， ②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11． 拓展提优 1．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（　　） A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0 B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0 C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0 【解答】解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c， ∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点， ∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c， 当 x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0， 整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＜0， ∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意； 当 x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0， 整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∵x1﹣x2＞0， ∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0：④若（﹣，y1），（，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（　　） A．①②④⑤ B．③④ C．①③ D．①②⑤ 【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确； ∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误； ∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y有最大值， ∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）， ∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），所以⑤正确； 故选：A． 3.已知实数a，b满足b2﹣a＝3，则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为　﹣2　． 【解答】解：∵b2﹣a＝3，∴b2＝3+a，∴3+a≥0，即a≥﹣3， ∴代数式a2+4a+4b2+1＝a2+4a+4（3+a）+1＝（a+4）2﹣3， ∴当a＝﹣3时，代数式a2+4a+4b2+1有最小值为﹣2，故答案为﹣2． 4．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是　0＜a＜4　． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4）， ∴，所以，a﹣b＝4，b＝a﹣4， ∵顶点在第四象限，∴，即﹣＞0①， ＜0②， 解不等式①得，a＜4， 不等式②整理得，（a+4）2＞0，所以，a≠﹣4， 所以，a的取值范围是0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D． （1）若AD＝BC，求a的值； （2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值． 【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3， ∴A（a，a），B（a+3，a+3）．y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4， 将x＝a，代入得：y＝（a﹣2）2+4； 将x＝a+3，代入得：y＝（a+1）2+4． ∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4）， ∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）． 由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），∴a＝1． （2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G， 由题意得：M（m，m）， ∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8＝， ∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB＝＝， 由，得S△ABE有最小值． ∴当m＝时，S△ABE的最小值为． 6．如图1，如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线，如图2，已知抛物线L1：y1＝ax2+bx经过A（﹣4，0），D（6，15）． （1）求出抛物线L1的函数表达式； （2）若抛物线L2与L1是“互为关联”的抛物线，抛物线L1与L2的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S△FAO＝3S△EAO，求所有满足条件的抛物线L2的函数表达式． 【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入y1＝ax2+bx得，解得， 故抛物线L1的函数表达式为y＝x2+x； （2）对于y＝x2+x，函数的对称轴为x＝（0﹣4）＝﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣1，故点E（﹣2，﹣1）； ∵S△FAO＝3S△EAO，故yF＝3|yE|＝3， ∵点F在抛物线L1上，故yF＝x2+x， 解得：x＝﹣6（舍去）或2，故点F（2，3）或（﹣6，3）， ①当点F的坐标为（2，3）时， 设抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+mx+n， 将点E、F的坐标代入上式得，解得， 故抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2； ②当点F的坐标为（﹣6，3）时， 同理可得：抛物线L2的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣6； 综上，L2的函数表达式为y＝﹣x2+x+2或y＝﹣x2﹣3x﹣6． 第8课时 二次函数与一元二次方程（一） 基础提优 1．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点到x轴的距离是2 C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝﹣1 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴该抛物线的开口向下，故选项A错误； 顶点到x的轴的距离为2，故选项B正确； 当y＝0时，△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项C错误；对称轴是直线x＝1，故选项D错误； 故选：B． 2.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0） 【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2， 根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2， 即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 故选：B． 3．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2022的值为（　　） A．2020 B．2020 C．2022 D．2023 【解答】解：将（m，0）代入抛物线表达式得：m2﹣m﹣1＝0， 则﹣2m2+2m+2020＝﹣2（m2﹣m）+2022＝﹣2+2022＝2020，故选：A． 4.当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（　　） A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0） 【解答】解：代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，即ax2+bx+c＝mx+n， 则ax2+（b﹣m）x+c﹣n＝0， 则y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0），故选：A． 5.若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4 C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3 【解答】解：函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝2， 而两个交点之间的距离为10，则两个交点的坐标分别为：（7，0）、（﹣3，0），故选：D． 6．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是　（1，0），（﹣3，0）　． 【解答】解：对于y＝（x﹣1）（x+3），令y＝0，即0＝（x﹣1）（x+3）， 解得x＝﹣3或1，故答案为（1，0），（﹣3，0）． 7.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　　． 【解答】解：由韦达定理得：x1+x2＝﹣＝2，故答案为2． 8．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　k＞﹣1　． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点， ∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1． 9. 抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且通过点（2，8），此二次函数的解析式为　 　． 【解答】解：根据题意设y＝a（x+2）（x﹣1）（a≠0）， 将（2，8）代入得：a（2+2）（2﹣1）＝8，即4a＝8，解得：a＝2， 则二次函数解析式为y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4． 10．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是　a＞0且a≠1　． 【解答】解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数， ∴a﹣1≠0，∴a≠1， ∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1， 故答案为：a＞0且a≠1． 11．已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）． （1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值． 【解答】（1）证明：①当m＝0时，该函数是一次函数y＝2x﹣2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）； ②当m≠0时，∵y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]， ∴该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1﹣． ∴无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）； （2）解：若m＝0，则y＝2x﹣2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意； 若m≠0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1﹣，0），与y轴交点是（0，m﹣2）． 即当m﹣2是整数时，1﹣也是整数， 所以m＝±1，±2． 综上所述，m＝﹣2，﹣1，0，1，2． 12．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4）， 设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4； （2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0， ∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2， ∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4） ＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8， 当m＝1时，S最大，最大值为8． 拓展提优 1.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，随着x的增大而减小．下列结论： ①a﹣b+c＝0； ②若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2： ③a（m﹣1）+b＝0； ④若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0）， ∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故①正确，符合题意； ②∵点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上， 而点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离要大， ∴y1＞y2，所以②错误，不符合题意； ③∵抛物线经过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0， ∴am2﹣a+bm+b＝0，即a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0， ∴a（m﹣1）+b＝0，所以③正确，符合题意； ④∵c≤﹣1，∴＜﹣1，∴b2﹣4ac＞4a，所以④错误，不符合题意． 故选：B． 2.已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8， ∵图象与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0解得a＜4； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．故选：C． 3.已知二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点，（A点在B点左侧）C为二次函数上一点且横坐标为1，已知△ABC的面积为，则a的值为　　． 【解答】解：∵y＝ax2+（2a+1）x+a+1＝（ax+a+1）（x+1）， ∴当y＝0时，x1＝﹣，x2＝﹣1， ∵二次函数y＝ax2+（2a+1）x+a+1与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）， ∴当a＞0时，点A（﹣，0）、点B（﹣1，0）；当a＜0时，点A（﹣1，0），点B（﹣，0）； ∵C为二次函数上一点且横坐标为1， ∴点C的纵坐标为y＝a+2a+1+a+1＝4a+2， ∵△ABC的面积为， ∴当a＞0时，×（4a+2）＝，得a＝， 当a＜0时，×|4a+2|＝，得a1＝（舍去），a2＝﹣， 由上可得，a的值是或﹣， 故答案为：或﹣． 4．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是　n＝1或﹣3≤n＜0　． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， 若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0． 故答案为n＝1或﹣3≤n＜0． 5.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴只有一个公共点． （1）试用含a的式子表示b和c； （2）若（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，y2＜y1，求x1的取值范围； （3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p≤x≤q时，新抛物线对应的函数有最小值2p，最大值2q，求p﹣q的值． 【解答】解：（1）∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线与x轴只有一个公共点． ∴b2﹣4ac＝0，即（﹣2a）2﹣4ac＝0，∴c＝a； （2）∵（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为1， ∴（3，y2）的对称点为（﹣1，y2），∵a＞0，抛物线开口向上， ∴y2＜y1时，x1的取值范围是x1＞3或x1＜﹣1； （3）由（1）知：抛物线y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2（a＞0）， 将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线为y＝a（x﹣1）2+2， ∵经过点（3，6），∴6＝4a+2，解得a＝1，∴新抛物线为y＝（x﹣1）2+2， ∴当x＝1时，抛物线有最小值为2，∴2p＝2，解得p＝1，∴1≤x≤q， ∵对称轴为x＝1，∴当x＝q时，在p≤x≤q范围内有最大值2q， ∴2q＝（q﹣1）2+2，解得q＝3或1（舍去）， ∴p﹣q＝1﹣3＝﹣2． 第9课时 二次函数与一元二次方程（二） 基础提优 1．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合，故选：D． 2．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．故选：C． 3．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误； ∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B． 4.已知二次函数y＝x2+（2m+2）x+m2+2m﹣3，当﹣3＜m＜1时，则下列结论正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴无交点 B．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴左侧 C．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴右侧 D．二次函数的图象与x轴的交点都在y轴两侧 【解答】解：∵二次函数y＝x2+（2m+2）x+m2+2m﹣3， ∴令y＝0得：x2+（2m+2）x+m2+2m﹣3＝0， ∴△＝（2m+2）2﹣4（m2+2m﹣3）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m+12＝16＞0， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故A错误； ∴x＝＝，∴x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣3． ∵﹣3＜m＜1，∴﹣m+1＞0，﹣m﹣3＜0．∴x1＞0，x2＜0． ∴二次函数的图象与x轴的交点都在y轴两侧，故B、C错误，D正确． 故选：D． 5．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根 【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1）， 画出函数的图象如图： 由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根， 故选：C． 6．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是　6.18＜x＜6.19　． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围． 故答案为：6.18＜x＜6.19． 7.如图所示的抛物线：当x＝　 　时，y＝0；当x＜﹣2或x＞0时，y　 　0；当x在　 　范围内时，y＞0； 【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（0，0）∴x＝﹣2或0时，y＝0， 根据抛物线与x轴的交点观察图象可得：当x＜﹣2或x＞0时，y＜0； 当﹣2＜x＜0范围内时，y＞0； 8.在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法： 甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2 乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2 丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2 丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2 你认为解法正确的同学有　　． 【解答】解：方程x2＝x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2， 甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故甲正确； 乙：函数y＝x2和y＝x+3的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故乙正确； 丙：函数y＝x2﹣3和y＝x的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丙正确； 丁：函数y＝x2+1和y＝x+4的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丁正确； 故答案为甲乙丙丁． 9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　﹣1＜x2＜0　． 【解答】解：由图象可知x＝2时，y＜0；x＝3时，y＞0； 由于直线x＝1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x＝0时，y＜0；x＝﹣1时，y＞0；所以另一个根x2的取值范围为﹣1＜x2＜0． 故答案为：﹣1＜x2＜0． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根x1，x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞﹣；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则a+b＝5．其中，正确结论的序号是 【解答】解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m＝0， ∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＝4m+1＞0， 解得：m＞﹣，故选项②正确； ∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m， 而选项①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0时才能成立，故选项①错误； 二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+（6﹣m）+m ＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），令y＝0，可得（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x＝2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故a+b＝5， 故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个，为②③． 11. 可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围： 利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间． （1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 【解答】解：（1）利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知， 当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，所以方程的另一个根在2和3之间； （2）函数y＝x2﹣2x+c的图象的对称轴为直线x＝1，由题意，得， 解得0＜c＜1． 12.抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，与y轴交点坐标； （3）画出这条抛物线； （4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0，y＜0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点， ∴m＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）； 令x＝0，得y＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）； （3）对称轴为x＝1，顶点坐标（1，4），图象如图， （4）如图，①当﹣1＜x＜3时，y＞0； 当x＜﹣1或x＞3时，y＜0； ②当x＞1时，y的值随x的增大而减小． 拓展提优 1．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　） A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b 【解答】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m＜a＜b＜n． 故选：C． 2．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6 【解答】解：∵y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1，∴a＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3， ∴一元二次方程x2+ax+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点， ∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，当x＝﹣2时，y＝11； 当x＝3时，y＝6；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11． 故选：C． 3．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴是直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根，则m的取值范围为 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴当x＝1时，y最小值＝2，当x＝﹣1时，y最大值＝6． ∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是2≤y＜6， 当y＝m时，m＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣m＝0， ∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣m＝0（m为实数）在﹣1＜x＜2的范围内有实数根， ∴m的取值范围是2≤m＜6， 4. 如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　． 【解答】解：令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3， 则点A（1，0），B（3，0）． 由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1， 当y＝x+m与C2相切时，令y＝x+m＝y＝﹣（x﹣4）2+1， 即x2﹣7x+15+m＝0，△＝72﹣4×（15+m）＝0，解得， 当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m，m＝﹣3， 当时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点． 故答案为：． 5．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m … 其中，m＝　﹣6　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为　b＞或b＜　． 【解答】解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6， ∴m＝﹣6， 故答案为：﹣6； （2）连线得， （3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称： ②该函数的图象有最高点：（答案不唯一） （4）∵直线y＝kx+b经过（，）， ∴由函数图象可知，当4＜b＜时，直线y＝kx+b与函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象在y轴左右两侧各有两个交点， ∴此时，关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根， ∴关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，b的取值范围为4＜b＜． 故答案为：4＜b＜． 第10课时 实际问题与二次函数（一） 基础提优 1．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10． 故选：C． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　） A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝ 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A． 3．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（　　） A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6） 【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x （0＜x＜6）．故选：A． 4．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　） A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m 【解答】解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5， 因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，故选：C． 5．一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2x B．y＝2x+1 C．y＝x（4﹣x） D．y＝x（4﹣x） 【解答】解：作FH⊥EC于点H，如右图所示，则∠FHE＝90°， ∴∠FEH+∠EFH＝90°∵∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠DEB， 在△DEB和△EFH中，，∴△DEB≌△EFH（AAS）， ∴BE＝HF，∵BE＝x，∴HF＝x，∵MB＝4，∠B＝90°，∠C＝30°，∴BC＝4， ∴EC＝BC﹣BE＝4，∴△EFC的面积为是：， 即y＝， 故选：D． 6．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围　6≤x＜15　． 【解答】解：由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x， 即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；∵墙的长度为18， ∴0＜30﹣2x≤18，解得，6≤x＜15，即x的取值范围是6≤x＜15； 故答案为：6≤x＜15． 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从B点开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，那么△PBQ的面积S随时间t的函数关系式是　S＝24t﹣4t2（0≤t≤6）　（写出t的取值范围） 【解答】解：∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动．动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动， ∴设t秒时，△PBQ的面积为S，根据题意得出： S＝BP×BQ＝（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2（0≤t≤6）， 故答案为：S＝24t﹣4t2（0≤t≤6）． 8．如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以6km/的速度朝正北方向行驶，B船以8km/h的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是　15　km． 【解答】解：设t时两船相距为ykm，则AA1＝6tkm，AB′＝25﹣8t， 由题意可知y＝＝＝10， 故当t﹣2＝0时，即t＝2时两船相距最近，y＝10×＝15（km）， 答：两船出发2小时后相距最近，最近距离是15km． 故答案为：15． 9．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝　7.5米　． 【解答】解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm， 则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m， ∴四边形EFGH的面积：S＝10×20﹣2×x•x﹣2×（10﹣x）（20﹣x）， S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∵﹣2＜0∴x＝7.5时，S有最大值．故答案为：7.5米 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式　y＝﹣x2+x　． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠C＝∠CDA＝90°＝∠ADE， ∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝45°，∴∠MDF＝90°+45°＝135°． 在BC上截取CH＝CM，连接MH，如图，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD， ∴∠CHM＝∠CMH＝45°，∴∠BHM＝135°，∴∠1+∠HMB＝45°，∠BHM＝∠MDF， ∵FM⊥BM，∴∠FMB＝90°，∴∠2+∠BMH＝45°，∴∠1＝∠2． 在△BHM与△MDF中，，∴△BHM≌△MDF（ASA）， ∴BH＝MD＝2﹣x，∴y与x之间的函数关系式为y＝x（2﹣x）＝﹣x2+x． 故答案为：y＝﹣x2+x． 三．解答题（共3小题） 11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等， ∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN， ∴AM＝2ME，∴AE＝3BE； （2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即， ∴．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2， 则，∵，∴BE＝10﹣x＞0， 解得x＜3，∴（0＜x＜3）． 12．小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5． （1）求铅球的落点与小明的距离； （2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？ 【解答】解：（1）由题意知，点（0，1.6）在抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5上， ∴1.6＝﹣0.1（0﹣k）2+2.5，解得：k＝3或k＝﹣3（舍去）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，当y＝0时，﹣0.1（x﹣3）2+2.5＝0， 解得x1＝8，x2＝﹣2（舍去），∴铅球的落点与小明的距离为8m； （2）∵抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5， ∴当x＝7时，y＝﹣0.1（7﹣3）2+2.5＝0.9，∵0.9＜1.5， ∴一个身高为1.5m的小朋友会受到伤害． 拓展提优 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m； ②小球运动的时间为6s；③小球抛出3秒时，速度为0； ④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．②④ 【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误； ②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40， 解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40， ∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，∴④正确． 综上，正确的有②③④．故选：C． 2．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有　（1）（3）　（填序号） （1）abc＜0；（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的； （3）2≤a+b+c≤4.5；（4）最大飞行高度不超过4． 【解答】解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下 ∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点） ∴abc＜0∴（1）正确； 当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1∴（2）不正确； 当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3）， 将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3） 当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4； 当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4）， 将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）， 当x＝＝时，y＝＞4，故（4）不正确， 当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4）， 将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2， 当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3）， 将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），当x＝1时，y＝a+b+c＝2， 将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，故（3）正确． 综上，（1）（3）正确．故答案为：（1）（3）． 3．用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3． （1）求W与x的函数关系式． （2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄． ①求Q与x的函数关系式； ②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围] 【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k，解得k＝， ∴W与x的函数关系式为W＝x2； （2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米， ∴Q＝W厚﹣W薄＝（6﹣x）2﹣x2＝﹣4x+12， 即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12； ②∵Q是W薄的3倍，∴﹣4x+12＝3×x2，整理得，x2+4x﹣12＝0， 解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），故x为2时，Q是W薄的3倍． 第11课时 实际问题与二次函数（二） 基础提优 1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　） A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元 【解答】解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D． 2．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝72（1﹣x） B．y＝36（1﹣x） C．y＝36（1﹣x2） D．y＝36（1﹣x）2 【解答】解：根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝36（1﹣x）2．故选：D． 3．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝﹣（x﹣60）2+1825 B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850 C．y＝﹣（x﹣65）2+1900 D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000 【解答】解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， ∵当x＝55，75，80时，y＝1800，1800，1550， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，故选：D． 4．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　） A．y＝﹣（x﹣13）2+59.9 B．y＝﹣0.1x2+2.6x+31 C．y＝0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y＝﹣0.1x2+2.6x+43 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣13）2+59.9，将（30，31）代入得： 31＝a（30﹣13）2+59.9，解得：a＝﹣0.1， 故：y＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9＝﹣0.1x2+2.6x+43．故选：D． 5．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　） A．180 B．220 C．190 D．200 【解答】解：设y＝kx+b，由图象可知，，解之，得：， ∴y＝﹣2x+60；设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600，∵a＝﹣2＜0，∴p有最大值， 当x＝﹣＝20时，p最大值＝200． 即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，故选：D． 6．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　y＝20+20（x+1）+20（x+1）2　． 【解答】解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2． 故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2． 7．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元∕件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是　w＝﹣10x2+500x﹣4000　． 【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y＝kx+b， 则，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400； 故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为： w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000． 故答案为：w＝﹣10x2+500x﹣4000． 8．天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝ax2+bx﹣1600，当销售价为22元/千克时，每天的销售利润为72元，当销售价为26元/千克时，每天的销售利润为168元，则该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是　w＝﹣2x2+120x﹣1600　． 【解答】解：由题意得，解得， 所以该食品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）的函数表达式是： w＝﹣2x2+120x﹣1600．故答案为w＝﹣2x2+120x﹣1600． 三．解答题（共3小题） 11．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件，设销售价为每件x元（50≤x≤60），月销量为y件，月销售利润为w元． （1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式； （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x， w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000； ∴y与x的函数解析式和w与x的函数解析式分别为：y＝1000﹣10x， w＝﹣10x2+1400x﹣40000； （2）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， 当50≤x≤60时，w随x的增大而增大∴当x＝60时，w取最大值8000， ∴销售价定为每件60元时会获得最大利润8000元． 12．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表： 品种 每棵售价（万元） 每棵成本（万元） 每年其他费用（万元） 预测每年最大销量（棵）　x　 甲 12 a 20 160 乙 20 12 60﹣2x+0.05x2 80 其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元． （1）直接写出y1与x的函数关系式为　y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）　．y2与x的函数关系式为　y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）　． （2）分别求出销售这两个品种的最大年利润． （3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由． 【解答】解：（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）， y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）． 故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）； （2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，∵12﹣a＞0， ∴x＝160时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元． 对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝420万元． （3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25， ②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25， ③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，∵7≤a≤10， ∴当a＝9.25时，选择甲乙两个品种的利润相同． 当7≤a＜9.25时，选择甲品种利润比较高． 当9.25＜a≤10时，选择乙品种利润比较高． 拓展提优 1．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　） A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间 【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得： W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000 ＝﹣x2+129x﹣8416＝﹣（x﹣258）2+8225， ∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x＝258舍去， ∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元， 又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去） ∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B． 2．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　9时　，此时每千克的收益是　元　． 【解答】解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为： y1＝kx1+b，将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20， 所以y1＝﹣2x1+20 设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：y2＝a（x2﹣10）2+3 将（6，7）代入，解得a＝所以y2＝（x2﹣10）2+3＝x22﹣5x2+28 设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元， 根据题意，得y2＝x22﹣5x2+28＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28＝x12﹣10x1+28 w＝x1﹣y2＝x1﹣（x12﹣10x1+28）＝﹣x12+11x1﹣28＝﹣（x1﹣）2+ 当x1＝时，y1＝﹣11+20＝9，w取得最大值，最大值为． 答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，此时每千克的收益是元．故答案为：9时，元． 3．某公司计划投资A、B两种产品，若只投资A产品，所获得利润WA（万元）与投资金额x（万元）之间的关系如图所示，若只投资B产品，所获得利润WB（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为WB＝﹣x2+nx+300． （1）求WA与x之间的函数关系式； （2）若投资A产品所获得利润的最大值比投资B产品所获得利润的最大值少140万元，求n的值； （3）该公司筹集50万元资金，同时投资A、B两种产品，设投资B产品的资金为a万元，所获得的总利润记作Q万元，若a≥30时，Q随a的增大而减少，求n的取值范围． 【解答】解：（1）由图象可知（20，240）是抛物线的顶点，设WA＝a（x﹣20）2+240， 将点（10，230）代入上式并解得：a＝﹣， 故WA与x之间的函数关系式为WA＝﹣（x﹣20）2+240＝﹣x2+4x+200； （2）由（1）知投资A产品所获得利润的最大值为240万元， WB＝﹣x2+nx+300＝﹣（x﹣）2+300+n2， 即投资B产品所获得利润的最大值为300+n2， ∴24+140＝300+n2，解得n＝±8（舍去﹣8），故n＝8； （3）设投资B产品的资金为a万元，则投资A产品的资金为（50﹣a）万元， 由题意得：Q＝WA+WB＝﹣（50﹣a）2+4×（50﹣a）+200+﹣a2+na+300 ＝﹣a2+（n+6）a+450，∵a≥30时，Q随a的增大而减少， ∴﹣＝﹣≤30，解得n≤12，故n的取值范围为n≤12． 第12课时 实际问题与二次函数（三） 基础提优 1．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，，解得，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t＝﹣＝﹣＝3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C． 2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　） A．18° B．37° C．54° D．58° 【解答】解：由图象可得，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36°＜x＜54°， 故选：B． 3．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　） A．11℃ B．27℃ C．35℃ D．36℃ 【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃， ∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D． 4．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）分钟． A.18 B.20 C.24 D.28 【解答】解：如图所示： 设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，∵6分钟时和14分钟时拱梁的高度相同， ∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟． ∴从O到D需要6+4＝10分钟．∴从O到C需要2×10＝20分钟．故答案为B． 5.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为　　． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＜0），点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4）， 它的坐标代入y＝ax2（a＜0），求得a＝﹣，所求解析式为y＝﹣x2． 再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），则有：﹣0.9＝﹣x2．， 解得：x＝±，所以宽度为，故答案为：． 6．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是　8　米． 【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，解得：x＝±4， ∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8． 7．小迪同学以二次函数y＝2x2+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为　11　． 【解答】解：由题意可得：D点坐标为：（0，8），∵AB＝4， ∴B点，横坐标为：2，故x＝2时，y＝2×4+8＝16，即B（2，16）， 则DC＝16﹣8＝8，故CE＝DC+DE＝3+8＝11．故答案为：11． 9．某工厂上班高峰期员工到达单位的累积人数y随时间x的变化情况如图所示，已知前10分钟，y可看作是x的二次函数，并在10分钟时，累计到达人数为最大值500人，10分钟之后员工全部到岗，累计人数不变．回答下列问题． （1）求出0﹣10分钟内，y与x之间的函数解析式． （2）受新型冠状病毒影响，员工在进入单位大门时都应该配合监测体温．如果员工一到达工厂大门就开始接受体温测量，工厂大门口有体温检测岗位2个，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，问：工厂门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人？ （3）在（1）（2）的前提下，员工检测体温到第5分钟时，为提高通过效率，减缓拥堵情况，如果要在接下来的10分钟内让全部到达等待的员工都能完成体温检测，问：此时需至少增设几个体温检测岗位？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝a（x﹣10）2+500， 把O（0，0）代入上式得：0＝a（0﹣10）2+500，解得：a＝﹣5， 故y与x之间的函数解析式为：y＝﹣5（x﹣10）2+500（0≤x≤10）； （2）设第x分钟时的排队人数为w人， 由题意可得：w＝y﹣20x＝﹣5x2+100x﹣20x＝﹣5x2+80x＝﹣5（x﹣8）2+320， ∴当x＝8时，w的最大值＝320，∴排队人数最多时是320人， 答：排队人数最多时有320人； （3）设工作人员工作5分钟后增加m个检测点， 5分钟等待人数是w＝﹣5（x﹣8）2+320＝275，由题意得：10×10（m+2）≥275， 解得m≥0.75，∵m是整数，∴m≥0.75的最小整数是1， ∴此时需至少增设1个体温检测岗位． 拓展提优 1．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上． （1）这种升降平台设计原理利用了四边形的　不稳定性　性质； （2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为　90°　． 【解答】解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性． 故答案为：不稳定性； （2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设y＝ax2+24，∵点（4，0）在该抛物线上，∴0＝a×（4）2+24， 解得，a＝，∴y＝﹣x2+24， 当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16， ∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2， ∴∠B1＝90°，故答案为：90°． 2．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为　11　cm． 【解答】解： 如图：∵CD＝DE＝10，根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，因为抛物线经过C、E、B三点， ∴解得所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+． 当x＝7时，y＝11．∴Q（7，11）所以手心距水平台面的高度为11cm． 故答案为11． 3．如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米． （1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是　4　． （2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是多少． 【解答】解：（1）如图建立平面直角坐标系（以点O为原点，OC所在直线为y轴，垂直于OC的直线为x轴），过点B′作B′D′⊥y轴于点D′， 延长B'D'到M'使M'D'＝B'D'，连接A'M'交OC'于点P'， 则点P'即为所求． 设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由题意知旋转后点B'的坐标为（﹣2，2）． 代入解析式得∴抛物线的函数解析式为：， 当x＝﹣4时，y＝8，∴点A'的坐标为（﹣4，8）， ∵B'D'＝2∴点M'的坐标为（2，2）把点M'（2，2），A'（﹣4，8）代入直线y＝kx+b中， 得直线M'A'的函数解析式为y＝﹣x+4，把x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4， ∴点P'的坐标为（0，4），∴用料最省时，点O、P之间的距离是4米． 故答案为：4； （2）过点B'作B'P平行于y轴且B'P＝2，作P点关于y轴的对称点P'， 连接A'P'交y轴于点E，则点E即为所求． ∵B'P＝2∴点P的坐标为（﹣2，4），∴P'点坐标为（2，4）代入P'（2，4），A'（﹣4，8）， 解得直线A'P'的函数解析式为， 把x＝0代入，得，∴点E的坐标为， ∴用料最省时，点O、E之间的距离是米．故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$