3.2.2双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第三章圆锥曲线的方程 1 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3.根据几何条件求双曲线的标准方程. 4.了解并掌握双曲线的一些二级结论。 学习目标 学习目标 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴， 原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 双曲线的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a (2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴， 实轴的长为2a,a叫做实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴， 虚轴的长为2b, b叫做虚半轴长 (4)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 (3) B1(0,－b),B2 (0,b)叫做双曲线的虚轴端点 等轴双曲线的方程为 M(x,y) 5、渐近线 N(x,y’) Q x y o a b 双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两支向外延伸时，与两条直线±逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线为： 直线y＝. 如图，双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交。 特别的： 5、离心率 离心率。 c>a>0 e >1 e是表示双曲线张口大小的一个量,e越大张口越大 （1）定义： （2）e的范围： （3）e的含义： （4）等轴双曲线 的离心率e= e >1 （刻画了双曲线的张口大小） x y o a b F 2 F 1 P x O y 一些二级结论 左加 右 减 2)、焦半径公式的角度式公式(焦点弦） 短 加 长 减 1）、双曲线的焦半径代数公式 F 2 F 1 x O y A B 3）、双曲线的通径 F 2 F 1 x O y A B F 2 F 1 x O y A B F 2 F 1 p x O y a x y o F1 F2 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 关于x轴、y轴、原点对称 渐近线 . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B2 y O . F2 F1 B1 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b; 实半轴长:a,虚半轴长:b 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧 (5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). (6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. 二、双曲线的标准方程的求法 例1 :求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程. 解：设双曲线方程为 ∴ 双曲线方程为 ∴ , 解之得k=4, 1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。 2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线斜率为 。 练习及作业 二、离心率求法 F 2 F 1 p x O y 若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次等式(或不等式),再将齐次等式(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围). （2）离心率及范围的常用代数求法 （3）代入法：用a、b、c表示双曲线上的点P的坐标，把点P的坐标代入双曲线方程中，利用双曲线方程这个等式构建a、b、c的齐次等式，转化为e的方程求解。 F 2 F 1 P x O y 三、点与椭圆的位置关系的判定 P . P . P . X Y O P . X Y O X Y O P . 位置关系与交点个数 X Y O 相离:0个交点 相交:一个交点 相交:两个交点 相切:一个交点 四、直线与双曲线位置关系问题： X Y O 代数方法 消去y（或x） 四、直线与椭圆的位置关系的判定: 二次项系数为p=0时， 直线与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。 X Y O X Y O 二次项系数为p=0时 重合：无交点；平行：有一个交点。 有1个交点时直线与双曲线相切或直线平行于渐近线 无交点时直线与双曲线相离或直线与渐近线重合 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 二次项系数为=0时 例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (2)有两个公共点; (3)只有一个公共点; (4)交于异支两点； (5)与左支交于两点. (3)k=±1，或k= ± ； (4)-1＜k＜1 ； (1)k＜ 或 k＞ ； (2) ＜k＜ ； 1.过点P(1,1)与双曲线 只有一个交点的直线共有 条. 4 X Y O （1,1） 。 2.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 练习 代数方法 消去y（或x） 五、直线与双曲线相交时，弦长公式 A B X Y O A B A B 例1、 过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 弦长公式： 或 解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为 F1 F2 x y O · · 法一: 法二: 练习及作业 31 作业及练习 六、双曲线的中点弦问题 F1 F2 x y O · · （点差法） 练习及作业 3x+4y-5=0 在双曲线的中点弦问题当中，我们常用的是方程法和点差法，方程法可以使用判别式验证直线与双曲线是否有两个交点，当用点差法求出中点弦方程后，如果还通过原法检验此直线与双曲线是否有两个交点，这时候就点复杂了。检验的原因是归于点差法自身的缺陷，这里不再赘述。究竟哪些点才能作出双曲线的弦的中点呢？     哪些点才能作出双曲线的弦的中点的探究 例.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由； 课堂小结 作业课本127-128页 第4、11、12、13题 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0). (3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设=1 (λ≠0,-b2<λ<a2). (4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0). (1)过点P(3,-),离心率为; (2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=; (3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2). （4）与双曲线 有公共焦点，且过点 . 解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0), ∵e=,∴=2,即a2=b2. ① 又双曲线过P(3,-),∴=1, ② 由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1. 若双曲线的焦点在y轴上, 设其方程为=1(a>0,b>0), 同理有a2=b2, ③ =1, ④ 由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1. (1)过点P(3,-),离心率为; (2)由椭圆方程=1,知半焦距为, ∴焦点是F1(-,0),F2(,0). 因此双曲线的焦点为(-,0),(,0). 设双曲线方程为=1(a>0,b>0), 由已知条件,有解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. (2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=; (3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0), 将点(-3,2)代入得λ=, ∴双曲线方程为, 即双曲线的标准方程为=1. (3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2). （4）与双曲线 有公共焦点，且过点 . 3、焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为; 4、过点(2,0),与双曲线=1离心率相等. 解:(1)=1.(2)-y2=1. （1）直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解. 若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解. (2)几何法（方程法）:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质, 再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=即可得到. (方法2)由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c, 将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=. 又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=, 变形可得(c2-a2)=2ac,等式两边同除以a2,得(e2-1)=2e, 解得e=-(舍去)或e=. 例1.（1）设双曲线C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2, ∠PF1F2=30°,求双曲线C的离心率。 解析:(方法1)利用角度式公式e= 位置关系 图　示 （代数法） 点在椭圆外 点在椭圆上 点在椭圆内 分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理. 1.过双曲线 的左焦点F1作倾角为 的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|= . 2.双曲线的两条渐近线方程为 ，且截直线 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ ） (A) (B) (C) (D) D $$