第七章第四节空间直线、平面的垂直讲义-2025届高三数学一轮专题复习

新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第四节　空间直线、平面的垂直 一、课标要求 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分 【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用 2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用 【命题预测】 本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习. 直线、平面垂直的判定与性质常与直线、平面平行的判定与性质融合在一起综合考查，既有选择、填空题，也有解答题，客观题更多涉及的是线面位置关系的判断，而主观题考查的多是平行、垂直的证明，一般是与体积、夹角等知识一起考查． 三、知识梳理 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 [常用结论] 1．垂直间的三种转化关系 2．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 四、课堂考点突破 考点一　垂直关系的基本问题 [例1]　设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下说法正确的是（　　） A.若l⊥m，m∥α，则l⊥α B.若l∥β，α⊥β，则l⊥α C.若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D.若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α [答案]　D [解析]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对于A，设A1D1为m，平面ABCD为α，A1B1为l，则l∥α与l⊥α矛盾. 对于B，设平面DCC1D1为β，此时平面ABCD为α，则l∥α，与l⊥α矛盾. 对于C，设平面ABCD为α，平面DCC1D1为β，A1D1为m，A1B1为l，则l∥α与l⊥α矛盾. 对于D，⇒⇒l⊥α. 变式训练 1.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题　　　　. 答案：②③⇒①（或①③⇒②） 解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 考点二　直线与平面垂直的判定与性质 [例2]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： （1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE. [证明]　（1）在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC， ∴CD⊥AE. （2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 变式训练 2.（2024·北京模拟）如图，已知平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB，E，F分别是BC，PB的中点. （1）若M为线段AD的中点，求证：PM∥平面AEF； （2）求证：AF⊥平面PBC. 证明：（1）连接BM交AE于点N，连接FN，ME. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，且AD＝BC， 又M，E分别为AD，BC的中点，所以AM∥BE，且AM＝BE， 所以四边形AMEB是平行四边形，所以N为BM的中点. 又因为F是PB的中点，所以PM∥FN. 因为PM⊄平面AEF，NF⊂平面AEF，所以PM∥平面AEF. （2）在矩形ABCD中，BC⊥AB， 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面PAB. 因为AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF. 因为PA＝AB，F是PB的中点， 所以PB⊥AF. 又因为BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， 所以AF⊥平面PBC. 考点三　平面与平面垂直的判定与性质 [例3]　如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. （1）证明：平面PAM⊥平面PBD. （2）在此四棱锥的侧面、底面、截面PDB，PAM中有多少对面面垂直，并指出来？ （1）[证明]　由于PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，则PD⊥AM.又PB⊥AM，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，所以AM⊥平面PBD.因为AM⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD. （2）[解]　当PD⊥平面ABCD时，则平面PDA⊥平面ABCD. 平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD. 底面为矩形，平面PDA⊥平面PDC，而平面PDA⊥平面PAB. 平面PDC⊥平面PBC. 另外：平面PDB⊥平面PAM，共7对面面垂直关系. 变式训练 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥平面ABCD； （2）平面BEF⊥平面PCD. 证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD， ∴PA⊥平面ABCD. （2）∵AB⊥AD，AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD. ∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF， ∴CD⊥EF.又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF. ∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 答案　B 解析　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A是真命题；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B是假命题；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D是真命题． 2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　D 解析　如图所示， 因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P， 所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA， 同理得OB⊥AC， 所以O是△ABC的垂心． 3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC内的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案　A 解析　连接AC1(图略)， 由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1. ∵AC⊂平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC内的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n 答案　C 解析　由n⊥β且α∥β，可得n⊥α， 而垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正确； 由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β， 又因为n∥β，则m⊥n，故B正确； 若α∥β，m⊂α，n⊂β， 则m与n平行或异面，故C错误； 如图，设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l， 又因为α⊥β，则c⊥α， 又m⊥α，所以m∥c， 因为n⊥β，c⊂β， 所以n⊥c，从而有m⊥n，故D正确． 5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　设正方体的棱长为a， 则由题意知，A1C1＝AC＝a，A1B＝a，A1C＝a，当点P为A1A的中点时， 因为PA⊥平面ABC， 则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°. 由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°， 则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑； 当点P为A1B的中点时， 因为BC⊥平面ABB1A1， 所以BC⊥PB，BC⊥AB， 所以△PBC，△ABC为直角三角形． 因为四边形ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP， 则△PAB是直角三角形， 又AP⊥BC，BP∩BC＝B， 所以AP⊥平面PBC， 又PC⊂平面PBC，所以AP⊥PC， 所以△PAC是直角三角形， 则此时四面体P－ABC是鳖臑； 当点P为A1C的中点时， 此时PA＝PC＝A1C＝， 又AC＝a， 由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形， 则此时四面体P－ABC不是鳖臑． 6．在正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角为60°，则AC与平面BCD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　取BC的中点为E，△BCD的中心为G，连接AE，DE，CG，AG， 因为AB＝AC，BD＝CD，则AE⊥BC，DE⊥BC， 可得二面角A－BC－D的平面角为∠AED，即∠AED＝60°， 因为三棱锥A－BCD为正三棱锥，则AG⊥平面BCD， 且DE，CG⊂平面BCD，则AG⊥DE，AG⊥CG， 可得AG＝EG，CG＝DG＝2EG， 由AG⊥平面BCD，可知AC与平面BCD所成的角为∠ACG， 所以tan∠ACG＝＝＝. 二、多项选择题 7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．CD⊥PD B．AB⊥PC C．平面PBD⊥平面PAC D．E，F，C，D四点共面 答案　AD 解析　如图所示， 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又因为底面ABCD是矩形， 所以CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD，故A正确； 因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD， 又PC∩平面PAD＝P， 所以AB与PC不垂直，故B错误； 因为底面ABCD是矩形， 所以BD与AC不一定垂直， 则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误； 因为点E，F分别是棱PA，PB的中点， 所以EF∥AB， 又AB∥CD，所以EF∥CD， 所以E，F，C，D四点共面，故D正确． 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.则下列说法正确的有(　　) A．CD⊥平面EDP B．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4π C．二面角P－CD－B的大小为 D．直线PC与平面EDP所成角的正切值为 答案　ABC 解析　对于A，∵E为AB的中点， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形EBCD为平行四边形， 又AB⊥BC，∴四边形EBCD为矩形， ∴CD⊥DE. ∵PD＝AD＝＝2，CD＝2，PC＝2， ∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD， 又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP， ∴CD⊥平面EDP，A正确； 对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC， ∴AE⊥DE，即PE⊥DE， ∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE， 又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD， ∴PE⊥平面EBCD， ∵矩形EBCD的外接圆半径r＝×＝， ∴四棱锥P－EBCD的外接球半径R＝＝＝， ∴四棱锥P－EBCD外接球的体积V＝πR3＝4π，B正确； 对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP， ∴PD⊥CD； 又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角为∠PDE， ∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝， ∴二面角P－CD－B的大小为，C正确； 对于D，∵CD⊥平面EDP， ∴∠CPD即为直线PC与平面EDP所成的角， ∵CD⊥PD，PD＝2，CD＝2， ∴tan∠CPD＝＝＝， 即直线PC与平面EDP所成角的正切值为，D错误． 三、填空题 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有________个． 答案　2 解析　在正方体中，侧棱都和底面垂直， 故在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中， 与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共两个． 10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________． 答案　 解析　画出如图所示示意图， 设底面边长为a，则塔高EF＝a， AF＝AC＝a， 所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为＝＝. 11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案　DM⊥PC(或MB⊥PC) 解析　连接AC， 因为底面ABCD各边都相等， 所以AC⊥BD， 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PA⊥BD， 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC， 所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD， 所以平面MBD⊥平面PCD. 12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 ________. 答案　(0,1] 解析　因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED， 由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1， 可得ED⊥平面ECC1， 所以ED⊥EC， 在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2， 则BE＝2－a， 由∠DEA＋∠CEB＝90°， 可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1， 即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1， 当a＝1时，t2取得最大值1， 即t的最大值为1； 当a＝0或2时，t2取得最小值0， 但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]． 四、解答题 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明　(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD. 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD. (2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD. 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD. 14.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝. (1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE； (2)求直线PB与直线CD所成角的大小； (3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． (1)证明　连接PC，交DE于点N，连接MN， ∵四边形PDCE为矩形，∴N为PC的中点， 在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点， ∴MN∥AC， ∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE， ∴AC∥平面MDE. (2)解　∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD， ∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角． ∵四边形PDCE为矩形，∴PD⊥CD， ∵平面PDCE⊥平面ABCD， 又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD， ∵AD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB， 在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝， ∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD， 又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA， 在Rt△PAB中，∵AB＝1， ∴tan∠PBA＝＝， ∴∠PBA＝， 从而直线PB与直线CD所成的角为. (3)解　l与平面ABCD垂直．证明如下： ∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD， ∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD， ∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC， ∵平面PAD∩平面EBC＝l， ∴EC∥l，则l∥PD， 由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l⊥平面ABCD. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 第四节　空间直线、平面的垂直 一、课标要求 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分 【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用 2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用 【命题预测】 本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习. 直线、平面垂直的判定与性质常与直线、平面平行的判定与性质融合在一起综合考查，既有选择、填空题，也有解答题，客观题更多涉及的是线面位置关系的判断，而主观题考查的多是平行、垂直的证明，一般是与体积、夹角等知识一起考查． 三、知识梳理 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 [常用结论] 1．垂直间的三种转化关系 2．直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 四、课堂考点突破 考点一　垂直关系的基本问题 [例1]　设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下说法正确的是（　　） A.若l⊥m，m∥α，则l⊥α B.若l∥β，α⊥β，则l⊥α C.若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D.若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α 变式训练 1.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题　　　　. 考点二　直线与平面垂直的判定与性质 [例2]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： （1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE. 变式训练 2.如图，已知平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB，E，F分别是BC，PB的中点. （1）若M为线段AD的中点，求证：PM∥平面AEF； （2）求证：AF⊥平面PBC. 考点三　平面与平面垂直的判定与性质 [例3]　如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. （1）证明：平面PAM⊥平面PBD. （2）在此四棱锥的侧面、底面、截面PDB，PAM中有多少对面面垂直，并指出来？ 变式训练 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥平面ABCD； （2）平面BEF⊥平面PCD. 五、课后作业 一、单项选择题 1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　　) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC内的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 ∴C1在平面ABC内的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n 5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体． 在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．在正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角为60°，则AC与平面BCD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D．1 二、多项选择题 7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．CD⊥PD B．AB⊥PC C．平面PBD⊥平面PAC D．E，F，C，D四点共面 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.则下列说法正确的有(　　) A．CD⊥平面EDP B．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4π C．二面角P－CD－B的大小为 D．直线PC与平面EDP所成角的正切值为 三、填空题 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有________个． 10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________． 11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 ________. 四、解答题 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 14.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝. (1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE； (2)求直线PB与直线CD所成角的大小； (3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$