第二章直线与圆的方程单元小结课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线与圆的的方程（小结） 年 级：高 二 学 科：数学（人教A版） 1 一、知识框图 2 一、知识框图 3 二、要点归纳整合 一、直线的方程和两直线的位置关系问题。 本类问题主要涉及四大知识点，分别是直线的倾斜角与斜率，直线的方程，两条直线的位置关系和点、直线之间的距离。其中对概念性问题的考查，如截距、倾斜角、斜率、点到直线的距离、平行线间的距离、直线间的位置关系等，是高考命题的考点，多以选择题、填空题的形式出现，一般难度不大。 解决好该类问题的关键是牢固掌握基础知识，对概念要理解透彻，对有关公式要记要“深”记牢，同时要灵活运用一些数学思想，如数形结合、转化划归、分类讨论等。 4 二、要点归纳整合 二、对直线与圆的位置关系问题的考查 直线与圆的位置关系体现了元的几何性质和代数方法的结合，是高考的重点和热点内容，所以应对这个内容有较深刻的认识。 高考中对此的问题的考查稍微有难度，但一般不属于很难的题，且在今后一两年会保持相对稳定，即在题型，题量，难度，重点考查内容等方面不会有太大的变化，但也很可能与函数，三角、数列、平面向量等代数问题综合在一起，使题目更灵活，使知识联系更紧密。 解决此类问题的方法有：数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类讨论思想、坐标法、直接法、代入法、待定系数法、参数法等。 5 三、典型例题 例1：已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1？ (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°？ 思路分析:求直线的斜率⇒直线的斜率公式. (2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1. 6 三、典型例题 例2：光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程. 思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程 7 三、典型例题 8 三、典型例题 例3过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程. 思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程. 解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外. (1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4). 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1, 9 三、典型例题 例3过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程. (2)若直线斜率不存在, 圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1, 这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4. 10 三、典型例题 例4：求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长. 11 三、典型例题 例4：求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 12 三、典型例题 例4：求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 13 反思感悟 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半 14 谢谢大家 解:(1)kMN==1,解得m=. 解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0), 则 解之,得A'(-4,-3). 由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1), 所以反射光线所在直线的方程为y-1=·(x-1), 即4x-5y+1=0. 解方程组得反射点P(-,-). 所以入射光线所在直线的方程为y-3=·(x-2),即5x-4y+2=0. 所以=1,即|k+4|=, 所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),即15x+8y-36=0. 解法一：由得交点A(1,3),B(2,0), 故弦AB的长为|AB|=. 解法二：由 消去y,得x2-3x+2=0. 设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=, 即弦AB的长为. 解法三：圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标(0,1),半径r=,点(0,1)到直线l的距离为d=,所以半弦长为,所以弦长|AB|=. 径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 图① (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 图② $$