6.2.3组合数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 春季 课题 6.2.4 组合数 教学目标 1.能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数。 2.通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，利用组合数与排列数的关系，得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数。 教学重难点 教学重点：组合数公式。 教学难点：推导和应用组合数公式。 教学过程 一、温故知新 问题1 从甲、乙、丙三名同学中选2名去参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2 从甲、乙、丙三名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导语：在前三节的学习中，我们已经解决过问题1这样的排列问题，和问题2这样的组合问题，但在问题2中，我们通过列举数数的方式得到组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法会越来越繁琐。能否像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？ 定义：类比排列数，我们引进组合数的概念——从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 [设计意图]结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数公式。 二、新知探究 问题3 前面已经提到，组合与排列有关系，能否利用这种关系，由排列数来求组合呢？ 追问：求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数和组合数. 列举从4个不同的元素中取出3个元素的排列和组合，以“元素相同”作为标准将排列分为4组，每组中元素的全排列有种，得出. 或者还可以从实际意义出发，发现“从4个不同元素中任取3个的排列”可以分为两步完成：第1步，从4个元素中任取3个作为组合；第2步，将取出的3个元素作全排列。所以，. 推广：从个不同元素中任取个元素的组合数. “从n个不同元素中任取m个的排列”可以分为两步完成：第1步，从n个元素中任取m个作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.于是，，即. 由 可得，这里，并且. 这个公式叫做组合数公式.另外，我们规定. [设计意图]从一个具体问题出发，利用排列数求出组合数，由具体推广到到一般，用同样的方法得到组合数的公式，发展逻辑推理的核心素养。 三、学以致用 例1 计算：（1） （2） （3） （4） 追问：观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？ 师生活动：可以发现，.这两组组合数的共同特征是：两个组合数的下标相同，且上标之和等于下标，由此可以猜想：. 证明：，，所以. 从实际意义出发也可以解释上述等式：当确定取出哪些m个元素时，剩余的n-m个元素也确定下来，所以取m个元素的每一个组合，与选出剩余n–m个元素的每一个组合是一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，与从n个不同元素中取出n–m个元素的组合数是相等的。 除此之外，还有组合数的性质2：留作课后作业从两个角度进行证明。 例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。 （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ 解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为 （2）从2件次品中抽出1件有种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 （3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为 方法2（间接法）：抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数，就是从100件产品种抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 追问：你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？ 师生活动：引导学生梳理解决组合问题的一般思路——先分类，后分步；对于含有“至少”、“至多”等关键词的问题，可以使用直接法或间接法，通过分析两种方法的计算复杂度进行选择。 四、课外延伸 当和取较小数值时，可以通过手算得出. 当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以便计算更快捷和准确. 例如可以利用Excel软件插入COMBIN函数计算组合数. 五、课堂小结 1. 组合数的公式： ；组合数的性质： 2. 解决组合问题：“先分类，后分步” ；直接法、间接法 3. 发展能力：提高分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养。 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$