数学探究：杨辉三角的性质与应用课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学探究 杨辉三角的性质与应用 年 级：高二年级 学 科：数学（人教A版） 1 历史探源 帕斯卡 （B.Pascal,1623--1662） 杨辉三角(1261年) 2 杨辉三角具有独特的魅力和丰富的性质，中西方的众多数学家都曾研究和运用它，印度数学家称它为“须弥山之梯”，在伊朗，它是“海亚姆三角”，意大利人称之为“塔塔利亚三角形”… 今天，让我们一起走进它，探究它吧！ 历史探源 3 数学探究过程： 观察和实验 归纳和猜想 推理和论证 4 请同学们仔细观察下面这个杨辉三角，你能从中发现哪些规律呢？ 观察和实验 5 1.对称性 观察和实验 6 2.最外层的数字始终是1， 即构成各项为1的常数列． 观察和实验 1，1，1，1，… 7 3.第二层是从1开始的自然数， 观察和实验 1，2，3，4，… 即首项与公差都为1的等差数列． 8 2阶等差数列 观察和实验 1， 3， 6， 10， 15， 21，… 2 3 4 5 6 … 1 1 1 1 … 4.第三层为三角形数数列， 9 5 将各条虚线上的数分别相加，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，… 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ① ① ② ③ ⑤ ⑧ ⑬ ㉑ ㉞ 观察和实验 斐波那契数列. 10 观察和实验 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 11 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 第n-1行 第 n 行 第n行就是 的展开式的二项式系数，第n行的第r个数可以表示为 . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 观察和实验 12 归纳和猜想 杨辉三角第 8 行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第 10 行，第5个数 即120 直接写出杨辉三角的任意行、任意位置的数！ 杨辉三角第 行，第 个数 杨辉三角第n行，第r+1个数 12 7 反过来， 数 形 13 请同学们继续观察每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连一连，算一算，你还能发现哪些结论呢？ 归纳和猜想 14 2=1+1 3=1+2 4=1+3 6=3+3 归纳和猜想 15 猜想1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 第n-1行 第 n 行 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 归纳和猜想 16 猜想2 第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1+6+1=4+4 1+10+5=5+10+1 归纳和猜想 17 猜想3 第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即 1 1 1 12 + 22 + 12=6 12 + 32 + 32 + 12=20 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 归纳和猜想 18 猜想4 自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1+2+3+4=10 1+3+6+10=20 归纳和猜想 19 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即 递归性 证明： 猜想1 性质1 推理和论证 20 实际背景 从 这n个元素中取出r个元素的组合（共 个）可以分为两类，第一类含有某个元素 （共 个），第二类不含这个元素 （共 个）.根据分类加法计数原理，等式成立. 推理和论证 21 自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即 猜想4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 推理和论证 22 证明： 猜想4 性质4 性质1 推理和论证 23 杨辉在《详解九章算法》中就记载有这样一道题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？” 题目大意： “有一个三角垛，最底层每条边上有12个圆球，最上层只有1个（上尖），问：总共有多少个圆球？” 应用： 1.堆垛问题： 24 一层 1 1 二层 1+2 3 三层 1+2+3 6 ⋮ ⋮ ⋮十二层 1+2+…+12 78 应用： 1.堆垛问题： 25 性质4 自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数. 应用： 1.堆垛问题： 26 求n层三角垛的圆球总个数： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⋮ 应用： 1.堆垛问题： 27 答曰：三百六十四个. 术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一，本法. 垛积术 大意： 应用： 1.堆垛问题： 28 “垛积术”源于古人对堆积成各种不同形状“垛”的物品，如酒坛、圆球、棋子等数量的计算； 茭草垛 四隅垛 三角垛 “化垛为数，以数表形”体现了古人高超的直观想象与逻辑推理素养！ 应用： 1.堆垛问题： 29 开方古算题（杨辉《详解九章算法》）： 积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何？ 我国古代称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方，因此，本题相当于解方程： . 应用： 2.开方问题： 30 “左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之” 请同学们查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格。 应用： 2.开方问题： 31 课堂小结： 通过今天的学习，同学们有了哪些收获呢？ 32 杨辉三角 杨辉三角的性质 杨辉三角的应用 发现问题 提出问题 分析问题 解决问题 杨辉三角的历史 33 课后探究活动要求： 以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.建议按如下步骤完成： 1.小组集体讨论探究方案，确定研究思路. 2.小组成员各自开展独立研究，并以专题作业的形式撰写研究报告. 3.小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告. 4.全班进行成果交流、评价. 34 研究报告的参考形式 杨辉三角的性质与应用 年级 班 完成时间： 1.课题组成员及分工 2.发现的数学结论及发现过程概述 3.证明思路及其形成过程描述 4.结论的证明或否定 5.杨辉三角的应用举例 6.收获与体会 35 $$