3.4函数的应用（一）教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《3.4函数的应用（一）》教学设计 课程基本信息 学科 数 学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.4函数的应用（一） 教材分析 教材来源 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第三章3.4函数的应用（一）。在此之前，学生已经学习了函数的概念及其表示，函数的基本性质及幂函数，本节的内容：函数在生活中的应用. 地位与作用 客观世界中的各种各样的运动变化现象经常可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.函数的应用主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知的解析式或图像函数的性质，以及简单的建模问题，通过建模的过程和方法，逐步培养学生分析问题，解决问题的能力，初步了解数学在解决实际问题中的应用。 教学目标与核心素养 1．在解决简单实际问题的过程中，学会将实际问题中的量抽象为数学中的变量，能根据实际问题中的条件寻找变量之间的关系，了解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学模型； 2．学习运用函数模型理解和解决简单的实际问题，体会函数与现实世界的密切联系，有效提升数学建模和数学抽象素养． 教学重难点 教学重点 将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系 教学难点 数学阅读能力；专业术语；通过建立函数模型解决生活中的实际问题． 教学方法 问题导向式教学 情境引入，问题导向，引导思维，发展素养，学以致用！ 教学过程 一、情景导入 同学们，前面我们已经学习了函数的概念及表示，函数的基本性质及幂函数，这节课我们继续学习函数的应用。生活中我们随处可见的很多图形，都和函数有关，我们一起看一下老师找到的图片吧。 如左图，这个隧道能通过的汽车最 高是多少米？ 如右图，这片树林的经济价值是多少呢？ 左图的美丽喷泉，要使地面水池的占地面积最小，我们应该怎么设计呢？ 这些问题都和函数有关，除此之外，生活中还有很多与数学息息相关的，比如我们经常乘坐的出租车，它的计费方法随着行车里程的不同而不同，因此可以用分段函数描述出租车收费关于行驶里程变化的情况；比如商场促销、人口增长、天体运动等，也可以用函数模型来刻画 二、新知探究 1．既然生活中的很多问题都和我们函数有关，那我们首先去看看我们学过哪些函数模型? (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); =a2＋ (4)幂函数模型：f(x)＝axn＋b （a≠0，n≠1 ） (5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 2．典例分析 例1：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 分析：应用问题需要认真阅读题目，理解题目中的一些专业术语，并通过阅读题目提取信息，找到变量之间的关系，对于任意的x，都有唯一的y值与它相对应,建立函数模型，解答问题. 解： 根据题意,对于任意的x，都有唯一的y值与它相对应 得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 分析：要找到变量w和x之间的函数关系，需要找到中间变量y作为“桥梁” 我们知道：平均每天的销售利润w=平均每天的销售量y×每箱销售利润 解：因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 对于任意一个销售单价X，都有唯一确定的W与之相对应 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解: 因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200, 所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125元. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润, 且最大利润为1 125元. 设计意图:这道例题比较简单，学生在初中的学习基础上完全可以解决，这儿设计这道题，意在抛砖引玉，通过它为下一道例题做铺垫 小结本题方法：认真阅读理解术语提取信息找到变量之间的关系 建立函数模型 得出结论。 用刚刚学到的解题方法我们一起来尝试做下面的例题。 例2：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定， 计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①。 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除 －依法确定的其他扣除 ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元， 税率与速算扣除数见下表。 设小王的全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）． (1)求y关于x的函数解析式；(2)如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 分析题目：通过阅读题目，理解专业术语（全年综合所得收入额、应纳税所得额、应缴纳综合所得个税税额） 跟着老师的问题一起思考吧 问题1：由“全年综合所得收入额x”计算“应缴纳综合所得个税税额为y”，其中涉及哪些变量？ 变量有：全年综合所得收入额x； 应纳税所得额（设为）t； 应缴纳综合所得个税税额y 问题2：这些变量之间有什么关系？ 变量之间的关系： t= x－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 y= t×税率－速算扣除数 根据上面两个公式，对于任意一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而任意一个应纳税所得额也与唯一确定的个税税额相对应，所以，对任一个综合所得收入额就都有唯一的个税税额与之相对应 全年综合所得收入额x 应纳税所得额t 应缴纳综合所得个税税额y 所以我们用x表示y，可以先表示应纳税所得额t t(x)=x-60000-x( 8%+2%+1%+9% )-52800-4560=0.8x-117360 问题3：应纳税所得额与全年综合所得收入额之间的对应关系是否一致？若不一致，是什么原因引起的？ 对应关系不一致，收入不同导致的，收入较低的时候是不需要纳税的，所以我们可以根据0.8 x-117360=0来算出临界x=146700 所以t(x)＝ 问题4：当x在什么范围内时，纳税的税率是10 % ，速算扣除数是2520？ 当x在什么范围内时，纳税的税率是20% ，速算扣除数是16920？ 请写出函数y=f(X)的解析式。 纳税的税率是10%，即 36000<t≤144000 所以1917003<x≤26700时， f(x)= 10% t-2520=0.08x-14256 纳税的税率是20%，即144000<t≤300000 所以326700 < x ≤ 521700 时， f(x)= 20% t-16920=0.16x-40392 同理，可得出分段函数的其他部分， 所以，函数解析式为：y = 问题5：得到解析式后，我们如何由每个人的全年综合所得收入额X，求得他应缴纳综合所得个税税额为y？你体会到将实际问题转化为数学问题的好处了吗？ [生]只需要将X的值代入相应的解析式中，求出y的值即可 这样，题目中的第二问就迎刃而解了 第二问：根据解析式，当x=249600时， y=0.08×249600-14256=5712 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元 “所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元”，你认为这句话的作 用是什么？ [生]最后我们需要将数学问题中的结论还原到实际问题中。 好处：将实际问题转化为数学问题以后，我们就可以通过研究一个问题来解决一类问题，而且有利于我们研究实际问题的变化规律。 解：（1）由个人应纳税所得额计算公式， 可得t=x-60000-x( 8%+2%+1%+9% )-52800-4560=0.8x-117360 令t=0，得x=146700 根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤x≤146700时，t=0. 所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为 t(x)＝ 结合3.1.2例8的解析式③，可得 当0≤x≤146700时，t=0,y=0 当146700<x≤191700时， 0<t≤36000, 所以y=t×3%=0.024x-3520.8 当191700<x≤326700时，36000<t≤144000, 所以y=t×10%-2520=0.08x-14256 当326700<x≤521700时，144000<t≤300000, 所以y=t×20%-16920=0.16x-40392 当521700<x≤671700时，300000<t≤420000, 所以y=t×25%-31920=0.2x-61260 当671700<x≤971700时，420000<t≤660000, 所以y=t×30%-52920=0.24x-88128 当971700<x≤1346700时，660000<t≤960000, 所以y=t×35%-85920=0.28x-126996 当x>1346700时，t>960000, 所以y=t×45%-181920=0.36x-234732 所以，函数解析式为：y = （2）根据④，当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元 设计意图：这道题是教材上的例一题，通过这道例题，让学生学会阅读数学题，理解一些专业术语，并进一步培养学生的耐心、概括能力、发展学生的建模素养 解题技巧： 1.一次函数模型的应用 利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 2.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 3．分段函数注意事项 （1）分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. （2）分段函数的定义域为对应每一段定义域的并集. （3）分段函数的值域为对应每一段值域的并集. 三、课堂练习 　一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象． 解：（1）阴影部分的面积为 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km. （2）获得路程关于时间变化的函数解析式： s = 图像如图 四、举一反三 1. 某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象. 解:(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨, 则 , 令则即所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, ∴当x=6,即t=6时,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨. (2)令400+10x2-120x<80, 即x2-12x+32<0, 解得4<x<8, 即4<<8, 因为所以每天约有8小时出现供水紧张现象. 五．课堂小结 解答函数实际应用问题时,一般应怎样进行? 第一步:阅读、分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果还原到实际问题的结论中,做出解答. 解决应用问题的过程就是：实际问题 数学问题 实际问题 六、课后作业 1.（开放题）把前一天任务单上收集到的实际应用问题，挑选一道完善并做出解答 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 解：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000 ＝－(Q－300)2＋2 500， 当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元． 3.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话 费y(元)之间的函数图象如图所示： (1)月通话为100分钟时，应交话费多少元? (2)当x100时,求y与x之间的函数关系式? (3)月通话为280分钟时，应交话费多少元? 解： (1)40元； (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0) 由图上知：x=100时，y=40；x=200时，y=60 代入y=kx+b中 可得y=0.2x+20 （3）月通话为280分钟即X=280，代入y=0.2x+20中，可得y=76 所以，月通话为280分钟时，应交话费76元 ( 函数的应用（一） 复习回顾 函数模型 举一反三 例1 课堂练习 )七.板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$