3.3幂函数教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 第一学期 课题 3.3幂函数 教学目标 1. 通过具体实例，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，概括出幂函数的定义；会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数，在这个过程中提升数学抽象素养。 2. 会画的图象，能利用图象得到它们的性质，并能用代数推理进行证明，在这个过程中提升直观想象和逻辑推理素养。 3. 能用幂函数的性质解决一些简单的问题，在坐标系个过程中提升数学运算素养。 4. 通过研究幂函数，体会通过“定义、表示-图象与性质-应用”研究一类函数的思路和方法。 教学重难点 教学重点： 五个幂函数的图象与性质 教学难点： 画的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的共性。 教学过程 环节 教学内容设计 师生双边互动 创 设 情 境 问题1:阅读教材P89的具体实例（1）~（5），写出函数解析式： 1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2,这里s是a的函数; 3)如果立方体的边长为b,那么立方体的体积V=b3, 这里V是b函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c=,这里c是S的函数; 5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= km/s, 这里v是t的函数. 问：观察这五个函数的解析式，从解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？ 答：通过观察可以发现，这些解析式都具有：1.解析式都具有幂的形式。 2.幂的底数是自变量，指数是常数，也就是都是形如 师：通过实例提出问题 生：独立思考完成引例． 师：根据学生完成情况进行补充，引导学生分析归纳概括得出结论．最后指明：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是变量，指数是定值. 组 织 探 究 幂函数定义: 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数． 练习1.(多选)下列函数中是幂函数的是( ) A． B.　 B．y＝x3 C． D. D．y＝x－ 师生：共同辨析这种新函数． 师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同一次函数、二次函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项.引导学生注意辨析. 生:通过练习思考并回答.让学生能抓住幂函数的形式特点. 师:提醒学生注意幂指数,可以是实数. 环节 教学内容设计 师生双边互动 组 织 探 究 幂函数图象及性质归纳: 问题2.下面我们思考研究一类函数的一般路径是什么？ 实例——概念——图象——性质——应用 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 问题3.如何研究熟悉的的函数；；. 首先作出下列函数的图象： （1） 性质：定义域：R 值域：R 奇偶性：奇函数 单调性：在R上是增函数。 （2） 性质：定义域：R 值域：[0,+∞) 奇偶性：偶函数 单调性：在（-∞，0）上是减函数在[0,+∞)上是增函数 （3） 性质：定义域： 值域： 奇偶性：奇函数 单调性：在（-∞，0），（0,+∞)上是增函数。 问题4：如何画出的图象？ （4） 性质：定义域：R 值域：R 奇偶性：奇函数 单调性：在R上是增函数。 （5） 性质：定义域：[0,+∞) 值域：[0,+∞) 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在[0,+∞)上是增函数 师:提问如何研究一类函数从哪些方面入手. 生:思考并回答.教师评价并归纳. 生：利用所学知识和方法尝试作出三个具体幂函数的图象，观察所图象，得出幂函数性质． 师:提出问题:函数的图象特点,在学生观察的基础上,然后归纳性质. 生:思考并回答,教师补充. 师:提出问题:函数的图象特点,在学生观察的基础上,然后归纳性质. . 生:思考并回答,教师补充. 师:提出问题,函数的图象特点,在学生观察的基础上,然后归纳性质. . 生:思考并回答,教师补充. 师:引导学生运用描点法画图（例如：从定义域入手，取值、列表、描点、连线）. 生:在练习本自主作图, 师:纠正学生作图中不规范的地方,并示范作图.引导学生总结出的性质. 生:思考并回答.教师评价. 师:引导学生运用描点法画图（例如：从定义域入手，取值、列表、描点、连线）. 生:在练习本自主作图, 师:纠正学生作图中不规范的地方,并示范作图.引导学生总结出的性质. 生:思考并回答.教师评价. 师：利用几何画板作图,引导学生观察图象,完成表格. 生：认真观察图象，体会幂函数的变化规律,独立完成表格。 师生共同分析，强调画图象易犯的错误 问题5.利用几何画板作出五个幂函数的图象，并填表。 观察图象，总结填写下表： 定义域 值域 奇偶性 单调性 问题6：观察函数图象结合表格，总结它们有哪些共同性质，又有哪些不同性质？ 答：（1）函数，，，和图象都过点（1，1）； （2） 函数，， 是奇函数，函数是偶函数； （3） 在区间(0,+∞)上，函数，，， 单调递增，函数 单调递减； 在第一象限内，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的性质及图象变化规律． 师：引导学生回顾函数性质，总结共性． 生：独立思考，给出答案． 环节 呈现教学材料 师生互动设计 例 题 讲 解 问题7.如何证明例题 例：证明幂函数是增函数。 证：任取＜则 = = 因＜0，＞0 所以，即上是增函数. 师:引导学生回忆证明增函数步骤. 生:学生独立完成(教师指导学生合理变形）,请几位同学板书证明过程. 师：教师对学生证明过程进行评价并纠错.教师强调化简所运用的知识． 环节 呈现教学材料 师生互动设计 收 获 与 体 会 1．幂函数的定义是什么？ 2．幂函数的性质是什么？ 3. 归纳函数的研究内容和方法? 师：教师引导学生回顾本节课的学习内容,提出问题. 生:思考并总结,回答问题,教师补充. 作 业 1．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式． 2.根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数的单调性，并判断其奇偶性。 3.画出函数的图象,并判断函数的奇偶性,讨论函数的单调性。 4.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率(单位:)与管道半径（单位：cm）的四次方成正比. (1)写出气体流量速率关于管道半径的函数解析式; (2)若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400,求该气体通过半径为的管道时，其流量速率的表达式. (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率(精确到1）. 1. 考查学生对幂函数的定义的理解及应用. 2. 考查学生对幂函数单调性和奇偶性严格的推理证明. 3. 考查学生对研究函数的一般思路和方法的理解。 4. 考查学生对幂函数的应用问题。 。课 外 活 动 利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律． 有兴趣的同学可以完成 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加 学科网（北京）股份有限公司 $$