1.2集合间的基本关系教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.2 集合间的基本关系 教学目标 1.通过类比的数学思想，探究并总结集合之间包含与相等的含义； 2.能识别给定集合的子集与真子集，了解空集的含义； 3.能使用文字语言、图形语言（图），符号语言表达集合间关系，并进行转换。 4.本节主要通过类比和化归的数学思想，让学生深刻理解集合间的基本关系，在抽象出各个概念的过程中，主要培养学生数学抽象的核心素养。 教学重难点 教学重点： 1.理解集合间包含关系与相等关系的含义，会用符号语言和图形语言表示集合间的基本关系； 2.会求解集合的子集与真子集； 教学难点： 1.能区别“属于、包含、真包含”的概念及其符号表示； 2.理解空集的含义 教学过程 一、新课导入 世间万物都是普遍联系的。集合既然可以包罗万物，那么集合与集合之间肯定存在一定的联系。我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢？这节课，我们共同探索一下集合间的基本关系。 【设计意图】：通过类比实数导入新课，既符合学生的认知规律，同时也渗透类比学习的数学思想方法，温故而知新。 二、探索新知 1.思考题 思考1 师：观察下面几个例子，类比实数间的大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1） ； （2） C为立德中学高一（5）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； 生：经过观察，我们可以得出，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，但集合B中的元素4,5，不是集合A中的元素。集合C中全体女生都是这个班的学生，因而集合C中的元素都是集合D中的元素，但班级不仅仅有女生，因而集合D中存在集合C中没有的元素。 思考2 师：再观察下面几个例子，每组两个集合之间都有思考1中集合的关系吗？为什么？ （1） ,； （2） M=N=； 生：经过观察我们发现，集合F中不等式的解集为，因此集合E，F表示的都是-1到1的所有实数组成的集合，所以集合E中的元素与集合F中的元素相同，即两集合E,F相等。 对于集合M，有两边相等的三角形就是等腰三角形，等腰三角形也是有两边相等的三角形。因而集合M=集合N. 【设计意图】：通过具体的实例说明集合的间的包含关系，培养了学生观察、分析、归纳的能力，同时也遵循知识学习的循序渐进原则。 2.师：从上述两个思考题我们可以看出，两个思考题描述的是两种不同的集合关系。如果我们去寻找这两种关系的共性，会发现，，集合A,C,E,M中的元素都是集合B,D,F,N中的元素。于是我们抽象出子集的定义。 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A含于B（或B包含A）． 师：如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作 A ⊈B(或 B ⊉A)，大家注意不包含符号的写法。例如：集合A={1,2,3}不是集合B={2,3,4,5,6}的子集. 【设计意图】：让学生自己举例 ，一方面加强学生对集合间包含关系的掌握，一方面让学生对所学知识进行灵活地运用。 集合之间的关系，我们除了可以用文字语言来表示，也可用符号语言和图形语言来表示。 包含关系可用符号语言表示为： 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 包含关系的图形语言如图所示。 接下来，我们用恰当的符号填空。0__N, -5__R, R____N, Z____Q 0是自然数，因而0属于自然数集。-5是实数，因而-5属于实数.实数集包含自然数集.整数集包含于有理数集。 大家思考，属于和包含的区别是什么呢？ 生：属于表示的是元素和集合之间的关系，包含表示的是集合与集合之间的关系。 3.对于思考2中的两组集合，由集合相等的定义可知，E=F,M=N.其实，类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”，我们也可以用子集的概念对两个集合的相等作进一步的数学描述：一般地,对于两个集合E与F,集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中的任何一个元素也都是集合E中的元素。这样，集合E中的元素与集合F中的元素是一样的。因此，集合E与集合F相等，记作：E=F 4.集合相等我们也可以用符号语言表示： 如此定义给与我们的启示为，如要证明两集合相等，除了可以根据定义证明两集合的元素相同以外，还可以证明两集合是相互包含的. 图形语言如图所示。 5.由上述集合的包含关系可知，只要集合A中的元素都是集合B中的元素，则，不管集合B中的元素是否属于A。所以，若存在集合M,N，且集合M是集合N的子集，有可能集合N中存在集合M中没有的元素，也可能集合M与集合N相等。因而，子集的定义是单向的。如果我们双向考虑集合中元素的从属关系，可以概括出集合间真包含的关系。 如果集合，但存在元素x ∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作,读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。 理解真子集概念时，需明确：集合A是B的真子集，首先必须满足集合A是B的子集，其次要满组在集合B中至少存在一个元素不属于集合A。 6.符号语言表示为： 图形语言如图所示。 7.师：大家来看这两个集合：,这两个集合中的元素有什么特点？ 生：这两个集合中的元素都不存在。 师：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 。并规定：空集是任何集合的子集。 你能举一些空集的例子吗？ 我们一起来观察三个集合 集合A中，既是三角形又是平行四边形的图形是不存在的； 集合B中，不存在同时大于1且小于0的数 集合C中，二元一次方程组是无解的 因而可得，这三个集合都是空集。 【设计意图】：空集概念较抽象，可通过实际的例子让学生体会，使抽象的概念建立在学生直观的认知上。 8. 综合集合间的基本关系可得： 并且由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： （1）任何一个集合是它本身的子集，即. （2）对于集合如果，且，那么.体现了集合包含关系的传递性。 三、自主探究 例1 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？ 解：集合{a,b}的所有子集为； 真子集为. 引申：（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （2）根据子集的定义，集合A是集合B的子集，包含以下几个方面：A为空集，A是B的真子集，A=B. 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1） A={1,2,3},B={x|x是8的约数}； （2） A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形} . 解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 四、课后作业 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$