2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

等式性质与不等式性质 年 级：高一 学 科：数学（人教A版） 1 等式性质与不等式性质 2 2021年全国体操锦标赛 女子个人全能： 自由体操、高低杠、平衡木、跳马 3 回顾梳理 等式的基本性质 性质1 如果 ，那么 ； 性质2 如果 ， ，那么 ； 相等关系的特性 对称性 传递性 【问题1】梳理的同时，请思考：等式的基本性质具备什么共性吗？ 4 性质3 如果 ，那么 ； 性质4 如果 ，那么 ； 性质5 如果 ， ，那么 . 运算中的不变性 回顾梳理 等式的基本性质 5 新知探究 性质1 如果 ，那么 ； 性质2 如果 ， ，那么 ； 性质3 如果 ，那么 ； 性质4 如果 ，那么 ； 性质5 如果 ， ，那么 . 等式的基本性质 猜想不等式的基本性质 类比 猜想1 如果 ，那么 ； 猜想2 如果 ， ，那么 ； 猜想3 如果 ，那么 ； < > > 猜想4 如果 ，那么 ； ? ? 猜想5 如果 ， ，那么 . 6 不等式的基本性质—不等关系自身的特性 性质1 如果 ，那么 ；如果 ，那么 . 即 . 【问题2】可以尝试证明这两个性质吗？ 提示：性质1可借助实数的基本事实（正数的相反数是负数）. “相反性” 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 传递性 新知探究 7 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 传递性 分析： 不等式的基本性质—不等关系自身的特性 从结论出发： 结合已知条件： 新知探究 8 证明：由两个实数大小关系的基本事实知 不等式的基本性质—不等关系自身的特性 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 传递性 新知探究 9 性质1 如果 ，那么 ； 性质2 如果 ， ，那么 ； 性质3 如果 ，那么 ； 性质4 如果 ，那么 ； 性质5 如果 ， ，那么 . 等式的基本性质 猜想不等式的基本性质 类比 猜想1 如果 ，那么 ； 猜想2 如果 ， ，那么 ； 猜想3 如果 ，那么 ； < > > 猜想4 如果 ，那么 ； ? ? 猜想5 如果 ， ，那么 . 已验证 已验证 新知探究 10 【问题3】加、减、乘、除四则运算所对应的性质，可以适当合并吗？ 不等式的基本性质—运算角度 提示：加、减——加； 乘、除——乘. 猜想3 如果 ，那么 ； > 猜想4 如果 ，那么 ； ? ? 猜想5 如果 ， ，那么 . 新知探究 11 性质3 如果 ，那么 . 图形语言 动态直观 新知探究 不等式的基本性质—运算角度 12 性质3 如果 ，那么 . 【问题4】 对吗？为什么？ 新知探究 不等式的基本性质—运算角度 13 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 性质4 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ，那么 . 自然语言 直白表达 猜想4 如果 ，那么 ； ? ? 猜想5 如果 ， ，那么 . 新知探究 不等式的基本性质—运算角度 14 性质1 如果 ，那么 ； 性质2 如果 ， ，那么 ； 性质3 如果 ，那么 ； 性质4 如果 ，那么 ； 性质5 如果 ， ，那么 . 等式的基本性质 猜想不等式的基本性质 类比 检验 不等式的基本性质 性质1 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 . 即 . 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 性质3 如果 ，那么 . 性质4 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ，那么 . 猜想1 如果 ，那么 ； 猜想2 如果 ， ，那么 ； 猜想3 如果 ，那么 ； < > > 猜想4 如果 ，那么 ； ? ? 猜想5 如果 ， ，那么 . 已验证 已验证 已验证 已验证 已验证 新知探究 15 不等式的基本性质 性质1 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 . 即 . 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 性质3 如果 ，那么 . 性质4 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ，那么 . 【问题5】你能尝试使用代数证明的方法来证明性质1、3、4吗？ 追问：从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解。你能使用文字语言和图形语言来表述这些性质吗？ 新知探究 16 【问题6】由上述不等式的基本性质，还能推导出哪 些不等式的性质呢？请大家大胆猜想，并 依据上述四条基本性质以及关于实数的基 本事实，检验你的猜想. 不等式基本性质的初步应用 新知探究 17 不等式基本性质的初步应用 ——不等式的一些其他常用性质 性质5 如果 ， ，那么 . 性质6 如果 ， ，那么 . 性质7 如果 ，那么 . 新知探究 18 【问题7】思考如何推导性质5？ 提示：利用两个实数大小关系的基本事实，作差法. 性质5 如果 ， ，那么 . 新知探究 不等式基本性质的初步应用 ——不等式的一些其他常用性质 19 追问1：可以利用刚学习的不等式的基本性质来证明吗？ 性质5 如果 ， ，那么 . 分析： 两种思路 继续 新知探究 20 性质5 如果 ， ，那么 . 分析： 从哪里来？ 证明： 性质3 性质2 新知探究 21 性质5 如果 ， ，那么 . 找“中介” 追问2： 通过上述证明过程中的这一步骤，你能总结出其中蕴含的证明不等式的方法吗？ 性质2 追问3：请你按照分析中的第二种思路再次进行证明，这时的“中介”是什么？ 新知探究 22 性质5 如果 ， ，那么 . 追问4：再看看性质3与性质5，它们有什么区别与联系？ 性质3 如果 ，那么 . 新知探究 23 【问题8】请类比性质5的研究方法，尝试证明性质6. 性质6 如果 ， ，那么 . 性质5 如果 ， ，那么 . 提示：借助性质4和性质2完成证明. 追问：性质6中为什么要求 ？ 新知探究 不等式基本性质的初步应用 ——不等式的一些其他常用性质 24 【问题9】性质7与性质6有什么关系？ 性质6 如果 ， ，那么 . 性质7 如果 ，那么 . 提示：考虑性质6中c,d的取值. 新知探究 不等式基本性质的初步应用 ——不等式的一些其他常用性质 25 例题：已知 ，求证 . 分析： ？ 不等式两边同时乘 简单应用 26 例题：已知 ，求证 . 证明： 因为 ， 所以 ， ， 于是 ， 即 . 由 ，得 . 【问题10】这道例题还有其他证明方法吗？ （性质4） （性质4） 简单应用 27 课堂小结 相等关系 不等关系 等式 不等式 等式的基本性质 类比 不等式的基本性质 28 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 课堂小结 29 不等式的一些其他常用性质 课堂小结 初步应用 相等关系 不等关系 等式 不等式 等式的基本性质 类比 不等式的基本性质 30 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5： 性质6： 性质7： 课堂小结 31 不等式的一些其他常用性质 不等式性质的简单应用 课堂小结 初步应用 相等关系 不等关系 等式 不等式 等式的基本性质 类比 不等式的基本性质 32 从结论出发 结合已知条件 性质2 如果 ， ，那么 . 即 . 分析： 例题：已知 ，求证 . 分析： ？ 不等式两边同时乘 寻 求 联 系 课堂小结 33 应用不等式的性质证明命题的一般思路： 发展条件 转化结论 寻求联系 课堂小结 34 课后作业 1. 证明不等式性质1，3，4，6. 2. 用不等号 或 填空： （1）如果 ， ，那么 ； （2）如果 ， ，那么 ； （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . 3. 已知 ， ，求 的取值范围. 4. 已知 ， ， ，求证 . 35 再 见 36 $$