空间直线、平面的平行 讲义-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 　第三节　空间直线、平面的平行 一、课标要求 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-15分 【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言 2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用 3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用 【命题预测】 本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，需强化巩固复习. 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质是高考考查的热点，一般不会单独考查，而是常常与直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质融合在一起共同考查． 三、知识梳理 1. 常见立体几何的定义、性质及其关系 （1） 棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等） （2） 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱 （3） 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 （4） 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 （5） 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形 2. 四个公理与一个定理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3. 空间中点线面的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 4. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 [常用结论] 1．三种平行之间的转化关系 2．关于线面平行、面面平行的七个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 四、课堂考点突破 考点一　直线与平面平行的判定与性质定理 题型一　直线与平面平行的判定定理 [例1]　如图所示，已知四棱锥P－ABCD，BC∥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.证明：CE∥平面PAB. 题型二　直线与平面平行的性质定理 [例2]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. 变式训练 1.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l. 证明：（1）DF∥平面PBE； （2）DF∥l. 考点二　平面与平面平行的判定与性质定理 [例3]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. 变式训练 2.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. （1）求证：AP∥平面BEF； （2）求证：GH∥平面PAD. 考点三　空间平行关系中的探索性问题 题型一　探索点满足的条件 [例4]　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH边上及其内部运动，则M只需满足条件　　　　时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点.（填写一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况） 题型二　探索点是否存在 [例5]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE？证明你的结论. 变式训练 3.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，则点Q满足条件　　　　时，有平面D1BQ∥平面PAO. 4.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC. 设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，则线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE？ 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是(　　) A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　　) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 5．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A．MF∥EB B．A1B1∥NE C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　) A. B. C. D．[，] 二、多项选择题 7．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　) 8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 三、填空题 9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________． 11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________． 12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________． ①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF. 四、解答题 13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积． 14．如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． (1)求证：GH∥BF； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第七章　立体几何与空间向量 _____________________________________________________________________________________________________ 　第三节　空间直线、平面的平行 一、课标要求 1.以立体几何的定义、4个基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-15分 【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言 2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用 3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用 【命题预测】 本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，需强化巩固复习. 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质是高考考查的热点，一般不会单独考查，而是常常与直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质融合在一起共同考查． 三、知识梳理 1. 常见立体几何的定义、性质及其关系 （1） 棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等） （2） 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱 （3） 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 （4） 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 （5） 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形 2. 四个公理与一个定理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3. 空间中点线面的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 4. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 [常用结论] 1．三种平行之间的转化关系 2．关于线面平行、面面平行的七个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 四、课堂考点突破 考点一　直线与平面平行的判定与性质定理 题型一　直线与平面平行的判定定理 [例1]　如图所示，已知四棱锥P－ABCD，BC∥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.证明：CE∥平面PAB. [证明]　设PA的中点为F，连接EF，FB（图略）. 因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EF∥AD，且EF＝AD.又因为BC∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC，且EF＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB. 题型二　直线与平面平行的性质定理 [例2]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH. [证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是AC的中点. 又M是PC的中点，所以AP∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， 所以PA∥平面BMD. 又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且PA⊂平面PAHG， 所以PA∥GH. 变式训练 1.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l. 证明：（1）DF∥平面PBE； （2）DF∥l. 证明：（1）取PB中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC. 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD， 所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE.因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE， 所以DF∥平面PBE. （2）由（1）知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. 考点二　平面与平面平行的判定与性质定理 [例3]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG. [证明]　（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1.又B1C1∥BC， 所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面. （2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 又因为G，E分别为A1B1，AB的中点， 所以A1G∥EB且A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 又因为A1E∩EF＝E，A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 变式训练 2.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. （1）求证：AP∥平面BEF； （2）求证：GH∥平面PAD. 证明：（1）如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP. 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF. （2）连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点， 所以FH∥PD. 因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD， 所以FH∥平面PAD. 又因为O是AC的中点，H是CD的中点， 所以OH∥AD. 因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， 所以OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF， 所以平面OHF∥平面PAD. 又因为GH⊂平面OHF， 所以GH∥平面PAD. 考点三　空间平行关系中的探索性问题 题型一　探索点满足的条件 [例4]　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH边上及其内部运动，则M只需满足条件　　　　时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点.（填写一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况） [答案]　M与H重合（答案不唯一） [解析]　因为H，N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD（图略），易知BD∥HN. 又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1，故HN∥平面B1BDD1，故不妨取M点与H点重合便符合题意. 题型二　探索点是否存在 [例5]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F，使得B1F∥平面A1BE？证明你的结论. [解]　在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE. 如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG. 因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 因此D1C∥A1B. 又E，G分别为D1D，CD的中点， 所以EG∥D1C，从而EG∥A1B， 所以A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE. 因为四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点， 所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B， 因此四边形B1BGF是平行四边形， 所以B1F∥BG， 而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE， 故B1F∥平面A1BE. 变式训练 3.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，则点Q满足条件　　　　时，有平面D1BQ∥平面PAO. 答案：Q为CC1的中点 解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO.又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO. 4.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC. 设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，则线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE？ 解：存在.如图所示，在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中，过点G作GN∥BC交EC于点N，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE. 因为MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以MG∥平面ADE. 同理，GN∥平面ADE，又GN∩MG＝G，GN，MG⊂平面MGN，所以平面MGN∥平面ADE. 因为MN⊂平面MGN，所以MN∥平面ADE， 所以点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点. 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是(　　) A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 答案　C 解析　垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明． 2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 答案　B 解析　由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　　) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 答案　C 解析　如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点， 则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD， 所以NE∥平面PBD， 同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行， 由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内， 所以与平面PBD平行的直线有6条． 4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝. 5．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A．MF∥EB B．A1B1∥NE C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形 答案　D 解析　由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF， M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误； 由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误； ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1， BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN， 故四边形AMNB为平行四边形， ∴MN∥AB. 又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB， 显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN， ∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确． 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　) A. B. C. D．[，] 答案　B 解析　如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A1M＝A1N＝＝， MN＝＝， 所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以≤|A1P|≤，所以线段A1P长度的取值范围是. 二、多项选择题 7．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　) 答案　AC 解析　对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF， DE⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故A正确； 对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误； 图1 对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴直线AB与平面DEF平行，故C正确； 对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD， 图2 又D为BC的中点，∴AB∥OD， ∵OD与平面DEF相交， ∴直线AB与平面DEF相交，故D错误． 8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 答案　ACD 解析　由题图，显然A正确，B错误； 对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C正确； 因为水是定量的(定体积V)， 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V， 所以BE·BF＝(定值)，故D正确． 三、填空题 9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 答案　 解析　∵α∥β，∴CD∥AB，则＝， ∴AB＝＝＝. 10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________． 答案　矩形 解析　因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF， 所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG. 同理HE∥GF， 所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF， 所以平行四边形EFGH为矩形． 11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________． 答案　A，B，C1(答案不唯一) 解析　由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台， 可得平面ABC∥平面A1B1C1， 当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时， 又平面α∩平面ABC＝AB， 所以由面面平行的性质定理可知m∥AB， 所取的这3个点可以是A，B，C1. 12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________． ①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF. 答案　①③ 解析　对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AF∥BC， ∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴AF∥平面BCD，故①正确； 对于②，取DF的中点G，连接EG，CG， ∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC， ∴EG＝BC，EG∥BC， ∴四边形BCGE为梯形， ∴直线BE与直线CG相交， ∴BE与平面CDF相交，故②错误； 对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴O是AC的中点， ∴OE∥CD， ∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF， ∴CD∥平面BEF，故③正确． 四、解答题 13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积． (1)证明　设AF＝tAC， 则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋， 因为BF⊥AO，所以·＝[(1－t)＋t]· ＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点， 又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点， 于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO， 又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)解　如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M， 因为PB＝PC，O是BC中点， 所以PO⊥BC， 在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝， 所以PO＝＝＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB， 所以OF⊥BC， 又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM， 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC， 即三棱锥P－ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以PM＝POsin 60°＝2×＝， 又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2， 所以V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝. 14．如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． (1)求证：GH∥BF； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由． (1)证明　连接BD， ∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点， 则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF. (2)解　存在，P是线段CD的中点，理由如下： 由(1)可知，GH∥BF， GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP， ∴BF∥平面GHP，连接PG，PH， ∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF， HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP， ∴CF∥平面GHP， BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF， 故平面GHP∥平面BCF. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$