精品解析：甘肃省环县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

环县一中2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解. 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 2. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可. 【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子. 故选：D． 3. 已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率公式可求得实数的值. 【详解】因为直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又因为直线过点、，由斜率公式可得，解得. 故选：D. 4. 已知向量，点，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示直接运算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，，， 故选：D. 5. 在等差数列中，已知，公差，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，且，公差，， 可得，解得. 故选：D. 6. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆． 【详解】方程化为标准方程为，有，∴．. 故选：B 7. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 8. 数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，然后结合等比数列的通项公式可求出公比. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，， 故， 故， 故选：A 9. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得. 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 10. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下，个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环最少移动的次数为（ ） A. 7 B. 14 C. 5 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系逐步求解即可. 【详解】由条件可得， 所以解下4个圆环需最少移动7次， 故选：A. 11. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为点、、， 则，，， 所以，是正三角形，如下图所示： 设、、分别为边、、的中点，则、、， 则，，， 过点分别作、，垂足分别为点、， 因为，，则， 因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点， 设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、， 易得、、、、、， 由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心， 且， 同理可得， 因此，等边的泰勒圆的方程为， 故选：C. 12. 已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，数形结合求解即可. 【详解】解：如图，因为过点的直线与线段有公共点， 所以直线的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间， 因为点在直线上， 所以点是直线与直线的交点， 由图可知点的轨迹为线段， 由于，故直线的方程为，与联立得，即 所以实数的取值范围为 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 【答案】AB 【解析】 【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：， 则，所以； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：， 把P（1，1）代入直线方程得：，解得：, 所以直线方程为：. 故满足条件的直线方程为：或. 故选：AB. 14. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作圆关于轴对称的圆，根据对称关系，结合三角形三边关系可确定最小值为，由此可得结果. 【详解】由题意知：圆是以为圆心，为半径的圆；圆是以为圆心，为半径的圆； 作圆关于轴对称的圆，则圆； 则（当且仅当三点共线时取等号）， ，， ，，AB的取值不可能，CD的取值可能. 故选：AB. 15. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对A：. ，A项正确； 对B：. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 16. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系可知数列是以为周期的周期数列，根据周期性依次推导各个选项即可. 【详解】， ， 数列是以为周期的周期数列； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，， ，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 17. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【详解】考点：两条平行直线间的距离． 分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可． 解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==． 故答案为． 18. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果. 【详解】由题意画出图形，如图所示， 因为，且是向量在上的投影， 所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键. 19. 已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的单调性列式求解 【详解】由题意得数列单调递减，则 解得， 故答案为： 20. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如下图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，，即. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 21. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点和斜率，根据直线垂直的斜率关系，可得线段的垂直平分线的方程； （2）由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解. 【详解】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，整理为. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为. 由已知得，则直线的斜率为. 22. 如图，已知平行六面体中，，，，. （1）证明：； （2）求的长度. 【答案】（1） 平行六面体中，设，，， ，， 由，， 得，， 则， 因此，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取空间的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律计算推理即得. （2）由（1）中信息，利用空间向量数量积及运算律计算模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意， ， 因此 ， 所以的长度为. 23. 在前项和为的等差数列中，． （1）求数列的首项和公差； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1）首项为18，公差为 （2）7 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件得到的方程组，再解方程组可得答案； （2）由（1）知，令，结合可得答案． 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意有， 解得， 故数列的首项为18，公差为； 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， 又，则的最大值为7． 24. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 【答案】（1） （2）垂直 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小； （2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直． 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,， ,0,，,2,， 设直线与所成角为， 则，， 直线与所成角的大小为； 【小问2详解】 直线与平面垂直，理由如下： 由（1）知,2,，,0,， ，， ，， ，、平面， 直线与平面垂直． 25. 已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明如下： 由，，可得， 因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列， （2）. 【解析】 【分析】（1）将变形为，得到为等比数列， （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得 【详解】（1）略 （2）由（1），由，可得， ， ， 上面两式相减可得： ， 则． 【点睛】数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． (4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26. 如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 因为底面底面， 所以. 因为，所以. 取的中点，则，所以. 由得，，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）易证，再结合勾股定理可证，进而可证平面，即可求证； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用二面角的向量法确定点，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）及条件可知，两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以 设，则，所以 . 设平面的一个法向量为， 由得取， 设平面的一个法向量为， 由得取， 所以， 令，则，整理得， 解得. 由，解得（负值舍去）， 即. 27. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） 由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得. （2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 28. 已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C. （1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值； （2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值. 【答案】（1）或（2）1 【解析】 【分析】(1)根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出； (2)联立方程，消 y可得 设，整理后代入根与系数关系求解实数k的值. 【详解】圆N的圆心为(-4, 0)，故可设圆M的方程为(x+4) 2+y2=r2, 则 圆M的标准方程为(x+4) 2+y2=1, 直线被圆M截得的弦长为 ， M到直线的距离 ， 或. （2）联立方程，消 y可得， 设， 则 ， 解得或（不满足，舍去）， 【点睛】关键点点睛：直线与圆相交时，涉及弦长问题，一般可考虑弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解，一般可起到事半功倍的效果，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，点，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，已知，公差，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 10. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下，个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环最少移动的次数为（ ） A. 7 B. 14 C. 5 D. 16 11. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 14. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 16. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 17. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 18. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 19. 已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是_________． 20. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 21. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 22. 如图，已知平行六面体中，，，，. （1）证明：； （2）求的长度. 23. 在前项和为的等差数列中，． （1）求数列的首项和公差； （2）当时，求的最大值． 24. 在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点. （1）求直线与所成角的大小； （2）判断直线与平面的关系. 25. 已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 26. 如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长. 27. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 28. 已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C. （1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值； （2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $