2.5.2课时3 圆与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 第二章 直线和圆的方程 课时3 圆与圆的位置关系 新知探究 探究一：圆与圆的位置关系 情境设置 这是在某地12月24日拍到的日环食的全过程.可以用两个圆来表示上述变化过程. 思考：根据上图，结合平面几何知识，判断圆与圆的位置关系有几 种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？ 2 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系： 外离，没有公共点 外切，一个公共点 相交，两个公共点 内切，一个公共点 内含，没有公共点 3 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为𝑑 ，则两圆的位置关系的 判定方法如下： 优点：直观，能够准确判断两圆的位置关系 缺点：不能求出两圆的交点． 0个公共点 外离 4 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为𝑑 ，则两圆的位置关系的 判定方法如下： 0个公共点 内含 5 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为𝑑 ，则两圆的位置关系的 判定方法如下： 1个公共点 外切 6 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为𝑑 ，则两圆的位置关系的 判定方法如下： 1个公共点 内切 7 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为𝑑 ，则两圆的位置关系的 判定方法如下： 2个公共点 相交 8 新知生成 知识点一 圆与圆的位置关系 2.圆与圆位置关系的判定 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆的方程 相交 (消元)一元二次方程 内外切 圆的方程 内外离 优点：能求出两圆的交点 缺点：当或，不能判断出两圆的确切的位置关系 9 一、圆与圆的位置关系 例题1 若圆与圆外切，则 ( ) . A.21 B.19 C.9 D.−11 【解析】因为可化为 , 所以，得，且圆的圆心为,半径为 .根据圆与圆外切的判定，可得，解得 .故选C. C 10 反思感悟 方法总结 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)； (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长，； (3)求两圆的圆心距； (4)比较与， 的大小关系； (5)根据大小关系确定位置关系. 11 新知运用 跟踪训练1 两圆， ( ) . 【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是 ，，所以两圆的圆心分别为 ， ，半径分别为，，则 ， ，，故 ，两圆相交. (法二：代数法)联立方程得解得或 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交. C 12 新知探究 探究二：圆与圆位置关系的应用 情境设置 已知两圆，. 思考：你能判断出两圆的位置关系吗？ 13 新知生成 知识点二 圆与圆位置关系的应用 1.将两个相交的圆的方程相减，可得一直线方程，该直线经过两圆的公共点.经过两个相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 2.两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的 直角三角形，根据勾股定理求解. 14 二、圆与圆位置关系的应用 课本P96 已知圆,圆,试判断圆与圆的位置关系. 【解析】解法1:将圆与圆的方程联立,得到方程组 (1)-(2),得 (公共弦方程) 由(3),得 把上式代人(1),并整理,得 方程(4)的根的判别式 所以,方程(4)有两个不相等的实数根.把分别代人方程(3),得到. 因此圆与圆有两个公共点,,这两个圆相交. 15 二、圆与圆位置关系的应用 课本P96 已知圆,圆,试判断圆与圆的位置关系. 【解析】解法2:把圆的方程化成标准方程,得 圆的圆心是,半径. 把圆的方程化成标准方程,得 圆的圆心是,半径. 圆与圆的连心线的长为 圆与圆的两半径之和,两半径长之差. 因为,即,所以圆与圆相交,它们有两个公共点. 16 二、圆与圆位置关系的应用 例题2 已知圆和 . 求证：圆和圆相交. 求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 【解析】(1) 圆的圆心为，半径为 . 圆的圆心为，半径为 .所以两圆的圆心距 ，， ， 所以，故圆和 相交. (2)将圆和圆的方程相减，得 ， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ，所以圆心 到直线的距离为 ，故公共弦长为 . 17 反思感悟 方法总结 求公共弦步骤： (1)本题可先通过圆和圆的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差的绝对值作对比，即可得出结果； (2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程，再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果. 18 新知运用 跟踪训练2 已知两圆和 . (1)判断两圆的位置关系； (2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长. 【解析】(1) 联立方程得消去，整理得 ， ①则 ，所以两圆相交. （2）两圆的方程作差得 ，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ，由①得，， 代入上式得， ，所以两圆交点坐标为， ，由两点间的距离公式得 ，所以所求弦长为 . 19 新知探究 探究三：圆的切点弦问题 情境设置 思考：过圆外一点作圆的两条切线,求过点的直线方程？ 20 新知生成 知识点三 圆的切点弦方程 过圆外一点作圆的两条切线,则过点的直线方程为. 21 三、圆的切点弦问题 例题3 过点作圆的两条切线,切点分别为，，求直线的方程. 【解析】圆的圆心为，半径 ， 设，则 ， 所以切线长为 ， 以点为圆心，为半径的圆的方程为 ， 即 ， ① 圆的一般式方程为 ， ② 得，直线的方程为 ， 即 . 22 四、圆的轨迹方程 课本P97 已知圆的直径,动点与点的距离是它与点的距离的倍.试探究点的轨迹,并判断该轨迹与圆的位置关系. 【解析】以线段的中点为原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.由,得. 设点的坐标为,由,得 化简,得,即. 所以点的轨迹是以为圆心,半径为的一个圆. 因为两圆的圆心距为,两圆的半径分别为, 又,所以点的轨迹与圆相交. 23 五、圆的参数方程 例题5 已知点，圆，过点的动直线与圆交于， 两点，线段𝐴𝐵的中点为𝑀，𝑂 为坐标原点． (1)若点𝑀与点𝑃重合，求直线𝑙 的方程； (2) 求点的轨迹方程，以及 的最大值． 【解析】(1) 圆，即 ，圆心为，半径 . 若点与点重合，则 ， 所以，所以 ，所以直线的方程为，即 . (2) 设点，则， .由题意可知 ， 则 ， 即 .因为点在圆的内部， 所以点的轨迹方程为 ． 设 ，则， ， 所以 ， 当，即时， 取得最大值，此时最大值为12． 24 随堂检测 1. 圆与圆的内公切线有且仅有( ) . A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程 是( ) . A. B.或 C. D.或 3. 已知圆与圆相交于，两点，则公 共弦𝐴𝐵 的长度是___. B D 25 随堂检测 4. 已知以为圆心的圆与圆相切，求圆 的方程. 【解析】设圆的半径为 ，圆心距 . 当圆与圆外切时，，即 ； 当圆与圆内切时，，即 ， 圆的方程为或 . 26 课堂小结 1.知识清单： (1)圆与圆的位置关系； (2)圆与圆的位置关系的应用； (3)圆的切点弦问题. 27 $$