2.5.2 直线与圆的方程的应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 第二章 直线和圆的方程 课时2 直线与圆的方程的应用 一、直线与圆的方程的应用 课本P93 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度,拱高,建造时每间隔需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确到). 【解析】解：建立如图所示的直角坐标系,使线段所在直线为轴,为坐标原点,圆心在轴上.由题意,点的坐标分别为,.设圆心坐标是,圆的半径是,那么圆的方程是 下面确定和的值. 因为两点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程.于是,得到方程组解得 所以,圆的方程是 把点的横坐标代人圆的方程,得 即的纵坐标,平方根取正值).所以 答：支柱的高度约为. 2 一、直线与圆的方程的应用 例题1 一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，求水面宽为多少米？ 【解析】以圆拱拱顶为坐标原点，以水平且与圆拱相切的直线为𝑥 轴， 以过拱顶的竖线为𝑦 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设圆的方程为（其中 为圆的半径）， 因为拱顶离水面2米，水面宽12米，将代入圆的方程中，解得 ， 所以圆的方程为 ， 当水面下降2米后，设 ，并将其代入圆的方程中， 得，解得 ，所以水面宽为16米． 3 一、直线与圆的方程的应用 课文P94 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处,港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险? 【解析】以小岛的中心为原点,东西方向为轴,建立如图2.5-5所示的直角坐标系.为了运算的简便,我们取 为单位长度,则港口所在位置的坐标为,轮船所在位置的坐标为. 这样,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 轮船航线所在直线的方程为 联立直线与圆的方程,得 消去,得 由,可知方程组无解. 所以直线与圆相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险. 4 反思感悟 方法总结 (1)根据两点间距离公式求解； (2)先用待定系数法求出圆的方程和直线的方程，再根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 5 新知运用 跟踪训练1 如图，某海面上有，，三个小岛（面积忽略不计），岛在岛的北偏东 方向处，岛在 岛的正东方向 处. (1)以𝑂为坐标原点，𝑂的正东方向为𝑥轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系，写出𝐴，𝐵 的坐标，并求𝐴，𝐵 两岛之间的距离; (2)已知在经过𝑂,𝐴,𝐵 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西 方向距岛处，正沿着北偏东方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险？ 【解析】(1) 因为在的北偏东 方向处，在的正东方向处，所 以， ，由两点间的距离公式得 . (2)设过，，三点的圆的方程为，将 ， ，分别代入上式得解得 ，圆心坐标为，半径 . 设船起初所在的位置为点，则 ，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式得该船的航线为直线 ，所以圆心到 的距离 ，所以该船有触礁的危险. 6 二、坐标法在直线与圆的方程中的应用 例题2 如图，在中， ，， ，过点作的外接圆的切线交线段的延长线于点 ，则线段的长是多少？ 【解析】如图，建立平面直角坐标系，则𝐴， ， 所以的中点坐标为， ， 所以圆的方程为 ，所以切线 的方程为 ， 整理得，所以点的坐标为，， 所以 . 7 反思感悟 方法总结 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为𝑥轴和𝑦 轴； (2)充分利用图形的对称性； (3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称； (4)关键点的坐标易求得. 8 新知运用 跟踪训练2 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍 轮船从位于海监船正东方向40km的𝐴处出发径直驶向位于海监船正北方向30km的𝐵 处岛屿，船速为10km/h，则这艘外籍轮船能被海监船监测到的持续时间为( ) h . A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】如图，根据题意，以海监船的位置为坐标原点，其正东方 向为𝑥轴的正半轴，正北方向为𝑦 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 则，，圆， ，即 . 因为点到的距离为 ，所以与圆相交，且交点为， ， 所以 ，所以监测持续时间为 . B 9 随堂检测 1. 一涵洞的横截面是半径为5m 的半圆，则该半圆的方程是( ) . A. B. C. D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化 2.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车 篷的篷顶距离地面的高度最高约为( ) . A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 3. 设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路的方程可 用𝑥−𝑦+2=0 表示，则从村庄外围到小路的最短距离为______． D B 10 随堂检测 4. 直线与坐标轴的交点为，，以线段为直径的圆 . (1)求圆𝐶 的标准方程； (2) 若直线与圆交于，两点，求 . 【解析】(1) 直线与坐标轴的交点为， .因为以线段 为直径的圆经过点，所以，所以 ，解得 ，所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径 ， 圆的标准方程为 . (2)因为圆心到直线的距离为 ， 所以 . 11 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与圆的方程的应用； (2)坐标法在直线与圆的方程中的应用； 12 $$