2.5.1直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 第二章 直线和圆的方程 课时1 直线与圆的位置关系 新知探究 探究一：直线与圆的位置关系 情境设置 思考：直线与圆的位置关系有几种？ 相交 相切 相离 2 新知生成 知识点一 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系： 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 2个 1个 0个 与的关系 3 新知生成 知识点一 直线与圆的位置关系 2. 直线与圆 的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离 = 代数法：直线方程与圆的方程联立，消元得到 一元二次方程的根的判别式Δ 0 0 0 4 一、直线与圆的位置关系 例题1 (1)(多选题)已知直线 与圆，点 ，则下列说法正确的是( ) . A.若点𝐴在圆𝐶上，则直线𝑙与圆𝐶相切 B.若点𝐴在圆𝐶内，则直线𝑙与圆𝐶 相离 C.若点𝐴在圆𝐶外，则直线𝑙与圆𝐶相离 D.若点𝐴在直线𝑙上，则直线𝑙与圆𝐶 相切 【解析】圆心到直线的距离，若点在圆C上，则 ， 所以，则直线与圆C相切，A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线与圆C相离，B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线与圆C相交，C错误； 若点在直线上，则，即，所以， 则直线与圆C相切，D正确.故选 . ABD 5 一、直线与圆的位置关系 例题1 (2)(多选题) 设点，，若直线关于的对称直线与圆有公共点，则的取值范围是_______. 【解析】由题可知，关于直线的对称点为. 因为 ，所以直线关于直线的对称直线为 ， 所以， 整理可得，解得 . 6 反思感悟 方法总结 判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离𝑑与圆的半径𝑟 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 7 新知运用 跟踪训练1 (1) 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是( ) . A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2) 已知圆上存在点，直线上存在点 ，若使得,则实数的取值范围为( ) . A. B. C. D., 【解析】(1) 点在圆外， ， 圆心到直线的距离 ， 直线与圆 相交. (2) 因为，所以，又是圆的半径，所以直线𝑙和圆𝑂 有公 共点，所以圆心𝑂(0,0)到直线的距离，解得 .故实数的取值范围为 . B C 8 新知探究 探究二：圆的弦长公式 情境设置 思考：直线与圆有三种位置关系，其中相交是最重要的一种，如图所示，如何求弦长𝐴𝐵的长？ 【解析】(几何法) (代数法) 9 新知生成 知识点二 圆的弦长问题 求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系 解题； (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； (3)利用弦长公式，设直线𝑙，与圆的两交点为， ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 . 10 二、圆的弦长问题 例题2 (1)已知直线与圆交于，两点，则 ____. (2) 若直线与圆相交所得的弦长等于，则 ___. 【解析】(1) 由题意知直线方程为， 则圆心到该直线的距离 ， 所以弦长 . (2) 圆的圆心坐标为，半径为 ，圆心到直线 的距离为，由勾股定理可得 ， 解得 . 11 反思感悟 方法总结 求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径𝑟，圆心到直线的距离𝑑，弦长𝑙 之间的关系解题； (2)先求交点坐标，再直接用两点间距离公式计算弦长； (3)利用弦长公式求解． 12 新知运用 跟踪训练2 在平面直角坐标系内，已知，，为动点，若 . (1)求点𝐶的轨迹𝐸 的方程； (2)已知直线𝑙过点(1,2)，求曲线𝐸截直线𝑙 所得的弦长的最小值. 【解析】(1)设点的坐标为， ， ， ， 点的轨迹方程为 . (， 点在圆内.当直线垂直于 点与圆心的连线时，截得的弦长最短， . 故曲线截直线所得的弦长的最小值为 . 13 新知探究 探究三：圆的切线问题 情境设置 思考：过平面一点𝑃可作几条圆的切线？ 【解析】当点𝑃在圆内时，切线不存在； 当点𝑃在圆上时，只能作一条圆的切线； 当点𝑃 在圆外时，可作两条圆的切线． 14 新知生成 知识点三 圆的切线方程 求过圆外一点的圆的切线方程的方法 (1)几何法：当斜率不存在时，设切线方程为 ，验证圆心到直线的距离是否为半径；当斜率存在时，设切线方程为 ，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得 ，切线方程即可求出. (2)代数法：当斜率不存在时，设切线方程为 ，联立直线与圆的方程，检 验是否只有一个解；当斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由 ，可求得𝑘 ，即可求出切线方程． 15 新知生成 知识点三 圆的切线方程 几何法求切线方程的步骤： (1)先判断定点与圆的位置关系，从而确定切线的条数； (2)若点在圆上，切线只有一条，即切线方程; (3)若点在圆外，切线有两条，设点斜式方程，由的值， 若有两个解，则斜率都存在； 若有一个解，则斜率有一个不存在； 16 三、圆的切线问题 课本P92 过点作圆的切线,求切线的方程. 【解析】解法1：设切线的斜率为,则切线的方程为,即. 由圆心到切线的距离等于圆的半径1,得 解得或.因此,所求切线的方程为,或. 解法2:设切线的斜率为,则切线的方程为. 因为直线与圆相切,所以方程组 只有一组解.消元,得 因为方程(1)只有一个解,所以 解得或.所以,所求切线的方程为,或. 17 三、圆的切线问题 例题3 已知圆𝐶的圆心为(−1,2)，且该圆被直线𝑙：2𝑥−𝑦−1=0 截得的弦长为4. (1)求该圆的方程； (2)求过点𝑃(−4,−2) 的该圆的切线方程. 【解析】(1) 设圆的方程是，为圆心到直线 的距离，则 ， 弦长为，， 圆的方程为 . (2)当切线的斜率存在时，设切线方程为，即 ， 由，解得 ， 切线方程为 ；当切线的斜率不存在时，切线方程为𝑥=−4 ． 综上所述，所求圆的切线方程为或 ． 18 反思感悟 方法总结 过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的𝑘 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出另一条切线的方程． 19 新知运用 跟踪训练3 已知圆 . (1)求过点𝑀(3,5)的圆𝐶 的切线方程； (2)若点𝑁(2,1)为圆𝐶的弦𝐴𝐵的中点，求直线𝐴𝐵 的方程. 【解析】(1) 由题意知，圆心的坐标为，半径 ，当过点 的直线的斜率不存在时，方程为 .由圆心 到直线的距离为知，此时直线与圆相切.当过点 的切线的斜率存在时，设方程为， 即 .由题意知 ，解得， 方程为 . 故过点的圆的切线方程为或 . ( 圆心，，即 ， 又 ， ，则直线的方程为 . 20 随堂检测 1. 圆 直线与圆的位置关系是( ) . A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 2. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值是( ) . A. B. C. D.1 3. 从圆外一点向圆引切线，则切线长为___. B B 21 随堂检测 4.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①过点；②与直线平行；③与直线垂直. 问题：已知直线𝑙过点𝑀 ，且____. (1)求𝑙 的方程； (2) 若与圆相交于点，，求弦 的长. 【解析】(1) 选条件①： 直线过点及 ， 直线的斜率 ，依题意，直线的方程为 ，即 . 选条件②： 直线的斜率为，直线与直线 平行， 直线的斜率为 ，依题意，直线的方程为 ，即 . 选条件③： 直线的斜率为 ，又直线与直线 垂直， 直线的斜率为 ，依题意，直线的方程为 ，即 . (2)圆的标准方程为 ， 圆心为 ，半径为2， 圆心到直线的距离 ， . 22 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与圆的位置关系； (2)圆的弦长问题； (3)圆的切线问题. 23 $$