2.4.2 圆的一般方程课件- 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.4圆的方程 第二章 直线和圆的方程 课时2 圆的一般方程 新知探究 探究一：圆的一般方程 情境设置 我们知道,方程表示以为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为. 一般地,圆的标准方程可以变形为 的形式.反过来,形如上式的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 思考：方程中的满足什么条件时,这个方程表示圆? 【解析】将上式方程的左边配方,并把常数项移到右边,得 2 新知生成 知识点一 圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念： 当时，二元二次方程 叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程表示的圆的圆心坐标为 ，，半径长为 . 3.当时，表示一个点， . 4.当时，方程不表示任何图形. 3 一、圆的一般方程 例题1 (1)若表示圆，则实数的取值范围是( ) . A. B. C. D. (2) 已知，方程表示圆，则圆心坐标是 _________，半径是___. 【解析】(1) 由方程可得 ，此方程 表示圆，则，解得.故实数的取值范围是 .故选B. (2) 由题可得，解得或 . 当时，方程为，表示圆，故圆心坐标为 ， 半径为5；当时，方程不表示任何图形，舍去. B 4 反思感悟 方法总结 形如的二元二次方程，判断其是否表示圆时可用如下 两种方法： (1)由圆的一般方程的定义令 ，成立则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 5 新知运用 跟踪训练1 已知方程表示一个圆． (1)求实数𝑚 的取值范围； (2)求圆的周长的最大值． 【解析】(1) 原方程可化为 ，若该方程表示一个圆，则，解得 ，即实数 的取值范围是 ． (2)圆的半径，当且仅当时，半 径𝑟取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为 ． 6 新知探究 探究二：待定系数法的应用 情境设置 思考：圆的方程含有几个参数？已知三点求圆的方程，用什么方法？ 7 新知生成 知识点二 待定系数法的应用 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下： (1)根据题意选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于𝑎，𝑏，𝑟或𝐷，𝐸，𝐹 的方程组； (3)解出𝑎，𝑏，𝑟或𝐷，𝐸，𝐹 的值，得到圆的标准方程或一般方程. 8 二、待定系数法求圆的一般方程 课本P86 求过三点的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径. 【解析】设圆的方程是 因为三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程(1)的解.把它们的坐标依次代人方程(1),得到关于的一个三元一次方程组 解这个方程组,得 所以,所求圆的方程是 由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是,半径. 9 反思感悟 方法总结 待定系数法求圆的方程的解题策略： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标和半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出𝑎，𝑏，𝑟. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出𝐷，𝐸，𝐹 . 10 新知运用 跟踪训练2 已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点为𝐴(1,4)，𝐵(−2,3)，𝐶(4,−5)，求△𝐴𝐵𝐶 的外接圆 的标准方程. 【解析】（法一）设的外接圆方程为 ， ，， 在圆上，解得 的外接圆方程为 ， 即 . （法二）， ，， ， 是以角 为直角的直角三角形， 外心是线段 的中点，坐标为， ， 的外接圆的标准方程为 11 新知探究 探究三：与圆有关的轨迹问题 情境设置 若点是圆上的任意一点，如何求点到直线的距离的最大值和最小值？ 12 新知生成 知识点三 与圆有关的轨迹问题 1.求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(𝑥,𝑦) 所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式.如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系. 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直译法：直接根据题目提供的 条件翻译为相应的代数形式，列 出方程.步骤如下： 13 新知生成 知识点三 与圆有关的轨迹问题 2.求轨迹方程的常用方法 (2) 代入法（也称相关点法）若动点跟随某条曲线（直线）上的一个动点的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.具体步骤如下： ①设所求轨迹上任意一点，与点相关的动点 ； ②根据条件列出，与，的关系式，求得，（即用， 表示出来）； ③将，代入已知曲线的方程，从而得到点 满足的关系式即为所求的轨迹方程. (3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 14 三、与圆有关的轨迹问题 例题3 已知圆心为𝐶的圆经过点𝐴(1,1)和𝐵(2,−2)，且圆心𝐶在直线𝑙：𝑥−𝑦+1=0 上. (1)求圆𝐶 的方程； (2)线段𝑃𝑄的端点𝑃的坐标是(5,0)，端点𝑄在圆𝐶上运动，求线段𝑃𝑄的中点𝑀 的轨迹方程. 【解析】(1) 设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则， . 又，所以 ，所以直线的方程为 . 由得圆心 ，则半径 ，所以圆的方程为 . (2) 设点， .因为点的坐标为 ， 所以即又点在圆 上运动， 所以 ，即 .整理得 .即所求线段的中点的轨迹方程为 . 15 反思感悟 方法总结 对于与圆有关的最值问题，常借助所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观想象的数学素养. 16 新知运用 课本P87 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动， 求线段的中点的轨迹. 【解析】圆设点的坐标是，点的坐标是，因为点的坐标是，且 是线段的中点，所以， ， ， . ① 在圆上运动，所以点的坐标满足方程 ， 即 ， ②把①代入②，得 ， 整理得 ，所以点的轨迹是以， 为圆心，1为半径的圆. 17 新知运用 课本P88 5、已知圆的一条直径的端点分别是,求证此圆的方程是 9、已知动点与两个定点的距离的比为,求动点的轨迹方程,并说明轨迹的形状. 变式：在中，，为的中点，，求的面积最大值. 10、在平面直角坐标系中,如果点的坐标满足 其中为参数.证明:点的轨迹是圆心为,半径为的圆. 18 随堂检测 1. 圆的半径为( ) . A.2 B. C. D.1 2. 圆的圆心是( ) ． A. B. C. D. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围是_______． C A 19 随堂检测 4.已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别是𝐴(−1,0)，𝐵(2,0)，𝐶(1,2) ． (1)求边𝐴𝐵 上的中线所在直线的方程； (2)求△𝐴𝐵𝐶 的外接圆的方程． 【解析】(1) 由题意知，线段的中点为，， ，所以边 上的中线所在直线的方程为，即 ． (2)设的外接圆的方程为， ， 则解得 故的外接圆的方程为 ， 即 . 20 课堂小结 1.知识清单： (1)圆的一般方程； (2)待定系数法的应用； (3)与圆有关的轨迹问题. 21 $$