北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 5. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 15. 如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为______． 16. 2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 春 夏 秋 冬 小元 9 5 6 8 小聪 7 7 9 3 （1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟； （2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______． 三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； （2）在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． （3）的外接圆半径长 ． 19. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米． 20. 下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 21. 中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 22. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1） （用含a的式子表示）； （2）已知点，在抛物线上，若，求出a的值； （3）已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 27. 如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连结，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，． （1）依题意，请补全图形； （2）判断与的数量关系，并证明； （3）当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为 ． 28. 在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． （1）如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； （2）当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期 初三数学期中考试试卷 考查目标 1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】y＝x2＋1． 【11题答案】 【答案】-1 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） ①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； （2），； （3） 【19题答案】 【答案】15 【20题答案】 【答案】（1） 解：作图如下： 线段就是所求作的高； （2） ；；直径所对圆周角为直角； 【21题答案】 【答案】封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【22题答案】 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【23题答案】 【答案】（1） 证明：由题意可得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）． 【24题答案】 【答案】（1）证明：如下图所示，连接， ∵D是弧BC的中点， 即 ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD//AE， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线.； （2）1． 【25题答案】 【答案】（1）； （2）． 【26题答案】 【答案】（1） （2）； （3） 【27题答案】 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：；理由如下： ①当时， 如图，延长至，使，连接， ， ，， ， 由旋转得：， ， 设， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②当时， 如图， 同理可求：； ③当时， 如图， 同理可求：； 综上所述：； （3） 【28题答案】 【答案】（1）①；② （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $