第1-2章期中复习卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1-2章期中复习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程有实根，则m的最大整数值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 3．年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 4．某口罩生产厂生产的口罩10月份产量为60万个，由于市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从11月份起扩大产能，使得第四季度总产量达到198.6万个．设口罩产量的月平均增长率为，列出的方程为（   ） A． B． C． D． 5．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 7．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．13 B．14 C．12 D．28 8．如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥． 其中一定成立的是（） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 二、填空题 9．已知：，则 10．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 11．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ． 12．如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 13．如图，正五边形内接于，、交于点，则的度数为 ． 14．如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经 秒钟，能使的面积等于面积的． 15．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ． 16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为 ． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 20．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 21．如图，为的直径，弦于点．若，，求弦的长． 22．如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C C A D D 1．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程为， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 当方程为一元二次方程时，根据方程有实数根得出且，求出不等式组的解集即可．当方程为一元一次方程时，m可求，则问题可解. 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于x的方程有实根， ∴且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时，则，方程一定有实根， 综上 ∴m的最大整数解为5， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设参加此次活动的同学人数为人， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设口罩日产量的月平均增长率为x，根据口罩1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依题意，得： ， 故选：C． 5．C 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．①由直径所对圆周角是直角，②根据三角形外角的性质和圆周角定理可作判断，③由平行线得到，再由同圆的半径相等得到结论判断出；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到和中对应相等的边，所以不一定全等． 【详解】解：①是的直径， ， ， 故①正确； ②，， 当时，， 故②不正确； ③， ， ， ， ， 平分， 故③正确； ④是的直径， ， ， ， ， 点为圆心， ， 故④正确； ⑤由④有，， 点为中点， 是的中位线， ， 故⑤正确； ⑥和中，没有相等的边， 与不全等， 故⑥不正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④⑤， 故选：D． 9．5 【分析】本题考查平方的非负性，解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．设，则已知的式子可化为，求解后根据进行取舍，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：5 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），连接，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 12．57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 13． 【详解】本题主要考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，灵活运用相关定理成为解题的关键． 如图，根据正五边形的性质，可知圆周长，进而求出，求出，即可解答． 【分析】解：五边形为正五边形， ， 圆周长， ， ， ． 故答案为：． 14．2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键．设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：设经过x秒的面积等于面积的，，，，由题意，得 ， 解得：，． 答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的． 故答案是：2或4． 15．或或 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 16． 【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 17．(1)，； (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，． 18．见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的判别式是，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根．一元二次方程的根的判别式为，所以一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【详解】证明：一元二次方程中， ，，， ， 一元二次方程总有两个不相等的实数根． 19．(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． ∴此时售价为（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 20．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 21．． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，为的直径，得，，，然后由勾股定理即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，进而问题可求解； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ． 23．初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$