2.5一元二次方程根与系数的关系 课件2024-2025学年北师大版课件九年级数学上册

2.5一元二次方程根与系数的关系 2024-2025学年北师大版九年级数学上册教学课件★★ 教学目标 1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系． 2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数． 3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值． 温故知新 想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？ 你知道它的求根公式是什么吗？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 适用的条件： Δ=b2-4ac≥0 当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？ Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ< 0 时，方程没有实数根. 新知讲解 解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积.  （1）x2-2x+1=0 （2）x2 -x-1=0  （3） 2x2-3x+1=0 方程 a b c x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 x2 -x-1=0  2x2-3x +1=0 1 1 2 1 -1 1 1 -2 1 1 -1 2 -3 1 新知讲解 ①两根之和与方程系数a、b、c有什么样的关系呢？ ②两根之积与方程系数a、b、c又有什么样的关系呢？ 探索规律：在一元二次方程中 思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 新知讲解 证一证： 新知讲解 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2= （韦达定理） 常数项 一次项系数 二次项系数 注意系数符号。 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 典例精析 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0. 解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝－7，x1x2＝6. 典例精析 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0. (2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝，x1x2＝－1. 新知讲解 想一想：应用根与系数的关系需注意什么？ ①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2-4ac≥0； ③使用x1+x2 时， 注意“－ ”不要漏写. 练一练 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则： (1) x1+x2= ， (2)x1·x2= ， (3)= ， (4)= . 4 1 14 12 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 归纳 归纳总结 (1)x12+ x22 =(x1+x2)2-2x1x2 (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (3) (4) (5)(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2 (6)|x1-x2|=. 常见的涉及一元二次方程两根的代数式的重要变形: 课堂练习 1.设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝(　　) A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2 2.已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8 C C 课堂练习 3．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____． 24 4．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________． 2015 课堂练习 5.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值. 解：根据根与系数的关系，得 所以另一个根为，k的值为-7. ∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2， ∴解这个方程组，得 课堂练习 6.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-17x+66=0的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？ 解：由题意，可得 x1+x2 = 17， 即两边长之和为 17，17小于 20， 所以这个三角形的第三边的长不可能是 20. 课堂总结 ①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2-4ac≥0； ③使用x1+x2 时， 注意“－ ”不要漏写. 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系： x1+x2 = ， x1x2 = 注意事项： $$