2.3公式法解一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2.3公式法解一元二次方程 2024-2025学年北师大版九年级数学上册教学课件★★ 教学目标 1.会利用配方法推导一元二次方程的求根式； 2.能用公式法解简单的数字系数的一元二次方程； 3.能理解根的判别式，并会判定方程根的情况。 温故知新 用配方法解方程： 2x2 +7x +6 = 0. 解：方程两边同时除以2,得 x2 + x + 3 = 0 . 移项，得 x2 + x = -3 , 配方，得 x2 + x +( )2= ( )2 -3 变形, 得 （x + ）2 = 开平方, 得 x + = ± . 解得 x1 = - , x2= -2 . 新知讲解 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0 能否也用配方法得出它的解呢？ ax2+bx+c=0 (a≠0). 方程两边都除以a , 解：移项，得 配方，得 即 满足什么条件方程才有解？ 新知讲解 即 ∴ ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， , 新知讲解 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 新知讲解 一元二次方程的求根公式 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 新知讲解 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子. 注意：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 新知讲解 例1： 解方程： (1)x2－7x－18＝0； (2)4x2＋1＝4x. 解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18. ∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0， ∴x＝ 即x1＝9，x2＝－2. 新知讲解 (2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0. 这里a＝4，b＝－4，c＝1. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0， ∴x＝ 即　x1＝x2＝ 归纳总结 公式法解一元二次方程的步骤： 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 议一议 (1)用公式法解方程: x2-2x+3=0. 解： ∵ a=1， b= -2， c= 3. ∴ b2 - 4ac=(-2)2 - 4×1×3=-8<0 ∴方程无实数根 (2)对于一元二次方程，当 -4ac<0时，它的根的情况是怎样的？ 当 -4ac<0时，一元二次方程没有实数根 新知讲解 对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 归纳总结 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac. > 0 = 0 < 0 ≥ 0 新知讲解 问题：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. 16m 12m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？ 新知讲解 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m. 小明设计：如右图所示.其中花园四周小路的宽度都相等. 通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m. 16m 12m 问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 课堂练习 解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即πx2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 =-(舍去), 答：扇形半径约为5.5m. 小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同. 问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16m 12m 你还有其他设计方案吗？ 新知讲解 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等. 16m 12m xm xm 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为4m. 课堂练习 1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(　　) A．3、1、4 B．3、－1、－4 C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（ ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1 D. k<1 且k≠0 B B 课堂练习 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ． 4.已知方程如果设那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． m＜1且m≠0． 课堂练习 5.解一元二次方程： (1) (2)3x(x-1)=2(x-1) 解：(1) x-1=±5 , 解：(2) 方程 ∴a=3，b=-5，c=2 ∴x= , 课堂练习 6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况. 解： =8 ∵ ∴4 ∴ 所以方程有两个实数根． 课堂练习 7.如图，圆柱的高为 15 cm，全面积(也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？ 解: 设圆柱底面半径为 r cm． 2πr2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r1＝-20(舍去)，r2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm． r 课堂总结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 板书设计 一、公式法定义 二、一元二次方程的求根公式 三、根的判别式 四、常见几何图形面积的等量关系. 课题：2.3 用公式法解一元二次方程 $$