2.4二次函数的应用—几何图形问题 同步练习题 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用—几何图形问题》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 3．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 5．如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 6．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（    ）    A．1 B． C．2 D．4 7．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（    ）． A．12 B．18 C．20 D．24 8．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 二、填空题 9．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为 ． 10．已知直角三角型两条直角边的和等于8，两条直角边各为 时，三角形的面积最大． 11．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为 ． 12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ． 13．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点在轴上，，．若抛物线型拱门的跨度，拱高，则抛物线的函数表达式为 ． 14．如图，在正方形中，为上的点，为边上的点，且，，设，的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，则抛物线的表达式为 ；抛物线的对称轴与分别相交于点M，N，则的面积为 ． 三、解答题 17．如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长． 18．如图，在一个的内部作一个矩形，其中点和点分别在两直角边上，在斜边上，，设． (1)试用含的代数式表示； (2)设矩形的面积为，当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 19．在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． (1)设运动开始后第时，四边形  的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S 最小?最小值是多少? 20．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 21．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体5米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线，结合信息回答下列问题： (1)求抛物线的解析式： (2)该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在上，且轴，轴），若忽略接口处的材料损耗，使钢架总长度与之和最大，该农户需要准备多少米钢材? 22．如图，，是边上的高，．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接，，交与E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 23．顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B A C B B 1．解：∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B 2．解：设（m为常数）， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 即， ∴y与x成一次函数关系， ∵， ∴S与x成二次函数关系． 故选：A． 3．解：设小正方形边长为xcm，由题意知： 现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5）， 故选：C． 4．解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 5．解：设，“日”字型框架的面积为， 则， ∵， ∴当，时，“日”字型框架面积最大，最大值为 故选：A 6．解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 之间的关系式． 7．解：设AC=x，BC=12-x， 则四边形ABCD的面积的面积为： ． 所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18． 故答案为：B． 8．解：令得，即 解得 点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上 点的横坐标为1 当时， 所以点Aʹ的纵坐标为2. 故选：B 9．解：由题意得：相框内的空白部分的长为，宽为， 则， ∴与之间的函数关系式为， 故答案为：． 10．解：设直角三角形的直角边为x，则另一直角边为8-x，直角三角形的面积为S， 根据题意得，（0<x<8）， 配方得，， ∵a<0，开口向下，S有最大值， ∴x=4时，此时三角形面积最大，最大面积为8． 此时另一直角边为8-4=4． 故答案为：4、4． 11．解：设养鸡场长为米，则宽为米，面积为平方米， 根据题意得：，()， ∵二次函数图象对称轴为：直线，开口向下， ∴ 当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为． 故答案是：． 12．解：函数与的图象关于x轴对称， 图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 正方形的边长为4， ． 故答案为：8． 13．解：由题意可知，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为． 14．解：在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即：， 化简为：， 故答案为：． 15．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N， ∴∠EDN+∠DEN＝90°， ∵∠EDC＝90°， ∴∠EDN+∠CDM＝90°， ∴∠DEN＝∠CDM， 在EDN和DCM中 ∴EDN≌DCM（AAS）， ∴EN＝DM， ∵∠BAC＝120°， ∴∠MAC＝60°， ∴∠ACM＝30°， ∴AM＝AC＝6＝3， ∴BM＝AB+AM＝6+3＝9， 设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x， ∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+， ∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为， 故答案为：． 16．解：根据题意得，抛物线的表达式为：， ∴抛物线的对称轴，点N的坐标为， 在抛物线中，令，则， ∴， ∴的高为2，底为， ∴的面积为：， 故答案为：，6． 17．解：∵ ∴点A的横坐标为1 ∴将代入 ∴， ∴ ∴将代入得， 整理得， 解得或5 ∴点C的横坐标为5 ∵四边形是矩形 ∴， ∴矩形的周长． 18．解：（1）过点作于点N，交于点M， ， ， ， 四边形ABCD是矩形， ， ，， 则， ， 即， ； （2）由（1）得， ， 当， 的值最大，最大值是． 19．解：（1）根据题意可知，， ∴， ∴； （2）， 当时，． 20．解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 21．（1）解：∵由题意知，且抛物线对称轴为直线 根据题意得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点 ，L为钢架的长度， 根据题意得， ∵，对称轴为直线 ∴当时，， 所以该农户最多需要米的钢材． 22．（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴正方形的边长为， ∴的长为； （2）解：∵， ∴设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 设，矩形的面积为，则，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为，此时，， ∴当，时，矩形的面积最大，最大面积为． 23．（1）解：将点代入直线解析式中， ， 解得， 解析式为， ， ， 则有， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解： ， ， 设直线的解析式为：，代入点、，得： ， 解得， 直线的解析式为：， 则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，如图所示， 设点的坐标为， 则点，， ， 沿翻折，的对应点为点，落在轴上，而轴， ，，， ， ， ， ， ， ， 当时， 解得（舍），， 此时点． 当时， 解得（舍），， 此时点，． 综上，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$