2.2二次函数的图象与性质 同步训练题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》 同步训练题（附答案） 一、单选题 1．下列关于抛物线 的结论，正确的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴为直线 C．当时， 函数有最小值为 D．当时， y随x的增大而减小 2．将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 4．已知两个整数a，b，有，则的最大值是（    ）． A．50 B．40 C． D．30 5．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   6．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 8．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 二、填空题 9．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 10．二次函数中，当时，的取值范围是 ． 11．二次函数（，，为常数且中的与的部分对应值如下表： … … … … 已知表中有且只有一组数据错误，则这组错误数据中的值是 ． 12．如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是 ． 13．抛物线的对称轴在y轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是 ． 14．已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论： ①； ②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ③若抛物线经过，则； ④对满足的任意实数m，都有． 其中正确的是 （填写序号）． 15．抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)将二次函数化为顶点式，并写出顶点坐标及对称轴： (2)当时，求y的值． 18．已知二次函数的图像经过点，且顶点坐标是． (1)求函数解析式； (2)当时，求函数的最小值． 19．如图，二次函数 的图象过点和点， 对称轴为直线 (1)求该二次函数的解析式； (2)若， 求函数y的取值范围； (3)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，根据图象直接写出满足的x的取值范围． 20．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于A，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，求点的坐标． 22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 23．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C D C C 1．解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 2．解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为， 故选：B 3．解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 4．解：法一：∵，为定值， ∴当，即：时，的值最大，为； 法二： ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为50 故选A． 5．解：、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 6．解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 7．解：由图象可得，与轴的交点坐标为和， 当时，， ∴为， 故选：． 8．解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 9．解：∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2021 10．解：由题意，抛物线， 又∵， 当时，取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值， 当时，． 故答案为：． 11．解：由表中的数据可知，当或时，，当时，， ， 解得：， 二次函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 12．解：∵， ∴直线的解析式为； 联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：， ，得； 此时抛物线与扇形的边界只有一个公共点； 把点B坐标代入中，得， 解得：， 此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点； 综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点； 故答案为：． 13．解：抛物线的对称轴在y轴左侧， ， 抛物线， 将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：， 将代入，得， 解得：，（舍去） 故答案为：． 14．解：①， ， ， 故本选项不符合题意； ②， ， ， ， ， 抛物线与x轴一定有两个不同的公共点， 故本选项符合题意； ③抛物线经过， ∴， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ④当时，， 是方程的一个根， ， ， 二次函数与x轴的两个交点坐标为和，且开口向上， ， ，则，整理得：， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意， 故答案为：②③④． 15．解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ． 点的横坐标为2 ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且 ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ． ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 16．解：抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为． ． 四边形是菱形， ，． 抛物线经过点， ． ． ，，， ． ． 点在轴正半轴上， 点的坐标为． 故答案为：． 17．（1）解：由题知：． 所以该抛物线的顶点坐标为，对称轴为． （2）解：将代入得： ， 所以当时，y的值为77． 18．（1）解：二次函数的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）二次函数的解析式为， 当时，随的增大而减小， 又 ， 当时，函数有最小值，最小值为． 19．解：（1）∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线, ∴抛物线与轴另一交点坐标为， 设抛物线解析式为, 把代入解析式得, 解得, ; （2）解：∵抛物线对称轴为直线, , ∴当时, 为最大值， 时, 为最小值, ∴时,； （3）∵点坐标为, 对称轴为直线, ∴点坐标为, 由图象可得时，抛物线在直线上方， 时,． 20．（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 21．（1）解：∵抛物线过点，，， ∴解得 ∴抛物线的解析式为． （2）设，则点E的横坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 当时，取最大值， 此时，． ∴点P的坐标为． 22．（1）解：∵抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为： （2）∵点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为： （3）根据平移规律和二次函数的图象可知， 图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，故阴影部分图形的面积为：. 故答案为： 23．（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得 解得：， ， 即； （2）分两种情况： 当点为直角顶点时，点与点B重合， 令，得， 解得：， 点A在点B的右侧 ， ； 当点A为的直角顶点时， ， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于x轴对称， 设直线的函数关系式为， 将代入关系式，得 ， 解得， ， 设， 则有， 即， 解得（舍去）， 当时，， （即为抛物线顶点）， 综上所述：，； （3）分三种情况： 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， 此时于抛物线的顶点Q重合， ； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ，， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即， 综上所述：点F的坐标为，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$