2024-2025学年 苏科版数学八年级上册期中复习卷

2024-2025学年度苏科版数学八年级（上）期中复习卷 一．选择题（共10小题） 1．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的是　　 A．3，4，6 B．1，2，3 C．4，5，8 D．9，12，15 3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是　　 A． B． C． D． 4．如图，在△中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，在△中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知△的周长为，分别连接、、，若△的周长为，则的长为　　． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 6．如图，已知是的平分线，，若△的面积为，则△的面积　　 A． B． C． D． 7．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　　 A． B． C． D． 8．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 9．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为　　 A．200 B．175 C．150 D．125 10．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点，连接，，，．有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共8小题） 11．如图，在中，，，垂足分别是，．，交于点，已知，，则　　． 12．在中，，点在上，于点，且，连接．若，则的度数为 　　． 13．如图，是的角平分线，于，的面积是15，，，则的长为 　　． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则　　． 15．如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，，连接，则的度数为 　　． 16．如图，△的、的角平分线交于点，过点作，，，垂足分别为，，，若，，，则 　　． 17．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　　． 18．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　　． 三．解答题（共10小题） 19．如图，点、、、在直线上（点、之间的线段被一块污渍遮住），点、在直线的异侧，连接、、、，且，，测得． （1）求证：△△； （2）若，，求的长度． 20．如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点． （1）求证△△； （2）若，，求的度数． 21．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 22．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求长． 23．如图，在四边形中，，，，，．求证：． 24．请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 25．如图，四边形中，，，、分别是、的中点．（1）连接，，求证：； （2）当，时，的长为 　　． 26．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）若∠DBO＝20°，则∠DAC＝ 　 　； （2）求BO的长； （3）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当△AOP与△FCQ全等时，直接写出t的值． 27．如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，． （1）求的度数； （2）过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 28．如图1，已知，为直线同侧的两点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点、关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在△中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线 “等角点”，连接，，当时，的值为 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版数学八年级（上）期中复习卷 一．选择题（共10小题） 1．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【解答】解：轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键． 2．下列各组数中，是勾股数的是　　 A．3，4，6 B．1，2，3 C．4，5，8 D．9，12，15 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【解答】解：、，， ， ，4，6不是勾股数，不符合题意； 、， ，2，3不是勾股数，不符合题意； 、，， ， 、5、8是不勾股数，不符合题意； 、，， ， 、12、15是勾股数，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则△是直角三角形． 3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【解答】解：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合， ， 在和中， ， ， ， 即是的平分线， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 4．如图，在△中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，求得，再根据“”证明△△，得，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△△是解题的关键． 5．如图，在△中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知△的周长为，分别连接、、，若△的周长为，则的长为　　． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 【分析】先根据线段垂直平分线性质得，，，再根据△的周长为得，再根据△的周长为得，由此可得的长． 【解答】解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，，， ， △的周长为， ， ， △的周长为， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 6．如图，已知是的平分线，，若△的面积为，则△的面积　　 A． B． C． D． 【分析】先证明△和△全等得，，进而得，由此可得，据此可得出△的面积． 【解答】解：延长交于，如图所示： 是的平分线，， ，， 在△和△中， ， △△， ，， ， △的面积为， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 7．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由，得，由折叠得，，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 8．如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 【分析】由等边三角形的性质得到，，再由三角形外角的性质求出，则，同理得，，，由此得出规律，即可求解． 【解答】解：△为等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， △的边长：， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键． 9．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为　　 A．200 B．175 C．150 D．125 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：，，， ， 图1中正方形的面积和为：， 图2中所有正方形的面积和为：， 图3中所有正方形面积和为：， ， 图6中所有正方形的面积为， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键． 10．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点，连接，，，．有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；根据含30度角的直角三角形的性质可以判断④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出⑤错误． 【解答】解：和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确． ， 由翻折的性质得，， 又， ， ，故②正确． 由题意可知：， ，， 边上的高与边上的高相等， 即点到两边的距离相等， 平分，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：． 【点评】本题有一定的难度，考查轴对称的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共8小题） 11．如图，在中，，，垂足分别是，．，交于点，已知，，则　4　． 【分析】先由于点，于点，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，而，，则． 【解答】解：于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 12．在中，，点在上，于点，且，连接．若，则的度数为 　35　． 【分析】由，，求得，然后证明，推导出，或根据角平分线的性质证明平分，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解法一：，， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：35． 解法二：，， ， ， ， ，且， 点在的平分线上， 平分， ， 故答案为：35． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 13．如图，是的角平分线，于，的面积是15，，，则的长为 　2　． 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点作于， 是的角平分线，，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则　34　． 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：四边形为“垂美”四边形， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：34． 【点评】本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 15．如图，是等边三角形，在边的右侧作等腰直角，，连接，则的度数为 　30　． 【分析】根据等边三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的概念得到，，得到，求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：为等边三角形， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的内角是以及等腰直角三角形的两锐角是是解题的关键． 16．如图，△的、的角平分线交于点，过点作，，，垂足分别为，，，若，，，则 　3.5　． 【分析】连接，根据角平分线性质得，由此可证明△和△全等，则，同理得，，再设，则，，，然后根据列出方程，解方程求出即可．． 【解答】解：连接，如图所示： △的、的角平分线交于点，且，，， ，， 在△和△中， ， △△， ， 同理得：，， 设，则， ，，， ，， ， ， 解得：， ， 故答案为：3.5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 17．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　44　． 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【解答】解：如图，连接、， 、分别是、的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， 故答案为：44． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 18．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 　2.4　． 【分析】延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 19．如图，点、、、在直线上（点、之间的线段被一块污渍遮住），点、在直线的异侧，连接、、、，且，，测得． （1）求证：△△； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）由可得，据此即可求证； （2）由△△得，进一步可得，再由即可求解． 【解答】（1）证明：， ， 在△与△中， ， △△， （2）解：△△， ， ， ， ，， ． 答：的长度是58． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 20．如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点． （1）求证△△； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）由得，而，，即可根据“”证明△△； （2）由全等三角形的性质得，，所以． 【解答】（1）证明：， ， ， 在△和△中， ， △△． （2）解：由（1）得△△， ，， ， 的度数为． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明△△是解题的关键． 21．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作于，根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接， 在中，点是的中点， ， ， ，又， ． （2）解：作于， ，， ， ，， ， ， 的面积． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 22．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求长． 【分析】（1）根据已知可得是的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，最后利用等腰三角形的性质即可解答； （2）根据已知可得，再利用线段的和差关系，以及等量代换可得，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 的度数为； （2）的周长为，， ， ， ， ， ， ， 的长为4． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 23．如图，在四边形中，，，，，．求证：． 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． 【解答】证明：连接， ，，， ， 在中，，， ， 是直角三角形， ． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 24．请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 【分析】根据有理数和无理数的定义，勾股定理及格点三角形的特点解答． 【解答】解：如图： （1）是所求作的三角形； （2）是所求作的三角形； （3）是所求作的三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，熟悉有理数和无理数的概念，勾股定理及格点三角形是解题关键． 25．如图，四边形中，，，、分别是、的中点．（1）连接，，求证：； （2）当，时，的长为 　6　． 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）在△中，利用勾股定理求出的长即可． 【解答】（1）证明：，为中点， ， ， ， ， 是中点， ； （2）解：，，、分别是边、的中点， ，， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 26．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）若∠DBO＝20°，则∠DAC＝ 　20°　； （2）求BO的长； （3）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当△AOP与△FCQ全等时，直接写出t的值． 【分析】（1）根据∠DAC+∠AOE＝90°，∠DBO+∠BOD＝90°，∠AOE＝∠BOD可得出∠DAC的度数； （2）证明△ADC和△BDO全等，根据全等三角形的对应边相等可得出BO的长； （3）先证明∠AOP＝∠ACM＝∠BCN，依题意得OP＝t，AQ＝4t，再分两种情况讨论如下：①当点F在线段BC上时，根据∠AOP＝∠BCN得点Q在AC的延长线上，然后根据OP＝CQ可求出t的值；②当点F在BC的延长线上时，根据∠AOP＝∠ACM得点Q在线段AC上，然后根据OP＝CQ可求出t的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵△ABC的两条高AD与BE交于点O， ∴∠BDO＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DAC+∠AOE＝90°，∠DBO+∠BOD＝90°， 又∵∠AOE＝∠BOD， ∴∠DAC＝∠DBO＝20°； （2）在△ADC和△BDO中， ∠DAC＝∠DBO，AD＝BD，∠BDO＝∠ADC＝90°， ∴△ADC≌△BDO（ASA）， ∴BO＝AC＝6； （3）∵∠AOP＝90°+∠DAC，∠ACM＝∠BCN＝90°+∠DAC， ∴∠AOP＝∠ACM＝∠BCN， 依题意得：OP＝t，AQ＝4t， ∵F是射线BC上一点，且CF＝AO， ∴有以下两种情况： ①当点F在线段BC上时， ∵∠AOP＝∠BCN， ∴当△AOP与△FCQ全等时，点Q在AC的延长线上，如图1所示： 此时OP＝CQ， ∵AC＝6，AQ＝4t， ∴CQ＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6， 解得：t＝2， ②当点F在BC的延长线上时， ∵∠AOP＝∠ACM， ∴当△AOP与△FCQ全等时，点Q在线段AC上，如图2所示： 此时OP＝CQ， ∵AC＝6，AQ＝4t， ∴CQ＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t， 解得：t＝1.2， 综上所述：当△AOP与△FCQ全等时，t的值为2或1.2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 27．如图，在中，平分交于点，平分交于点，与交于点，． （1）求的度数； （2）过点作于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，，然后由三角形内角和定理即可得出结论； （2）过点作于点，于点，连接，证，得，再证，得，即可解决问题． 【解答】解：（1） ， 平分，平分， ，， ， 即的度数为； （2），理由如下： 如图，过点作于点，于点，连接， 则， 平分，平分，， ，， ， 由（1）得：， ， 在四边形中，， 又， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 28．如图1，已知，为直线同侧的两点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点、关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在△中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线 “等角点”，连接，，当时，的值为 　4　． 【分析】（1）由轴对称性质可得，结合已知推出，根据“等角点”的定义，可得出答案； （2）连接，，过点作于，由三角形角平分线性质可得平分，即，得出，再由线段垂直平分线性质得出，，推出，，在同一条直线上，即可求得答案． 【解答】解：（1）点是点、关于直线的“等角点”，理由如下： 如图， 点、关于直线对称， ， ， ， 点是点、关于直线的“等角点”； （2）如图，连接，，过点作于， ，的平分线交于点， 平分， ， ， ， 直线垂直平分边， ，， 点为，关于直线 “等角点”， ， ， ， ， ，，在同一条直线上， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的内角平分线性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解新定义并正确运用新定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$