精品解析：上海市杨思中学2024-2025学年七年级上学期数学第二次阶段练习

2024年秋季7年级数学第二次阶段练习 （测试时间70分钟，满分100分） 一、填空题（每题2分，共28分） 1. 在多项式中，二次项的系数等于_______________． 2. 若单项式与的和仍是单项式，则等于_______________． 3. 计算：___________． 4. ____． 5 计算：_______________． 6. 计算：_______________． 7. 因式分解：_______________． 8. 因式分解：____________________． 9. 如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为_______________． 10. 已知，则值为_______________． 11. 已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是_______________．（只要写一个即可） 12. 若，则的值为_______________． 13. 已知，则的值为________． 14. 如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________． 二、选择题（每题3分，共12分） 15. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 17. 已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解是（ ） A. x B. -x C. D. 18. 已知n为正整数，从1开始，连续n个正整数的平方和有如下的公式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．请根据这个公式计算：从2开始，连续10个偶数的平方和22+42+62+82+…+202的值等于（ ） A 2870 B. 1540 C. 770 D. 385 三、计算题（每题4分，共16分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22 计算：． 四、因式分解（每题4分，共16分） 23. 24. ． 25. 因式分解：． 26. 因式分解：． 五、解答题（27-28每题6分，29-30每题8分） 27. 已知m、n为常数，mx2＋3xy﹣5x与2x2﹣2nxy＋2y的差不含二次项，求m、n的值． 28. 已知，，求的值． 29. 小明家使用的分时电表平时段（6：00﹣22：00）每度电收费0.61元，谷时段（22：00﹣次日6：00）每度电收费0.3元． （1）如果小明家某一个月中，平时段总用电a度，谷时段总用电b度，用a、b的代数式表示该月的总电费； （2）如果小明家10月份应付总电费79元，平时段用电100度，那么小明家10月份谷时段用电多少度？ 30. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 附加题（10分） 31. 有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 　 　．（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x． ①用a、b、x的代数式表示AE ②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季7年级数学第二次阶段练习 （测试时间70分钟，满分100分） 一、填空题（每题2分，共28分） 1. 在多项式中，二次项的系数等于_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式中项，单项式的系数，根据多项式中的每一个单项式为多项式的项，单项式中的数字因式为单项式的系数，进行作答即可． 【详解】解：中的二次项为，的系数为：； 故答案为：． 2. 若单项式与的和仍是单项式，则等于_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据单项式的和仍为单项式，得到两个单项式是同类项，进而求出的值，再进行乘法运算即可． 【详解】解：由题意，得：单项式与是同类项， ∴， ∴； 故答案：6． 3. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法直接进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 4 ____． 【答案】 【解析】 【分析】把200.5×199.5写成（200＋0.5）×（200−0.5）的形式，然后利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】200.5×199.5＝（200＋0.5）×（200−0.5）＝2002−0.52＝40000−0.25＝39999.75． 故答案为：39999.75． 【点睛】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构并吧算式整理成公式结构是解题的关键． 5. 计算：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6. 计算：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，幂的乘方的逆用，逆用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 7. 因式分解：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提出公因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 因式分解：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为_______________． 【答案】13或##或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或； 故答案为：13或 10. 已知，则的值为_______________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：64． 11. 已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是_______________．（只要写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，根据积为二项式，得到的关系，写出一个满足题意的多项式即可． 【详解】解：设（）， 则：， ∵积为二项式，， ∴， ∴可以为1，可以为2； ∴可以是； 故答案：（答案不唯一） 12. 若，则的值为_______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，设，，则，，求出，得出即可得出答案． 【详解】解：设，，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，偶次方的非负性，二元一次方程组的解法，代数式的值，掌握完全平方公式是解本题的关键． 把原式化为，再利用非负数的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴，解得：， ∴ 故答案为：． 14. 如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积． 【详解】解：设大、小正方形边长为a、b， 则有a2=15，阴影部分面积 ， 即a2-b2=12， 可得b2=3， 即所求面积是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 二、选择题（每题3分，共12分） 15. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选D． 16. 下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 17. 已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. x B. -x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可一一判定． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题； D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键． 18. 已知n为正整数，从1开始，连续n个正整数的平方和有如下的公式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．请根据这个公式计算：从2开始，连续10个偶数的平方和22+42+62+82+…+202的值等于（ ） A. 2870 B. 1540 C. 770 D. 385 【答案】B 【解析】 【分析】根据连续n个正整数的平方和公式即可求解． 【详解】解：22+42+62+82+…+202====1540； 故应选B． 【点睛】本题主要考查了新公式的应用，掌握公式的特征是解题的关键． 三、计算题（每题4分，共16分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，先进行单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 四、因式分解（每题4分，共16分） 23. 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式﹣x，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式，解决的关键是利用完全平方公式因式分解时，会凑出、2ab、． 24. ． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平方差公式进行因式分解，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用提公因式与公式法分解因式． 25. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令，将原式变为，然后将代入再分解因式即可． 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 26. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 五、解答题（27-28每题6分，29-30每题8分） 27. 已知m、n为常数，mx2＋3xy﹣5x与2x2﹣2nxy＋2y的差不含二次项，求m、n的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，根据结果中不含二次项，求出m与n的值即可． 【详解】解：根据题意列得：(mx2＋3xy﹣5x)-(2x2﹣2nxy＋2y)=mx2+3xy-5x-2x2+2nxy-2y=（m-2）x2+（2n+3）xy-5x-2y， ∵结果中不含二次项， ∴m-2=0，2n+3=0， 解得：m=2，n=， 【点睛】本题考查了整式的加减，以及代数式求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键． 28. 已知，，求的值． 【答案】528 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式的应用，解题的关键是将进行因式分解为，然后根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 29. 小明家使用的分时电表平时段（6：00﹣22：00）每度电收费0.61元，谷时段（22：00﹣次日6：00）每度电收费0.3元． （1）如果小明家某一个月中，平时段总用电a度，谷时段总用电b度，用a、b的代数式表示该月的总电费； （2）如果小明家10月份应付总电费79元，平时段用电100度，那么小明家10月份谷时段用电多少度？ 【答案】（1）0.61a+0.3b；（2）60． 【解析】 【分析】（1）分别求出平时段和谷时段的电费，再相加即可； （2）用总电费-平时段用电的费用差除以谷时段每度电费用即可得出结果． 【详解】（1）由题意得：该月的总电费为：0.61a+0.3b； （2）小明家10月份谷时段用电度数为：(79-100×0.61)÷0.3=60度． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，列出相应的代数式． 30. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式的系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． （2）当a＝2时，（a+b）5展开式系数和是　 　；（a+b）n展开式的系数和是　 　． 【答案】（1）25； 2n；（2）35；3n． 【解析】 【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解 （2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可 【详解】解：（1）1=10=（1+1）0， 1，1，1+1=2=21=（1+1）1， 1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2， 1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）3 1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4 …… 当a=1,b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n 展开式的系数和是25， ∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）5=25； ∴（a+b）5展开式的系数和是25； 当a=1,b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n， （a+b）n展开式的系数和是2n， 故答案为：25； 2n； （2）当a＝2时，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35 当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35； 当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）n=3n （a+b）n展开式的系数和是3n． 故答案为：35；3n． 【点睛】本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目． 附加题（10分） 31. 有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 　 　（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 　 　．（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x． ①用a、b、x的代数式表示AE ②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？ 【答案】（1），，（2）①；② 【解析】 【分析】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，分别计算面积，找到矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b计算面积即可. (2) ①AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，从而得到AE；②把S表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S与BC长度无关. 【详解】(1) 右下角的图形为边长为a的正方形，面积为. 左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，面积为 . 矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b，面积为 故答案为：，， (2) ①∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG ∴AE=PC+FH-QG 即AE=x+4b-a ②图2中，右下角的矩形长宽分别为x，a，则面积为xa. 左上角矩形长宽分别为x+4b-a，3b，则面积为3b（x+4b-a）. 则 整理得到， 当BC的长度变化时，S始终保持不变，则时成立. 【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$