广西平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期10月份月考数学测试卷

2024年高二上学期10月份月考测试卷 姓名：___________ 班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知圆，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，5 B．，5 C．， D．， 2．已知向量，且，那么（    ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 4．已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 5．过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．以正方体的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是 A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。 9．已知，，，则（    ） A． B． C．为钝角 D．在方向上的投影向量为 10．下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 D．经过定点的直线都可以用方程表示 11．如图，在棱长为的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．若，则平面截正方体所得截面的面积为 C．与底面所成的角的取值范围为 D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆有公共点，则实数m的取值范围是 ． 13．若向量和向量都是某直线的方向向量，则 . 14．已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆经过点． (1)求的值； (2)过原点的直线与圆交于两点，，求直线的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，. (1)求证： 直线 平面； (2)求直线 与平面所成的角的正弦值. 17．（15分）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)2x+y的最大值和最小值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点.请用空间向量知识解答下列问题： (1)求证：平面； (2)当长为多少时，平面与平面的夹角为. 19．（17分）如图，在三棱锥中，、分别为、中点，，    (1)求证：面 (2)求异面直线与所成角的余弦值 (3)求点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二上学期10月份月考测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C D C BD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C【详解】， 所以该圆的圆心是，半径.故选：C 2．A【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， 则设，即，，，2，，则有，则，， 则，，，故；故选：A． 3．B【详解】依题意，与点的距离为1的直线始终与以点为圆心，1为半径的圆相切，而此直线与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，又圆的圆心，半径为2，显然，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3.故选：B 4．C【详解】，， 设边上的高的斜率为，则，故选：C 5．B【详解】把（1）转化为，圆心，半径，则，， 圆的方程为（2），（1）（2），得．故选：B. 6．C【详解】由图形可知，点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为1，则点的坐标为（1,1,1），则与共线的向量的坐标可以是，故选：C 7．D【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以.故选：D 8．C【详解】因为，分别是，的中点，所以，， 所以. 故选：C 9．BD【详解】因为，，， 所以，所以不成立，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，同时显然，不共线，所以为锐角，故C错误； 在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BD． 10．ABC 【详解】对于A，，令，解得，故直线过定点，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，直线即为，，直线为，故两平行直线间的距离为，C正确； 对于D，若经过定点的直线垂直于x轴时，不能用方程表示，D错误. 故选：ABC 11．BCD 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由正方体棱长为，则，，，，. 对于，，设，， 所以，，， ， 所以时，，故A错误； 对于B，，则是上靠近的三等分点，， 取上靠近的三等分点，则，. 显然与平面的法向量垂直，因此平面， 所以截面与平面的交线与平行，作交于点， 设，则，由，可得，解得， 则与重合，因此取中点，易得，所以截面为，且为等腰梯形， ，，， 梯形的高为，截面面积为，故B正确；对于C，过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角． 设，则，由余弦定理知，. 因为为线段上的动点，所以. 当时，. ， 当时，，，所以，故，C正确； 对于D，，，，，，， 则，，同理. 所以是平面的一个法向量，即平面， 设垂足为，则， 是正方体的外接球的直径， 因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D正确． 故选：BCD． 12． 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为， 两圆有公共点，则， 即，解得或， 故实数m的取值范围是 故答案为： 13． 【详解】向量和向量都是某直线的方向向量， 所以向量与向量共线，所以，解得.故答案为：. 14．0 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    15． 【详解】（1）将点代入圆的方程，可得， 即，即，故或， 又，故； （2）由，故， 圆心为，半径为， 又直线过原点，当直线斜率不存在时，直线方程为， 代入圆方程，可得，解得或， 此时有，不符合要求； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得，故有， 即，整理可得，即，故或， 综上所述，或，故直线方程为或. 16． 【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 . 在正方形 中，. 而, 平面， 故 平面. （2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 设 ，则， 从而. 设平面 的法向量为， ，令 ， 则. 设直线 与平面所成的角为，则， 故直线 与平面的所成角的正弦值为. 17． 【详解】（1）由题意知，圆的圆心坐标为(-1，2)，半径为2， 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4）， 即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或， 结合图形知，的最大值为0，最小值为. （2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距， 当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±， 故2x+y的最大值为，最小值为. 18． 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以，，又， ∴以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，则且， 令，则，， ∵，∴平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 设，则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，得， 所以， 所以，解得，即长为. 19． 【详解】（1）证明：中，，是中点，， 且． 在中，连接，， 且， 在中，，，， ，故，平面，， 平面； （2）解：取中点，连接、、， 中，、分别为、中点， ，且． 在中，、分别为、的中点， 且． 异面直线与所成角等于（或其补角）． 又是斜边上的中线，， 等腰中； （3）解：因为平面，，以为坐标原点建立 如图的空间直角坐标系，设平面的法向量为，，， ， ，， 则，即， 令，得． 又， 点到平面的距离．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$