精品解析：甘肃省会宁县第四中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

2024—2025学年度第一学期高三级第一次月考 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数在定义域上为奇函数，则 C. 函数的最小值为 D. 函数与是相同的函数 10. 是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 的单调递增区间为和 C. 的解集为 D. 的最大值为 11. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值是__________. 13. 求值：___________. 14. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为 （1）求和的值 （2）求不等式的解集 16. 已知指数函数的图象过点． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义判断函数在上的单调性； （3）求不等式的解集. 18. 已知函数的图象关于原点对称． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 19. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高三级第一次月考 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出中不等式的解集确定出，求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可． 【详解】解：由中不等式变形得：， 解得：，即， 由中，即， 解得：，即， ， 故选：D． 2. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定. 【详解】， 若，则，又，所以， 若，，故，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是， 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊值法分析，将代入中，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 令可得：， 故选：． 5. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为， ，， 因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 8. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】由于对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数在定义域上为奇函数，则 C. 函数的最小值为 D. 函数与是相同的函数 【答案】D 【解析】 【分析】选项A,直接写出命题的否定判断即可；选项B利用奇函数的定义计算即可；选项C，利用基本不等式判断最小值不为6即可；选项D，利用相同函数的概念判断即可. 【详解】命题“”的否定是“”，故A错误； ，得， 若为奇函数，则恒成立， 即，恒成立，则，故B错误； 由基本不等式可知， 当且仅当时，即，显然无解，故等号不成立， 所以函数的最小值不为，故C错误； 的定义域为，的定义域为，， 故函数与是相同的函数，故D正确； 故选：D 10. 是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 的单调递增区间为和 C. 的解集为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先依据偶函数的性质求出解析式，再利用二次函数性质求解单调区间判断B，利用单调性结合 偶函数的性质判断A，举反例判断C，利用二次函数的性质分区间求最值判断D即可. 【详解】当时，，因为是定义在上的偶函数， 所以，而当时，， 故此时，故的解析式如下， 当时，，当时，， 当时，由二次函数性质得在上单调递增， 在上单调递减， 当时，由二次函数性质得在上单调递增， 在上单调递减， 综上可得的单调递增区间为和，故B正确， 由偶函数性质得，而在上单调递减， 所以，故，故A错误， 当时，，不满足，故C错误， 当时，由二次函数性质得， 当时，由二次函数性质得， 故的最大值为，即D正确. 故选：AC 11. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【详解】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因为，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 求值：___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用指数对数运算法则计算求解. 【详解】 . . 故答案为：. 14. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为 （1）求和的值 （2）求不等式的解集 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，进而求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，关于的一元二次不等式的解集为 所以，解得. 【小问2详解】 由于，所以不等式， 即，由于， 所以不等式的解为， 故不等式的解集为. 16. 已知指数函数的图象过点． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数的概念列式求解， （2）由对数函数的单调性转化后求解． 【小问1详解】 由题知指数函数，则，得或，又， 图象经过，则，解得； 【小问2详解】 ，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的， ∴满足条件， ∴不等式的解集为． 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义判断函数在上的单调性； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）奇函数 （2）单调增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性进行判断. （2）根据函数单调性的定义进行判断. （3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，函数， ， 所以是奇函数. 【小问2详解】 任取， ， 由于， 所以，所以在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）（2）可知： 不等式，即， ，解得， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数的图象关于原点对称． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，代入运算即得解，化简可得，结合对数函数的单调性可得解； （2）可转化为在上有解，参变分离可得，结合的单调性可得解. 【小问1详解】 函数的图象关于原点对称， 函数为奇函数． 恒成立． 恒成立． 即恒成立，解得或．又时，不合题意，舍去，所以． ． ． 当时，． 当时，恒成立， ，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 由，得． 关于的方程在上有解， 关于的方程在上有解， 即在上有解． 由于都在单调递减， 故函数在上单调递减， 的值域为． ，即实数的取值范围是． 19. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元. 【解析】 【分析】（1）根据的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【小问1详解】 由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元， 且， 当时，， 当时， 所以利润万元关于年产量台的函数解析式. 【小问2详解】 当时，最大，最大值为1500； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立， 综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $