第15讲 对数运算（六大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第15讲 对数运算 学习目标： 1．理解对数的概念和运算性质，掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程； 2．掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算； 3．能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数 重点难点： 重点：1．对数运算性质; 2．运用对数运算性质解决有关对数求值、化简与证明的问题 难点：对数运算性质的发现与证明。 一、对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 二、对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 考点01对数的概念 1．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．对数式中的取值范围为 ． 4．可化为.( ) 考点02指数式与对数式的互化 5．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若，，则的值为 ． 8．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．求下列各式中x的值： (1)； (2). 10．把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 考点03对数运算性质的应用 11．计算：（    ） A． B． C．0 D．1 12．（多选）下列各式的值等于6的是（   ） A． B． C． D． 13．= ． 14．已知，则 ． 15．已知，，用表示. 16．（多选）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 考点04换底公式的应用 18．已知，则（    ） A． B． C． D．2 19．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．设，是方程的两根，则 . 21．已知，，则用，表示 22．计算： (1)； (2)． 23．求值： (1)； (2)． 考点05对数与指数的综合应用 24．已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 25．若，则（    ） A．2 B． C． D． 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 27．已知，且，则的值为 ． 28．求值： ． 29．已知，则 . 30．已知，求的值． 考点06对数运算的实际运用 31．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 32．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为（参考数据：）（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 33．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（    ）（参考数据: A．300年 B．100年 C．255年 D．125年 34．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．11 B．15 C．19 D．21 35．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 基础试炼 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（   ） A．8 B． C． D． 3．若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 4．若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 二、多选题 5．下列运算结果为1的有（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．计算 ． 8．已知，则 . 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 四、解答题 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 11．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 12．已知，.求的值. 高阶突破 1．已知方程的两个实数根为、，则的值是 ． 2．（多选）若，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．已知，则= 4． . 5．（多选）已知，若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．已知正实数满足，，则 . 8．（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第15讲 对数运算 学习目标： 1．理解对数的概念和运算性质，掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程； 2．掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算； 3．能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数 重点难点： 重点：1．对数运算性质; 2．运用对数运算性质解决有关对数求值、化简与证明的问题 难点：对数运算性质的发现与证明。 一、对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 二、对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 考点01对数的概念 1．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 3．对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 4．可化为.( ) 【答案】错误 【详解】对数的真数大于0，故错误. 故答案为：错误 考点02指数式与对数式的互化 5．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【详解】由，得， 故， 故选：D 6．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 7．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 8．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 9．求下列各式中x的值： (1)； (2). 【答案】(1)16 (2)2 【详解】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 10．把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. 考点03对数运算性质的应用 11．计算：（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 12．（多选）下列各式的值等于6的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项， ，D错误. 故选：BC 13．= ． 【答案】 【详解】 故答案为： 14．已知，则 ． 【答案】 【详解】由题意，可得， 又， 故， 故答案为：． 15．已知，，用表示. 【答案】 【详解】因为，又，， 所以. 16．（多选）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 17．（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）4 【详解】（1）原式 ； （2）由已知可得， 因为， 所以，化简可得， 解得（舍去），或， 所以 考点04换底公式的应用 18．已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， 得. 故选：A 19．方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 20．设，是方程的两根，则 . 【答案】 【详解】由韦达定理可知 故答案为： 21．已知，，则用，表示 【答案】 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） . 23．求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)0 【详解】（1）原式. （2）. 考点05对数与指数的综合应用 24．已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 25．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 故选：A 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 27．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 28．求值： ． 【答案】216 【详解】设，则， ，故， 因此，故， 因此， 故答案为：216 【点睛】关键点点睛：令，利用换底公式可得，根据对数的运算性质求解. 29．已知，则 . 【答案】81 【详解】，整理得， 解得或. 因为，所以，故. 故答案为：81. 30．已知，求的值． 【答案】1 【详解】由，得到，又由，得到， 所以， 故. 考点06对数运算的实际运用 31．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：A． 32．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为（参考数据：）（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】设经过小时才能驾驶，则，即， 所以， 又函数在定义域上单调递减， 所以， 所以他至少要经过5小时才能驾驶． 故选：C． 33．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（    ）（参考数据: A．300年 B．100年 C．255年 D．125年 【答案】A 【详解】设经过的时间为年， 由题意得，， 所以， 所以. 故选：A. 34．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．11 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【详解】， 即，则，得. 故选：A 35．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【答案】C 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 基础试炼 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】显然且， 若，则， 即，所以. 故选：C. 2．（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 3．若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 4．若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 二、多选题 5．下列运算结果为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A, ，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D正确， 故选：CD 6．已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 三、填空题 7．计算 ． 【答案】/ 【详解】 故答案为：. 8．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 所以. 故答案为： 四、解答题 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)5 (2)441 (3)10 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得： 原式. 11．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 12．已知，.求的值. 【答案】2 【详解】因为，所以, 因为，所以, 所以 高阶突破 1．已知方程的两个实数根为、，则的值是 ． 【答案】36 【详解】、是方程的两个实数根 所以， 则． 故答案为：36 2．（多选）若，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意得，， ，而，∴，A错误； ∵，，， ∴，B正确； ， 又， ∴，C正确； ， 又，即，， ∴，∴，D错误. 故选：BC． 3．已知，则= 【答案】1 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 4． . 【答案】/0.5 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：. 5．（多选）已知，若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】由题意知，所以， 所以． 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不能得到，故D错误． 故选：ABC. 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】令，则， 故，因此， 故，故，最小值为， 当且仅当时等号成立，即时取到等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：得，由基本不等式求解. 7．已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 8．（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得， 则，于是， 整理得，即，解得，即， 所以. （2）令，依题意，且，则， 于是，， 所以的充要条件是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$