15.3 分式方程 讲义 2024—2025学年人教版数学八年级上册

分式方程 知识点1：分式方程的概念与解 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解． 1、在下列各式中，是关于x的分式方程的是（　　） A．2x﹣3y＝0 B． C． D. 2、下列方程中，是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 3、下列各式中是分式方程的是（　　） A． B．x2+1＝y C. D． 4、下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是　（填序号）． 5、已知关于x的分式方程的解是5，则m的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8 6、关于x的分式方程的解为x＝4，则常数a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10 7、已知是方程的一个解，则 . 知识点2：解分式方程 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 基本思路 一般步骤 解分式方程 分式方程 去 转 分 化 母 整式方程 （1）去分母：即在方程的两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，依据是等式的性质； （2）解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项； （3）检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解释原方程的解，使最简公分母等于0的解是原方程的增根； （4）写出分式方程的解（或说明分式方程无解） 1、方程的解为（　　） A． B．- C．3 D．﹣3 2、分式方程的解是（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．无解 3、把分式方程转化为整式方程时，方程两边需乘（　　） A．x B．x+4 C．x（x﹣4） D．x（x+4） 4、计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 知识点3：分式方程的增根 （1） 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2） 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条 件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围 扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现 增根． （3） 检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母 是否为 0，如果为 0，则是增根；如果不是 0，则是原分式方程的根． 1、 方程 有增根，则增根 x= ． 2、若关于 x 的分式方程 有增根，则 k 的值为 ． 3、已知关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 ． 4、若解分式方程 时产生增根，则 a= ． 5、关于 x 的方程无解，则 m= ． 知识点4：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 1、石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 2、暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3、小朱要到距离家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他.已知爸爸比小朱的速度快100m/分，求小朱的速度.若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5、2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时？ 6、某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 7、一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了_________．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价） 8、为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 练习 1．解分式方程时，去分母后得到的方程正确的是（　　） A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1 2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（　　） A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成 3．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树_____棵． 4．若关于的分式方程无解，则的值是______． 5．若关于x的分式方程有增根，则a＝__________． 6．已知方程，且关于x的不等式组只有3个整数解，那么的取值范围是_______． 7．解方程： （1） （2） （3） 8．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？ 9．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？ 10．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍． （1）求每件羽绒服的标价是多少元； （2）进入12月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？ 学科网（北京）股份有限公司 $$