（决胜中考）一元二次方程小专题训练-2025年九年级中考数学一轮复习

（决胜中考）一元二次方程小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•乐陵市校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x﹣3）＝x2 D．x（x﹣2）＝0 2．（2024•阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6 3．（2023秋•内江期末）如果（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠﹣1且m≠0 4．（2024秋•武昌区月考）若方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＝1 D．m≠1 5．（2024秋•禅城区校级月考）观察表格，判断一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个解x的范围是（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2+2x﹣10 … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.1＜x＜2.2 B．2.2＜x＜2.3 C．2.3＜x＜2.4 D．2.4＜x＜2.5 6．（2024秋•新城区校级月考）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（　　） A．2025 B．2027 C．2029 D．2030 7．（2024秋•雨花台区月考）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+5x2＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 8．（2024秋•思明区校级月考）校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为45cm、宽为15cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（45+x）（15+x）＝675 B．（45+x）（15+x）＝1350 C．（45﹣2x）（15﹣2x）＝675 D．（45+2x）（15+2x）＝1350 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•工业园区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0的解为 　 　． 10．（2024秋•玄武区校级月考）把方程x2﹣8x+2＝0配方后得到方程 　 　． 11．（2024秋•西山区校级月考）x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2＝ 　 　． 12．（2024秋•泰兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的一个实数根，则代数式2a2+6a+1＝　 　． 13．（2024秋•增城区校级月考）某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则参加这次聚会的人数为 　 　人． 14．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　． 15．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　 　． 16．（2024秋•冷水滩区校级月考）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”；若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•天宁区校级月考）解方程： （1）3x（2x+1）＝2x+1； （2）2x2﹣5x+1＝0． 18．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 19．（2024秋•永春县校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数，a与a+b（b≠0）的分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值． 20．（2024秋•海安市校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”， 例如：一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，|0﹣1|＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于x的方程3x2+（a﹣2）x﹣a﹣1＝0是“邻近根方程”，求a的值． 21．（2024秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AB＝5cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，△PQB的面积等于4cm2？ 22．（2024秋•靖江市月考）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求出该方程的衍生点M的坐标； （3）直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），在（2）中求得的点M在△ABC的内部，求m的取值范围． 23．（2024秋•齐河县校级月考）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． （1）若40分钟到60分钟增长率相同，求m的值． （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能，当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． （决胜中考）一元二次方程小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•乐陵市校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x（x﹣3）＝x2 D．x（x﹣2）＝0 【解答】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故B不是一元二次方程，不符合题意； C、x（x﹣3）＝x2可整理为﹣3x＝0，故C不是一元二次方程，不符合题意； D、x（x﹣2）＝0可整理为x2﹣2x＝0，故D是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（2024•阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6 【解答】解：x2﹣8x+10＝0， 移项得：x2﹣8x＝﹣10， 配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16， 整理得：（x﹣4）2＝6， 故选：D． 3．（2023秋•内江期末）如果（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠﹣1且m≠0 【解答】解：∵（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程， ∴m+1≠0， ∴m≠﹣1， 故选：B． 4．（2024秋•武昌区月考）若方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＝1 D．m≠1 【解答】解：根据方程的定义得m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：D． 5．（2024秋•禅城区校级月考）观察表格，判断一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个解x的范围是（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2+2x﹣10 … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.1＜x＜2.2 B．2.2＜x＜2.3 C．2.3＜x＜2.4 D．2.4＜x＜2.5 【解答】解：由题中表格可知：当x＝2.3时，x2+2x﹣10＝﹣0.11＜0，当x＝2.4时，x2+2x﹣10＝0.56＞0， ∴2.3＜x＜2.4时，有一个x的值使x2+2x﹣10＝0， ∴方程x2+2x﹣10＝0的一个解x的范围是2.3＜x＜2.4， 故选：C． 6．（2024秋•新城区校级月考）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（　　） A．2025 B．2027 C．2029 D．2030 【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根， ∴m2+m﹣4＝0， ∴m2+m＝4， ∴m2+m+2025＝4+2025＝2029， 故选：C． 7．（2024秋•雨花台区月考）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+5x2＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 【解答】解：∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约5（1+x）亿元，第三周票房约5（1+x）2亿元． 依题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝20． 故选：D． 8．（2024秋•思明区校级月考）校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为45cm、宽为15cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（45+x）（15+x）＝675 B．（45+x）（15+x）＝1350 C．（45﹣2x）（15﹣2x）＝675 D．（45+2x）（15+2x）＝1350 【解答】解：根据题意可列方程（45+2x）（15+2x）＝1350， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•工业园区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0的解为 　x1＝1，x2＝2　． 【解答】解：x2﹣3x+2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2， 故答案为：x1＝1，x2＝2． 10．（2024秋•玄武区校级月考）把方程x2﹣8x+2＝0配方后得到方程 　（x﹣4）2＝14　． 【解答】解：x2﹣8x+2＝0， 移项得：x2﹣8x＝﹣2， 方程两边都加上42，得x2﹣8x+42＝﹣2+42， ∴（x﹣4）2＝﹣2+16， ∴（x﹣4）2＝14． 故答案为：（x﹣4）2＝14． 11．（2024秋•西山区校级月考）x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2＝ 　2　． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：． 故答案为：2． 12．（2024秋•泰兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的一个实数根，则代数式2a2+6a+1＝　9　． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的一个实数根， ∴a2+3a﹣4＝0， ∴a2+3a＝4， ∴2a2+6a+1＝2（a2+3a）+1＝2×4+1＝9， 故答案为：9． 13．（2024秋•增城区校级月考）某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则参加这次聚会的人数为 　5　人． 【解答】解：设参加这次聚会的有x人，根据题意列方程得， x（x﹣1）＝10， 解得x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去）； 答：参加这次聚会的有5人． 故答案为：5． 14．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　． 【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 15．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　1m　． 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 16．（2024秋•冷水滩区校级月考）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”；若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为 　或﹣　． 【解答】解：由（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）得x1＝2，x2＝， ∵（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”， ∴＝1或＝4，即a＝b或b＝4a， 当b＝a时，＝＝； 当b＝4a时，＝＝﹣； ∴代数式的值为或﹣． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•天宁区校级月考）解方程： （1）3x（2x+1）＝2x+1； （2）2x2﹣5x+1＝0． 【解答】解：（1）3x（2x+1）＝2x+1， 3x（2x+1）﹣（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣1）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣1＝0， ，； （2）2x2﹣5x+1＝0， a＝2，b＝﹣5，c＝1， Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 18．（2024秋•嘉定区校级月考）已知方程x2﹣5x+6＝0的一个根是m，求代数式的值． 【解答】解：∵m是方程x2﹣5x+6＝0的一个根， ∴m2﹣5m+6＝0， ∴m＝2或m＝3， 当m＝2时， ∴ ＝ ＝4﹣12+2 ＝﹣6； 当m＝3时， ∴ ＝ ＝9﹣18+3 ＝﹣6． 19．（2024秋•永春县校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）． （1）若x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数，a与a+b（b≠0）的分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值． 【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，代入方程得： 4m+2（3m+1）+3＝0， 即10m+5＝0， ∴； （2）∵a与a+b（b≠0）分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0的两个根， ∴，， ∵a与a+b都是整数， ∴与同为整数， ∴m＝1， ∴x2+4x+3＝0， ∴a+（a+b）＝2a+b＝﹣4， ∴， 将代入式子得： 4a2+12ab+5b2+16b+8 ＝ ＝ ＝16+8b+b2﹣24b﹣6b2+5b2+16b+8 ＝24． 20．（2024秋•海安市校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”， 例如：一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，|0﹣1|＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于x的方程3x2+（a﹣2）x﹣a﹣1＝0是“邻近根方程”，求a的值． 【解答】解：（1）∵， ∴a＝2，，c＝13， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故方程是“邻近根方程”； （2）3x2+（a﹣2）x﹣a﹣1＝0， a＝3，b＝a﹣2，c＝﹣a﹣1， ∴Δ＝（a﹣2）2﹣4×3×（﹣a﹣1）＝（a+4）2≥0， ∴x＝＝， ∴x1＝1，， ∵关于x的方程3x2+（a﹣2）x﹣a﹣1＝0是“邻近根方程”， ∴， ∴或， 解得：a＝﹣1或a＝﹣7， 综上所述，a的值为﹣1或﹣7． 21．（2024秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AB＝5cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，△PQB的面积等于4cm2？ 【解答】解：∵5÷1＝5s，8÷2＝4s， ∴当运动时间为t s（0≤t≤4）时，AP＝t cm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：， 解得：t＝1或t＝4， 答：经过1秒钟或4秒钟，△PQB的面积等于4cm2． 22．（2024秋•靖江市月考）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求出该方程的衍生点M的坐标； （3）直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），在（2）中求得的点M在△ABC的内部，求m的取值范围． 【解答】解：（1）x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， ∵Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0， 分解因式得：[x﹣（m﹣2）]（x﹣m）＝0， 故x﹣（m﹣2）＝0或x﹣m＝0， 解得：x1＝m﹣2，x2＝m， ∴方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）． （3）直线l1：y＝x+5中，令y＝0，则x+5＝0， 解得x＝﹣5， ∴A（﹣5，0）， 由（2）得，M（m﹣2，m）， 令m﹣2＝x，m＝y， ∴y＝x+2， ∴点M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2）， 令y＝0，则x+2＝0， ∴x＝﹣2， ∵点M在△ABC的内部， ∴﹣2＜m﹣2＜0； ∴0＜m＜2． 23．（2024秋•齐河县校级月考）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． （1）若40分钟到60分钟增长率相同，求m的值． （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能，当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【解答】解：（1）设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：0.64（1+x）2＝1， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为25%， ∴m＝0.64（1+x）＝0.64×（1+25%）＝0.8． 答：m的值为0.8； （2）设每晚作业时间为（60+10y）分钟， 根据题意得：（60+10y）（1﹣0.2y）＝20， 解得：y1＝﹣5（不符合题意，舍去），y2＝4， ∴60+10y＝60+10×4＝100， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$